Forme indeterminate e limiti notevoli

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1 Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate Politecnico di Torino 1

2 Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Espressione funzioni tendono a Forme indeterminate quando entrambe le con segno discorde; una tale forma indeterminata viene indicata con il simbolo f(x)+g(x) Politecnico di Torino 2

3 Forme indeterminate e iti notevoli Espressione tende a Forme indeterminate f(x) g(x) quando una funzione e l altra tende a 0; una tale forma indeterminata viene indicata con il simbolo 0 5 Espressione f(x) g(x) Forme indeterminate quando entrambe le funzioni tendono a oppure a 0; tali forme indeterminate vengono indicate rispettivamente con i simboli oppure Politecnico di Torino 3

4 Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Ogni comportamento è possibile: ite infinito, ite finito diverso da 0 oppure uguale a 0, non esistenza del ite 7 Esempio 1 Consideriamo le funzioni g(x) =x e f 1 (x) =x + x 2, f 2 (x) =x +1, f 3 (x) =x + 1 x, f 4(x) =x +sinx Politecnico di Torino 4

5 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 1 Tutte le funzioni tendono a Si ha [f 1(x) g(x)] = x + + per x + x + x2 =+ [f 2(x) g(x)] = x + [f 3(x) g(x)] = x + 1=1 x + x + 1 x =0 9 Esempio 1 Inoltre [f 4(x) g(x)] = x + sin x x + non esiste, in quanto la funzione periodica sin x è Politecnico di Torino 5

6 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 2 Consideriamo le funzioni g(x) =x 2 e f 1 (x) =x 3, f 2 (x) =x 2, f 3 (x) =x, f 4 (x) =x 2 sin 1 x 11 Esempio 2 Tutte le funzioni tendono a Si ha 0 per f 1 (x) g(x) = x =0 x 0 f 2 (x) g(x) = 1=1 f 3 (x) g(x) = 1 x = Politecnico di Torino 6

7 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 2 Inoltre f 4 (x) g(x) = sin 1 x non esiste 13 Esempio 3 Consideriamo il generico polinomio P (x) =a n x n + + a 1 x + a 0 (a n 6=0) Per x ± indeterminata del tipo si può avere una forma Politecnico di Torino 7

8 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 3 Tale forma di indeterminazione si risolve raccogliendo il monomio di grado massimo x n : P (x) =x n ³ a n + a n 1 x + + a 1 x n 1 + a 0 x n 15 Esempio 3 L espressione in parentesi tende ad per x ±, pertanto a n P (x) = x ± a nx n = x ± e il segno del ite si determina facilmente Politecnico di Torino 8

9 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 3 Calcoliamo il Si ha x ( 5x3 +2x 2 +7) x ( 5x3 +2x 2 +7)= x ( 5x3 ) =+ 17 Esempio 4 Consideriamo la generica funzione razionale già ridotta ai minimi termini R(x) = P (x) Q(x) = a nx n + + a 1 x + a 0 b m x m + + b 1 x + b 0 (a n,b m 6=0,m>0) Per x ±, indeterminata del tipo si può avere una forma Politecnico di Torino 9

10 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 4 Trattando numeratore e denominatore come nell esempio precedente, si ottiene x ± P (x) Q(x) = x ± a n x n b m x m se n>m = a n b m x ± xn m = a n b m se n = m 0 se n<m 19 Esempio 4 Ad esempio, x + 2x 4 2x 2 +1 x 2 x 3 = x + 2x 4 x 3 = x 2x 6 +2x 2 7 8x 6 x 4 +3x = x 2x 6 8x 6 = 1 4 x 2x 3 x +3 x 4 +7 = x 2x 3 x 4 = Politecnico di Torino 10

11 Forme indeterminate e iti notevoli Calcoliamo il ite Risulta 1 cos x x 2 1 cos x x 2 Esempio 5 = (1 cos x)(1 + cos x) x 2 (1 + cos x) = 1 cos 2 x x cos x 21 Esempio 5 = sin 2 x x cosx Politecnico di Torino 11

12 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 5 = µ 2 sin x x 1 1+cosx 23 Esempio 5 =1 1 2 = Politecnico di Torino 12

13 Forme indeterminate e iti notevoli Tabella x + xα =+, x + xα =0, + x α =0 α > 0 x α =+ α < 0 + x ± a n x n + + a 1 x + a 0 b m x m + + b 1 x + b 0 = a n b m x ± xn m 25 Tabella x + ax =+, x ax =0 α > 1 x + ax =0, x ax =+ a<1 x + log a x =+, + log a x = log a x =, log a x =+ x + + a>1 a< Politecnico di Torino 13

14 Forme indeterminate e iti notevoli sin x, x ± non esistono cos x, x ± tan x x ± Tabella tan x =, x ( π 2 +kπ ) ± k Z 27 Tabella x ±1 arcsin x = ±π 2 =arcsin(±1) arccos x =0=arccos1 x +1 arccos x = π =arccos( 1) x 1 x ± arctan x = ±π Politecnico di Torino 14

15 Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Teorema di sostituzione Supponiamo che esista (finito o infinito) f(x) =` x c Politecnico di Torino 15

16 Forme indeterminate e iti notevoli Teorema di sostituzione g ` Se ` R, g è continua in ` ` R, I(c) c f(x) 6= ` y ` ` =+ ` =, y ` Sia una funzione definita in un intorno di (escluso al più il punto ) e tale che Se esiste un intorno di in cui per ogni x 6= c ed esiste (finito o infinito) Se oppure esiste (finito o infinito) ` 31 Teorema di sostituzione g(f(x)) = g(y) x c y ` Politecnico di Torino 16

17 Forme indeterminate e iti notevoli Osservazione Nel primo caso si ha g(y) =g(`) y ` dunque la tesi può essere scritta come g(f(x)) = g( f(x)) x c x c 33 f x 0 y 0 = f(x 0 ) Sia continua in e sia Corollario Sia g una funzione definita in un intorno di y 0 e continua in y 0 la funzione composta g f è continua in x Politecnico di Torino 17

18 Forme indeterminate e iti notevoli Dimostrazione Abbiamo (g f)(x) =g( f(x)) x x 0 x x 0 = g(f(x 0 )) =(g f)(x 0 ) 35 Esempio 1 La funzione h(x) =cosx 3 è continua su tutto R Infatti, è la composizione delle due funzioni continue f(x) =x 3 e g(y) =cosy Politecnico di Torino 18

19 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 2 Calcoliamo 1 cos x 2 x 4 Poniamo f(x) =x 2 e g(y) = 1 cos y y se se y 6= 0 y =0 37 Esempio 2 Calcoliamo 1 cos x 2 x 4 Si ha f(x) =0, è continua nell origine. Pertanto, mentre la funzione g 1 cos x 2 x 4 = y 0 1 cos y y 2 = Politecnico di Torino 19

20 Forme indeterminate e iti notevoli Calcoliamo Poniamo Abbiamo Dunque arctan x 2 ± µ 1 arctan x 2 ± x 2 f(x) = 1 x 2 f(x) =± ± x 2 e e Esempio 3 g(y) =arctany y ± g(y) =± π 2 µ 1 = x 2 g(y) = ±π y ± 2 39 Esempio 4 Si voglia calcolare x + log sin 1 x Ponendo f(x) =sin 1 x, si ha ` = f(x) =0 x + si osservi che f(x) > 0, per ogni x> 1 π Politecnico di Torino 20

21 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 4 Si voglia calcolare x + log sin 1 x Posto g(y) =logy si ha y 0 + g(y) = 41 Esempio 4 Si voglia calcolare x + log sin 1 x Si ha x + sin 1 x =0 e dunque otteniamo e log y = y 0 + x + log sin 1 x = y 0 + g(y) = Politecnico di Torino 21

22 Forme indeterminate e iti notevoli Osservazione Il Teorema di sostituzione può essere facilmente esteso al caso in cui la funzione f sia sostituita da una qualunque successione a : n 7 a n che ammetta il ite a n = ` n Sotto le stesse ipotesi sulla funzione fatte nell enunciato del Teorema, si ha allora g g(a n)=g(y) n y ` 43 Criterio di non esistenza del ite Se esistono due successioni tali che b : n 7 b n a n = b n = ` n n g(a n) 6= g(b n) n n a : n 7 a n e e g non può avere ite quando l argomento tende a `: non esiste g(y) y ` Politecnico di Torino 22

23 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio La funzione x + y =sinx non ha ite per Infatti, se consideriamo le successioni a n =2nπ b n = π e 2 +2nπ, n N abbiamo sin a n = 0=0 n n n sin b n = n 1=1 e 45 Forme indeterminate e iti notevoli 2006 Politecnico di Torino 23

24 Forme indeterminate e iti notevoli Limiti notevoli Ricordiamo il ite fondamentale n µ 1+ 1 n n =e 47 Limiti notevoli In luogo della successione consideriamo ora la funzione di variabile reale x h(x) = µ 1+ 1 x che è definita quando 1+ 1 x > 0, cioè dom h =(, 1) (0, + ) Politecnico di Torino 24

25 Forme indeterminate e iti notevoli Proprietà Vale il seguente risultato x ± µ 1+ 1 x x =e 49 Esempio 1 Verifichiamo che ³ 1+ a = e x ± x x a, a R Per a =0 il risultato è immediato Politecnico di Torino 25

26 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 1 a 6= 0. y = x a ³ 1+ a = x ± x x y ± Sia Poniamo e otteniamo ay = y ± µ 1+ 1 y µ 1+ 1 y a y =e a 51 Esempio 2 Verifichiamo che (1 + x)1/x =e Poniamo y = 1 x e otteniamo (1 + x)1/x = y ± µ 1+ 1 y y =e Politecnico di Torino 26

27 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 3 Verifichiamo che log a (1 + x) x = 1 log a, a >0 Si ha log a (1 + x) x = log a (1 + x) 1/x =log a (1 + x) 1/x =log a e = 1 log a 53 Esempio 3 log a (1 + x) x = 1 log a, a >0 In particolare, per a =e otteniamo log(1 + x) x = Politecnico di Torino 27

28 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 4 Verifichiamo che a x 1 x =loga, a >0 Osserviamo che y = a x 1 a x =1+y x =log a (1 + y) Inoltre y 0 se x 0 55 Esempio 4 Si ha a x 1 x = y 0 = y 0 y log a (1 + y) 1 log a (1 + y) =loga y Politecnico di Torino 28

29 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 5 a x 1 x =loga, a >0 In particolare, per a =e otteniamo e x 1 x =1 57 Esempio 5 Verifichiamo che (1 + x) α 1 x Poniamo 1+x =e y y 0 per x 0 = α, α R e osserviamo che Politecnico di Torino 29

30 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio 5 Si ha (1 + x) α 1 x = y 0 e αy 1 y (e α ) y 1 = y 0 y =loge α = α. = y 0 e αy 1 e y 1 y e y 1 y 0 y e y 1 59 sin x x =1 1 cos x x 2 = 1 2 ³ 1+ a =e x ± x x a (a R) (1 + x)1/x =e Tabella iti notevoli Politecnico di Torino 30

31 Forme indeterminate e iti notevoli Tabella iti notevoli in particolare a x 1 x in particolare log a (1 + x) x (1 + x) α 1 x = 1 log a log(1 + x) x =loga (a >0) e x 1 x = α =1 (a>0) =1 (α R) 61 Forme indeterminate e iti notevoli 2006 Politecnico di Torino 31

32 Forme indeterminate e iti notevoli Altre forme indeterminate Consideriamo l espressione f(x) g(x) f Supponiamo che e siamo definite in I(c) \{c} con f(x) > 0 e ammettano ite x c. per tendente a Si ha g x c f(x)g(x) =exp (g(x)logf(x)) x c ³ g(x)logf(x) =exp x c 63 Altre forme indeterminate: primo caso ³ g(x)logf(x) =exp x c x c f(x)g(x) g f 1, log f 0 Se tende e tende a (e dunque tende a ): g(x) = x c log f(x) =0 x c e f(x) =1 x c da cui si presenta una forma indeterminata del tipo Politecnico di Torino 32

33 Forme indeterminate e iti notevoli La funzione h(x) = µ 1+ 1 x x Esempio per tipo x ± 1 µ 1+ 1 x =e x ± x è una forma indeterminata del 65 Altre forme indeterminate: secondo caso ³ g(x)logf(x) =exp x c x c f(x)g(x) g 0 f 0 log f Se tende a ed tende a (e dunque tende a ): g(x) =0 x c e f(x) =0 x c da cui x c log f(x) = 0 0 si presenta una forma indeterminata del tipo Politecnico di Torino 33

34 Forme indeterminate e iti notevoli Esempio La funzione per x 0 + è una forma indeterminata di tipo 0 0 Dimostreremo che h(x) =x x =e x log x x log x =0 + + h(x) =1 e dunque 67 g Altre forme indeterminate: terzo caso ³ g(x)logf(x) =exp x c x c f(x)g(x) 0 f + log f + Se tende a ed tende a (e dunque tende a ): g(x) =0 x c e log f(x) =+ x c f(x) = x c da cui si presenta una forma indeterminata del tipo Politecnico di Torino 34

35 Forme indeterminate e iti notevoli La funzione per tipo h(x) =x 1/x =e log x x x + 0 Usando la sostituzione y = 1 x log 1 = log y, si ottiene y è una forma indeterminata del e l identità Esempio x + log x x = y 0 + y log y = Politecnico di Torino 35