Analisi Matematica I Palagachev

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1 Analisi Matematica I Palagachev Numeri complessi Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z i = i z + 2 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: z 2 + 2iz = 2 3 Risolvere nel campo complesso C l equazione: z 2 + 2iz = 4 Risolvere nel campo complesso C l equazione: z 2 2iz = 5 Risolvere nel campo complesso C l equazione: z 2 + iz = 2 6 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: z 2 + iz = 7 Risolvere nel campo complesso l equazione biquadratica: z i)z 2 + i = 8 Risolvere nel campo complesso l equazione biquadratica: z 4 + i)z 2 i = 9 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 4 z + i = z 2 Risolvere nel campo complesso l equazione biquadratica: z 4 + iz =

2 2 Analisi Matematica I Palagachev Risolvere nel campo complesso l equazione biquadratica z 4 + i)z 2 + i = 2 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z + 2i = z + i 3 Risolvere nel campo complesso C il seguente sistema: { Re zim z = z + i 5)Im z = 4 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z i = i z Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 4 z + 2 = 4 2z i 6 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z + 2 = i z i 7 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z i = i z Risolvere nel campo complesso l equazione: z 4 + iz = 9 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z + i = i z + 2 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: z 2 + iz = 2 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z + 2 = z + i

3 Analisi Matematica I Palagachev 3 2 Limiti di successioni e funzioni Calcolare il limite ) sin 2 lim Calcolare il limite: log + 6 ) lim 2 3/2 sin 2 cos ) 3 Calcolare il seguente limite lim Calcolare gli estremi { superiore ed inferiore ed } eventualmente il massimo ed il minimo n + dell insieme X = n 2 + 2n + 2 : n Z 5 Calcolare i seguenti limiti a) lim n + log n + 2 n + n + sin n 2 6 Calcolare i seguenti limiti )) 2 log + sin 2 n a) lim n + 2 cos n ) 2 ; b) lim + log + 2 ) ) ; b) lim cos tg 2 log + ) Calcolare il limite 8 Calcolare il limite ) log + 3 ) lim ) cos 2 ) lim Calcolare i seguenti limiti ) ) n 2 n+ + 3 n cos ) a) lim ; b) lim n + 3 n + n

4 4 Analisi Matematica I Palagachev Calcolare i seguenti limiti ) 4 n+ ) n 3 n 2 3 log a) lim ; b) lim n + 4 n n Calcolare i seguenti limiti + ) a) lim n + 2 Calcolare il limite 5 n+ + ) n 4 n 5 n + n )2 2 sin ; b) lim + ) sin 2 lim Funzioni reali di una variabile reale Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: 4 Data la funzione: a) Trovare il dominio di f) b) Calcolare la derivata f ) f) = f) = c) Trovare i punti di minimo e massimo relativo per f) 5 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = 2 e 2

5 Analisi Matematica I Palagachev 5 6 Data la funzione: f) = a) Trovare il dominio di f) b) Calcolare la derivata f ) c) Trovare l asintoto di f) per + 7 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = e 3 8 Determinare l insieme di definizione della funzione: f) = log 9 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) f) = log 2 Non è richiesto lo studio della derivata seconda 2 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) f) = log 2 Non è richiesto lo studio della derivata seconda

6 6 Analisi Matematica I Palagachev 3 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = e Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) + f) = log Non è richiesto lo studio della derivata seconda 6 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) f) = log Non è richiesto lo studio della derivata seconda 7 Determinare l insieme di definizione della funzione: ) f) = Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) f) = log Determinare l insieme di definizione della funzione: f) = + tg + tg2 per 2 Risolvere la disequazione > Data la funzione [ π, π] f) = arctan e 23 2 sin 2 Calcolare la derivata prima f )

7 Analisi Matematica I Palagachev 7 22 Data la funzione f : R R cosi definita: <, f) = < 2, 2 a) Studiare la continuità di f) in ogni punto del suo dominio di definizione b) Trovare i punti in cui f) è derivabile e studiare il carattere dei punti non regolari c) Trovare i minimi e massimi assoluti di f) 23 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico f) = Trovare il dominio della funzione log 2 ) Trovare il dominio della funzione ) arcsin Trovare il dominio della funzione ) f) = log 2 27 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = arcsin Non è richiesto lo studio della derivata seconda Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = arctg Non è richiesto lo studio della derivata seconda 29 Trovare il dominio della funzione f) = log )

8 8 Analisi Matematica I Palagachev 3 Trovare il dominio della funzione f) = + 3 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda 32 Trovare il dominio della funzione ) f) = log 2 33 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda 34 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda 35 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda 36 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) + 3 f) = log Non è richiesto lo studio della derivata seconda 37 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) + 5 f) = log Non è richiesto lo studio della derivata seconda

9 Analisi Matematica I Palagachev 9 38 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) + f) = log Non è richiesto lo studio della derivata seconda 39 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: f) = Non è richiesto lo studio della derivata seconda 4 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: ) f) = log Determinare l insieme di definizione della funzione: ) f) = log Integrali definiti Calcolare il seguente integrale definito: π/2 2 Calcolare il seguente integrale definito: π/2 3 Calcolare il seguente integrale definito: π 4 Calcolare il seguente integrale definito: sin 2 d cos 3 d sin 3 d arctg d

10 Analisi Matematica I Palagachev 5 Calcolare il seguente integrale definito: cos 3 d 6 Calcolare il seguente integrale definito: ) cos 2 d Calcolare il seguente integrale definito: e 3 log + 5log ) 2 log ) 2 log ) d 8 Calcolare il seguente integrale definito: e 2 e 2 e 2 + e d 9 Calcolare il seguente integrale definito: 2 ) + 2e e d Calcolare il seguente integrale definito: 4 ) + 2 e d Calcolare il seguente integrale definito: π/2 ) e + e 2 cos d 2 Calcolare il seguente integrale definito: 3 Calcolare il seguente integrale definito: 2 3 log + log 4 ) ) d ) cos2 d 3 + sin 2 ) 7

11 Analisi Matematica I Palagachev 4 Calcolare il seguente integrale definito: log + )d 5 Calcolare il seguente integrale definito: 6 Calcolare il seguente integrale definito: ) log 2 ) d + log + )d 7 Calcolare il seguente integrale definito 8 Calcolare i seguenti integrali d a) d; b) e 2) log d 9 Calcolare i seguenti integrali a) d; b) π/4 sin 3 d 2 Calcolare il seguente integrale definito: 4 ) + e d 2 Calcolare i seguenti integrali a) d; b) e 2 d 22 Risolvere il seguente integrale indefinito: ) sin ) ) d

12 2 Analisi Matematica I Palagachev 23 Calcolare i seguenti integrali a) d; b) arctg d 24 Risolvere il seguente integrale indefinito: e 2 ) + ) d 25 Risolvere il seguente integrale indefinito: 2 ) log + 2 e e 2 ) d 26 Calcolare il seguente integrale definito: π/2 ) e e 2 sin d 5 Equazioni differenziali Trovare la soluzione generale y) dell equazione 4y 4) + 3y y = 2 Risolvere il seguente problema di Cauchy y + y e 2 y =, 2 y) = 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy t = cos t 3 2t 2 sin t, π/2) = π/4 y = y), = t), 4 Trovare la soluzione generale y) dell equazione y 4) + 5y 36y = 5 Trovare la soluzione generale y) dell equazione 2y + 8y = 4 sin2

13 Analisi Matematica I Palagachev 3 6 Risolvere il seguente problema di Cauchy y y e ) y y) = =, y = y), 7 Risolvere il seguente problema di Cauchy t 2t 2 + ) = t 2, ) = = t), 6 Serie numeriche e serie di potenze Studiare il carattere della serie numerica n= 5 n 2 α n+ α 2 + 4) n al variare il parametro α R e trovare la somma 2 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ) n= n n+2 n3 n+ Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma 3 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ) n 2 n= n n+2 n + Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma 4 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ) n n+ n3 n n=2 Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma

14 4 Analisi Matematica I Palagachev 5 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ) n+2 5 n 2 n+2 n= Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma 6 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ) n+2n n+ n n=2 Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma 7 Studiare il carattere della serie n= { log + n ) + n + 3 } n 3 + n!) n 8 Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze n= ) nn+2 4 n 2 Discutere il comportamento negli estremi dell intervallo di convergenza e si calcoli la somma 9 Studiare il carattere della serie { n n + n= Studiare il carattere della serie n= ) 2n 2 2 3) n 2 n n+ al variare del parametro R e trovare la somma Studiare il carattere della serie n= n+2 3 ) n+)/3 al variare del parametro R e trovare la somma } en n! n + 2)!