Proprietà globali delle funzioni continue

Transcript

1 Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa Politecnico di Torino 1

2 Data una funzione reale ogni punto annulla, cioè x 0 dom f f(x 0 )=0 Definizione f, chiamiamo zero di f in cui la funzione si Politecnico di Torino 2

3 Esempio Consideriamo la funzione f(x) =cosx Gli zeri della funzione sono tutti gli elementi dell insieme π 2 + kπ : k Zª 5 Teorema di esistenza degli zeri Sia Se f : [a, b] R f(a)f(b) < 0 continua x 0 (a, b) :f(x 0 )=0 Se inoltre f è strettamente monotona in [a, b] lo zero è unico nell intervallo Politecnico di Torino 3

4 Teorema di esistenza degli zeri 7 Osservazione Senza l ipotesi di continuità della funzione nell intervallo chiuso non sarebbe possibile [a, b] dedurre l esistenza di uno zero dalla sola condizione f(a)f(b) < Politecnico di Torino 4

5 Esempio La funzione f : [0, 1] R definita come f(x) = 1 0 x 1 se 2, +1 se 1 2 <x 1 assume valori di segno discorde agli estremi dell intervallo ma non si annulla mai; essa presenta una discontinuità di salto nel punto x = Osservazione L ipotesi f(a)f(b) < 0 è sufficiente ma non necessaria, per l esistenza di uno zero Politecnico di Torino 5

6 Esempio 1 La funzione continua f(x) =(2x 1) 2 si annulla in x = 1 2 interno all intervallo [0, 1] pur essendo strettamente positiva negli estremi dell intervallo f(0) = f(1) = 1 11 Consideriamo la funzione nell intervallo [0, 2] Essendo un polinomio, la funzione è continua Inoltre si ha Pertanto, esiste almeno uno zero di Esempio 2 f(x) =x 5 + x 2 5 f(0) = 5 e f(2) = 31 f in [0, 2] Politecnico di Torino 6

7 Esempio 2 Tale zero è unico in quanto è strettamente crescente nell intervallo perché somma delle y = x 5 funzioni strettamente crescenti e y = x 2 e della funzione costante y = 5. f 13 Corollario Sia f continua in un intervallo Supponiamo che esistano i limiti per tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo Tali limiti (finiti o infiniti) siano diversi da di segno opposto f ha uno zero in I lo zero è unico se f I f x è strettamente monotona in 0 e I Politecnico di Torino 7

8 Dimostrazione Il risultato segue dal Teorema di permanenza del segno e dal Teorema di esistenza degli zeri. 15 Esempio Consideriamo la funzione f(x) =x +logx, x I =(0, + ) Essa è strettamente crescente in somma delle due funzioni crescenti I in quanto y = x e y =logx Politecnico di Torino 8

9 Esempio Poiché lim f(x) = x 0 + e lim f(x) =+ x + la funzione ha esattamente uno zero nel suo dominio. 17 Corollario Siano Se tale che f,g : [a, b] R f(a) <g(a) e esiste almeno un punto continue f(b) >g(b) f(x 0 )=g(x 0 ) x 0 (a, b) Politecnico di Torino 9

10 Corollario 19 Dimostrazione Sia h(x) =f(x) g(x) [a, b] h(x) è continua in h(a) =f(a) g(a) < 0 h(b) =f(b) g(b) > 0 e Pertanto h esistenza degli zeri soddisfa le ipotesi del Teorema di Politecnico di Torino 10

11 Dimostrazione x 0 (a, b) f(x 0 )=g(x 0 ) tale che h(x 0 )=0 cioè 21 Esempio Vogliamo trovare tutte le soluzioni dell equazione Poiché non vi sono soluzioni per Inoltre e o per quindi non vi sono soluzioni nell intervallo Le eventuali soluzioni vanno cercate nell intervallo cos x = x 1 cos x 1 x R x< 1 cos x>0 [0, 1] x>1 x<0 x [ 1, 0) [ 1, 0) Politecnico di Torino 11

12 Esempio f(x) =x g(x) =cosx continue in [0, 1] inoltre, f(0) = 0 < 1=g(0) e f(1) = 1 > cos 1 = g(1) Le funzioni e sono Per il corollario precedente deduciamo che l equazione ha una soluzione nell intervallo (0, 1) 23 Esempio f Essa è unica, in quanto è strettamente crescente e g è strettamente decrescente in [0, 1] Politecnico di Torino 12

13 Teorema dei valori intermedi Sia f :[a, b] R continua f f(a) assume tutti i valori compresi tra e f(b) Politecnico di Torino 13

14 Teorema dei valori intermedi 27 Dimostrazione Se f(a) =f(b) il risultato è banale Supponiamo dapprima che z f(a) f(b) g(x) =z Sia un valore compreso tra e e definiamo la funzione costante Dalle disuguaglianze otteniamo immediatamente f(a) <g(a) f(a) <z<f(b), e f(a) <f(b) f(b) >g(b) Politecnico di Torino 14

15 Per il Corollario precedente applicato in troviamo un punto x 0 (a, b) f(x 0 )=g(x 0 )=z Dimostrazione tale che [a, b] Se f(a) >f(b), f e g funzioni si scambiano i ruoli delle 29 Corollario Sia f Allora una funzione continua su un intervallo f(i) è ancora un intervallo di estremi I inf x I f(x) e sup x I f(x) Politecnico di Torino 15

16 Esempio 1 f(x) =cosx f :(0, π) ( 1, 1) cioè f(0, π) =( 1, 1) f :( π, π) ( 1, 1] cioè f( π, π) =( 1, 1] 31 Esempio Politecnico di Torino 16

17 Esempio 2 f(x) =tanx f :( π 2, π 2 ) (, ) f(x) = arctan x f :(, ) ( π 2, π 2 ) 33 Esempio Politecnico di Torino 17

18 Teorema di Weierstrass Sia f :[a, b] R continua f è limitata su [a, b] e ivi assume valori massimo e minimo m =min x [a,b] f(x) e M =max x [a,b] f(x) Politecnico di Torino 18

19 Teorema di Weierstrass Dunque f([a, b]) = [m, M] Politecnico di Torino 19

20 Teorema I Sia f Allora f una funzione continua su un intervallo f è iniettiva su è strettamente monotona su I I I 39 Teorema II Sia f una funzione continua e invertibile su un intervallo I la funzione inversa sull intervallo J = f(i) f 1 è continua Politecnico di Torino 20

21 Esempi Sono continue le funzioni: y =arcsinx y =arccosx y =arctanx y =log a x Politecnico di Torino 21