Corsi di Laurea in Matematica e in Fisica. Prova scritta di Analisi Matematica I. Lecce, 12.IX.2016

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1 Lecce, 12IX Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- { 1 + x } f(x) = x exp 1 x sin(1/x)[e x + 2x 2 log cos x] x z 2 i z = z 2 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Calcolare il seguente integrale: e x + x cos 2 x dx x 5 Definizione di derivata e teorema sulla derivazione della funzione composta

2 Lecce, 11VII Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = 3 x (x 1) x 2 (1 cos 2 x)e x z 2 2 = z z 2 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Calcolare il seguente integrale: x x 2 + 6x + 9 dx 5 Definizione di derivata e teorema sulla derivazione della funzione composta

3 Lecce, 27VI Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = x(1 + e 1/x ) x 2 arctan x 1 x log(1 + x) z 2 (4 + i)z i = 0 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Calcolare il seguente integrale: e x + x cos 2 x dx x 5 Teorema di caratterizzazione del ite con successioni

4 aa2013/14 e precedenti Lecce, 27VI Dimostrare che per ogni n N vale la l uguaglianza: n k (k!) = (n + 1)! 1 k=1 x 2 arctan x 1 x log(1 + x) z 2 (4 + i)z i = 0 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Studiare la convergenza della serie n n 1 n n=1 5 Determinare il dominio naturale della seguente funzione: (cos x cos x 1 ) 2 sin x 1

5 Lecce, 9VI Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = x arcsin 1 x ( 1 + x) 1 sin x z 3 + 4i z = 0 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Calcolare il seguente integrale: cos x sin x dx 3 cos x 5 Dare la definizione di estremo superiore ed inferiore, enunciare le rispettive caratterizzazioni e dimostrarne una

6 Lecce, 31III Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- ( ) x f(x) = 2x + arctan x 2 1 cos x x 2 arcsin x tan x ( z i ) (zz 4 + i) = 0 1 i e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Calcolare il seguente integrale: x log(1 + x 2 ) dx 5 Teorema di caratterizzazione del ite con successioni

7 aa2013/14 e precedenti Lecce, 31III Dimostrare che per ogni n N vale la l uguaglianza: n k 2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 k=1 cos x x 2 arcsin x tan x ( z i ) (zz 4 + i) = 0 1 i e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 4 Si studi la convergenza della serie ( n + cos n 1 n 2 + 2n + arctan n sin n=1 n 1 2 ) 5 Risolvere la disequazione: [ ( ) arccos log 1 1 sin x π ] cos x 3 cos x 0

8 Lecce, 18II Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = 3x 2x 2 e x/2 log(1 + ) (cos 1 ) x + ex2 x 1 z 3 z + 4i = 0 4 Calcolare il seguente integrale: 1 (1 + x) 1 + x + x 2 dx 5 Formula di Taylor

9 aa2013/14 e precedenti Lecce, 18II Si dimostri che per ogni n N, vale la l uguaglianza: n [ ] 2 n(n + 1) k 3 = 2 k=1 log(1 + ) (cos 1 ) x + ex2 x 1 z 3 z + 4i = 0 4 Si studi la convergenza della serie n 2 sin n + 1 n 4 + log n cos(n!) 5 Si risolva la disequazione: ( ( [ ]) ) x + 4 sin log 5 x arctan ( 5 x2 5 6x 4) 0

10 Lecce, 1 o II Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = 5 ex x 1 sin 2 x log[(1 + x) x ] e x sin x 1 z z = z 2 4 Calcolare il seguente integrale: sin x 1 + sin x + cos x dx 5 Definizione e caratterizzazione dell estremo superiore

11 aa2013/14 e precedenti Lecce, 1 o II Si dimostri che per ogni n N, vale la l uguaglianza: n k(k + 1) = (n + 1)(n2 + 2n) 3 k=1 log(1 + x)(1 cos(2x)) (e x 1) sin(x 2 ) + tan 2 (x 2 ) z z = z 2 4 Si studi la convergenza della serie log n n 2 arctan n 5 Si risolva la disequazione: sin(log(e x 1)) 0

12 Lecce, 13I Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- { x 1 } f(x) = x exp x 2 e sin x e x sin x tan x z = i + 6 z 4 Calcolare il seguente integrale: 3e x e 3x 1 dx 5 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy

13 Seconda prova parziale di Analisi Matematica I Lecce, 13I Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- f(x) = 4 arctan x + 1 x log(1 + sin(2x)) sin(log(1 + 2x)) (1 cos x) 2 3 Calcolare il seguente integrale: 1 3 sin x cos x + 1 dx 4 Teorema di Bolzano Weierstrass

14 aa2013/14 e precedenti Lecce, 13I Si dimostri che per ogni n N, vale la l uguaglianza: n k(k + 1) = (n + 1)(n2 + 2n) 3 k=1 x 3 2 sin(x 3 ) x 2 log log x 1 + x sin x z 8 + 4z = 0 4 Si studi la convergenza della serie n 2 sin n + 1 n 4 + log n cos(n!) 5 Si risolva la disequazione: e 2x 5e x + 6 log x + 1 x 1 0

15 Prima prova parziale di Analisi Matematica I Lecce, 3XI2015 TRACCIA A 1 Determinare il dominio naturale della seguente espressione analitica: ( tan log x 1 ) x + 1 (1 e x ) tan x sin 2 x + arcsin 3 x 4 Studiare il seguente ite: z z 4 = 1 n 3n2 4 4n Enunciare il teorema di esistenza dei iti per le funzioni monotone e dimostrare un caso

16 Prova parziale di Analisi Matematica I Lecce, 3XI2015 TRACCIA B 1 Determinare il dominio naturale della seguente espressione analitica: sin(log(e x 1)) log(1 + 2x)(1 cos x) (e x 1) sin(x 2 ) + tan 2 (x 2 ) 4 Studiare il seguente ite: 2z 2 z = 1 z n n n Dare la definizione di estremo superiore ed inferiore, enunciare le rispettive caratterizzazioni e dimostrarne una