I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

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1 I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI MINIMI RELATIVI 4. DETERMINAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI (A TANG. ORIZZ.) 4.1 ALTRO METODO PER DETERMINARE LA NATURA DEI PUNTI STAZ. 5. DETERMINAZIONE DELLA CONCAVITÀ E DEI FLESSI 6. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI MINIMI ASSOLUTI

2 1. DEFINIZIONI a. massimo (minimo) relativo: data la unzione y = (), deinita in un intervallo D, diremo ce D è un punto di massimo (minimo) relativo per (), se esiste un intorno di, con D, tale ce () ( ) ( () ( ) ). Il valore ( ) è detto massimo (minimo) relativo di (); in particolare tale massimo (minimo) sarà orte se, con () < ( ) ( () > ( ) ). Massimi e minimi relativi sono detti in generale estremanti relativi o locali. In un punto di massimo - minimo relativo la unzione può essere derivabile, continua ma non derivabile, non continua. b. lesso: sia y = () una unzione continua in un punto e derivabile nell intorno di, escluso al più, e si supponga ce nel punto [ ; ( ) ] il graico di () ammetta tangente t, allora è un punto di lesso per () se esistono un intorno destro + di e un intorno sinistro - di, in corrispondenza dei quali il graico della () si trova da parti opposte rispetto alla tangente t. In particolare se - -, () è sotto (sopra) la tangente t + -, () è sopra (sotto) la tangente t è un lesso ascendente (discendente) 1

3 La retta tangente in un punto di lesso può essere orizzontale, verticale, obliqua (lesso orizzontale, verticale, obliquo). Se la tangente è verticale, nel punto di lesso la unzione non è derivabile. c. concavità: Sia y = () una unzione derivabile (la derivata esiste ed è inita) nei punti interni di un intervallo. Sia y = r() la retta ce congiunge i punti P( p, ( p )) e Q( q, ( q )), con p e q [a ;b]. La () è concava verso l alto (il basso) nell intervallo [a ;b], se [ p ; q ] e coppia di p e q [a ;b], si veriica ce () r() ( () r() ).

4 . TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 Teorema (della unzione derivabile in un punto con estremante locale): Nei punti di massimo o minimo locali di una unzione derivabile, interni al dominio D, la derivata vale zero. Dimostrazione. Sia un punto interno a D, in cui la unzione () presenti un massimo relativo e in cui sia derivabile, quindi: a) per la deinizione di estremante locale (1.a), esiste un intorno di, con D, tale ce () ( ) e preso un R, tale ce +, sono vere le seguenti relazioni: se ) osserva ce ( se b) per l ipotesi di derivabilità in e per il teorema della permanenza del segno, si a: lim lim La dimostrazione sarebbe analoga, se osse un punto di minimo locale ( in questo caso ( +) - ( ) ). Osservazioni 3

5 1. Il punto deve essere interno al dominio D, per poter calcolare i due limiti da destra e da sinistra del rapporto incrementale. Se D = [ 1 ; ], il teorema non è applicabile nei punti 1 e.. Signiicato geometrico: se la unzione () nel punto = soddisa alle ipotesi del teorema, allora nel punto P[ ;( )] il graico della () a per tangente una retta parallela all asse delle ascisse (coe. ang. m = ( ) = ). 3. La condizione ( ) = è necessaria, ma non suiciente percé il punto interno sia un punto con estremante relativo. La unzione () = 3 nel punto = ammette derivata prima uguale a zero, tuttavia in tale punto non c è estremante relativo, bensì lesso orizzontale, con tangente di lesso y =.. Teoremi di Rolle, di Caucy, di Lagrange Questi tre teoremi riguardano unzioni continue in un intervallo ciuso e limitato [a;b] e derivabili almeno in ]a;b[. Teorema di Rolle Se una unzione () è continua in un intervallo ciuso e limitato [a;b], è derivabile in ]a;b[ e assume valori uguali agli estremi, cioè (a) = (b), allora esiste almeno un punto interno all intervallo in cui la sua derivata si annulla: ( ) =. Dimostrazione. 4

6 Per il teorema di Weierstrass la unzione () ammette in [a;b] massimo e minimo, quindi esistono almeno due punti, 1 e [a;b], in corrispondenza dei quali la () ammette rispettivamente minimo locale m = ( 1 ) e massimo locale, M = ( ). Si possono presentare i seguenti due casi, uno particolare, l altro generale: 1. 1 = a, m = (a) e = b, M = (b), in tal caso è evidente ce la () assume un valore costante [a;b] e ce quindi () = [a;b], inatti: a b a b m M m M (*) (*) teorema dei valori intermedi m M k, k k k e a; b. Escluso ce si veriici il caso 1, esiste sicuramente almeno un punto ]a;b[ in corrispondenza del quale la () ammette estremante locale: sia, per esempio, un punto di massimo relativo, con ( ) = M. In tale situazione valgono le ipotesi del teorema n.1, cioè la () nel punto interno ad [a;b] è derivabile e ammette estremante relativo, quindi ( ) =. Osservazioni 1. Signiicato geometrico. Se una unzione è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ e (a) = (b), allora esiste almeno un punto P[ ;( )] del graico, in cui la tangente è parallela all asse delle. Nell esempio di igura il graico presenta due punti a tangente orizzontale. 5

7 . Corollario. Se una unzione () in un intervallo I è indeinitamente derivabile e si annulla in m punti, allora la () si annulla in almeno (m-1) punti, la () si annulla in almeno (m-) punti,, la m -1 () si annulla in almeno un punto. (vedi es.1) Esempi 1. Veriica del corollario precedente.. Veriica se le seguenti unzioni soddisano nell intervallo indicato le ipotesi del teorema di Rolle e, in caso aermativo, trova i punti dell intervallo ce veriicano il teorema. a. sin sin [; ] 1^ ipotesi: D = R; la () è continua I ; ^ ipotesi: sin cos cos ; D = R, quindi la () è derivabile ];[; 3^ ipotesi: () = () =. La unzione () soddisa alle ipotesi del teorema di Rolle. 6

8 I punti dell intervallo I ce veriicano il teorema sono le soluzioni dell equazione () = : π π sin cos cos ; cos 3 6 5π 6 sin 1,,. 1 b. 1 [; ] 1^ ipotesi: D = R; la () è continua I ; ^ ipotesi: per -1 1 per derivabile I; 3^ ipotesi: () = ( ) = D = R\{-1;1}, quindi la () non è La unzione () non soddisa alla seconda ipotesi del teorema di Rolle, quindi il teorema, in questo caso, non è applicabile. Teorema di Caucy Siano () e g() due unzioni continue in un intervallo ciuso e limitato [a;b], derivabili in ]a;b[ e sia inoltre g () ]a;b[. b a Esiste, allora, almeno un punto interno all intervallo, tale ce g b g a g Esempio Veriica se le due unzioni () = ln, g() = + 3 soddisano le ipotesi del teorema di Caucy nell intervallo I = [1;3] e, in caso aermativo, trova i punti dell intervallo ce veriicano il teorema. 1^ ipotesi: D = R ; D g = R; le due unzioni sono continue I ; 1 ^ ipotesi: ; D R ; g 1; D R 7 g, e g sono derivabili ]1;3[;.

9 3^ ipotesi: g () = 1 ]1;3[. Le unzioni () e g() soddisano alle ipotesi del teorema di Caucy. I punti dell intervallo I ce veriicano il teorema sono le soluzioni dell equazione g g1 g ; ln3 ln ;. ln3 Teorema di Lagrange (o del valor medio) Se () è una unzione continua in un intervallo ciuso e limitato [a;b], derivabile in ] a;b[, esiste almeno un punto interno all intervallo, tale ce b a. Dimostrazione. b a Il teorema si può dimostrare come caso particolare del teorema di Caucy, ponendo g() =, e quindi g () = 1, g(b) = b e g(a) = a : g b a b ga g b a b a. Osservazioni 1. Signiicato geometrico. Se una unzione è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[, allora esiste almeno un punto P[ ;( )] del graico, in cui la tangente è parallela alla retta passante per i punti di coordinate A[a;(a)] e B[b;(b)]. Nell esempio di igura il graico presenta due punti con tali caratteristice, P 1 [ 1 ;( 1 )] e P [ ;( )]. 8

10 . Il teorema di Rolle può essere interpretato come un caso particolare del teorema di Lagrange, inatti, se (a) = (b), allora ( ) = (sequenza didattica: Rolle Caucy Lagrange, sequenza storica Lagrange 181 Rolle Caucy). b a 3. Il rapporto a ance il signiicato di valore medio della () b a nell intervallo considerato [a;b] (vedi esempio n.3). Esempi 3 1) Veriica se la unzione (igura precedente) nell intervallo I = [-1;] soddisa alle ipotesi del teorema di Lagrange e, in caso aermativo, trova i punti dell intervallo ce veriicano il teorema. 1^ ipotesi: D = R; la () è continua I ; ^ ipotesi: 3 ; D = R, quindi la () è derivabile ]-1;[; La unzione () soddisa alle ipotesi del teorema di Lagrange. I punti dell intervallo I ce veriicano il teorema sono le soluzioni dell equazione: b a 6 3 ; 3 1, b a ) Veriica se la unzione tg nell intervallo I = [;] soddisa alle ipotesi del teorema di Lagrange e, in caso aermativo, trova i punti dell intervallo ce veriicano il teorema. 1^ ipotesi: D = R\{/ + k}, quindi la () non è sempre continua in I ; ^ ipotesi: 1 tg ; D = D, quindi la () non è sempre derivabile in I. La unzione () non soddisa né alla prima ipotesi, né alla seconda, quindi il teorema di Lagrange, in questo caso, non è applicabile. 3) Sia s(t) = -t 3 + t + t + ( t ) l equazione oraria del moto di un punto su una retta. Rispondi ai seguenti quesiti, considerando s in metri e t in secondi: a. determina la velocità media v m nell intervallo di tempo I = [;3/]; b) dimostrare, giustiicando la risposta, ce esiste almeno un istante t interno ad I, in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media in I; c) determinare l istante in cui il corpo inverte il senso del moto sulla retta. Risposte 9

11 a) v m s ; v t m = s 3 s( ) m/s e, per il teorema di Lagrange, v m = s (t ). b) v(t) = s (t); v(t) = -3t +t +1 ; v(t ) = v m 3t t 1 t sec c) v(t) ; -3t +t +1 per -1/3 t 1, quindi t =1 sec..3 Dal teorema di Lagrange seguono i seguenti due teoremi: Teorema dal T. di Lagrange (della unzione costante) Se () è una unzione continua in un intervallo ciuso e limitato [a;b], derivabile in ] a;b[ e tale ce () = ]a;b[, allora () è costante in tutto [a;b]. Dimostrazione. Applicando il teorema di L. per un punto ]a;[, dove è un punto qualsiasi di a [a;b] diverso da a, si a: a. a Poicé questo risultato vale ]a;b[, deve essere ()=costante in tutto[a;b]. Teorema dal T. di Lagrange (della unzione monotona) Sia y = () una unzione continua in un intervallo (limitato o no) e derivabile nei punti interni di ; se () > allora () è crescente in (cioè 1,, con 1 < ( 1 ) < ( ) ); se () < allora () è decrescente in (cioè 1,, con 1 < ( 1 ) > ( ) ). Dimostrazione. Supponiamo ce sia () > interno di I, allora, presi due punti 1 e I, con 1 <, per il teorema di Lagrange, applicato a () nell intervallo ciuso e limitato [ 1 ; ], si a: 1, con 1; I. 1 Essendo - 1 > e, per ipotesi,, allora vale ance ( ) - ( 1 ) >, cioè 1

12 ( ) > ( 1 ); questo è vero 1 e I, quindi la () è crescente in I. Analogamente si dimostra per () < interno di I. Osservazioni. a) PROPRIETÀ DI MONOTONIA Questo teorema è di ondamentale importanza nello studio di unzione, in quanto consente di determinare gli intervalli del dominio in cui è monotona (crescente o decrescente): () > unzione crescente () < unzione decrescente b) Questo teorema esprime una condizione suiciente. Per comprendere ce non è una condizione necessaria, basta osservare la unzione () = 3, crescente in tutto R, con () =. ( () = 3 > R \ ).. 1 c) Teorema : sia y = () una unzione continua in un intervallo (limitato o no) e derivabile nei punti interni di ; se () è crescente in si a () se () è decrescente in si a () 11

13 Questo teorema non è esattamente l inverso del Teorema a causa dei diversi segni di diseguaglianza (vedi ance esempio precedente). d) Signiicato geometrico Se ()> ( ()<) ]a;b[, allora il graico della () a in ogni suo punto una tangente con coeiciente angolare positivo (negativo), quindi la () è crescente (decrescente). Esempio 3 Data la unzione (vedi Fig.), determinane gli intervalli di monotonia. Dominio: D = R; 3 ; per 3. 1

14 3. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI Data una unzione y = () deinita in un insieme D, nella ricerca dei punti di massimo o di minimo relativi si presentano i seguenti casi: a. dove la unzione è derivabile si seguono le modalità del punto 4 (Determinazione dei punti stazionari); b. nei punti in cui la unzione è continua, ma non derivabile (*): la unzione sia derivabile in un intorno di, escluso, se risulta, \ () > per < è un punto angoloso con massimo relativo () < per > () < per < è un punto angoloso con minimo relativo () > per > c. nei punti in cui la unzione non è continua si valuta di volta in volta secondo il tipo di discontinuità. 13

15 igura: in a la unzione è derivabile, in b e continua, ma non derivabile (punto angoloso), in c non è continua, in d non è continua e non ammette né massimo, né minimo rel. 4. DETERMINAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI (a tangente orizzontale) ( ) = è un punto stazionario Un punto stazionario può essere un massimo relativo, un minimo relativo o un lesso a tangente orizzontale. Teorema: sia y = () una unzione derivabile in un intorno completo di, se risulta ( ) = e inoltre se (con ) : () > per < () < per > è un punto di massimo relativo (orte) () < per < () > per > è un punto di minimo relativo (orte) () > per < () > per > è un punto di lesso orizzontale ascendente () < per < è un punto di lesso orizzontale discendente 14

16 () < per > 4.1 ALTRO METODO PER DET. LA NATURA DEI PUNTI STAZ. ( ) = è un punto stazionario (a tangente orizzontale) Teorema: sia y = () una unzione derivabile n volte, con derivata continua nei punti di un intervallo, se in un punto la prima derivata diversa da zero a) è di ordine pari 1. se n ( ) > in c è un minimo rel.. se n ( ) < in c è un massimo rel. b) è di ordine dispari 1. se n+1 ( ) > in c è un lesso orizz. Asc.. se n+1 ( ) < in c è un lesso orizz. Disc. 15

17 Esempi: 1. () = 4 per = si a () = 4 3 = ; () = 1 = ; () = 4 = IV () = 4 > in c è un minimo rel.. () = 3 per = si a () = 3 = ; () = 6 = ; () = 6 > in c è un lesso orizz. ascendente. 5. DETERMINAZIONE DELLA CONCAVITÀ E DEI FLESSI () a concavità verso l alto in [a;b] () [a;b] () a concavità verso il basso in [a;b] () [a;b] Teorema: condizione necessaria e suiciente aincé una unzione y = (), derivabile in, abbia concavità verso l alto (il basso) in [a ;b], è ce la sua derivata prima y = () sia crescente, cioè con () (decrescente, () ) in [a ;b]. Da quanto detto, si deduce ce un lesso per una curva è un punto nel quale cambia la concavità. Se ( ) assume nell intorno sinistro di valori di segno opposto a quelli ce assume nell intorno destro è un punto di lesso. Se la concavità passa da 16

18 verso l alto a verso il basso il lesso è discendente verso il basso a verso l alto il lesso è ascendente Da quanto detto è evidente ce nei punti di lesso si veriica () = ; questa è solo una condizione necessaria, non suiciente per l esistenza di un lesso, basta inatti pensare alla unzione y = 4 nel punto = : () = ; () =, ma () = 1 > tanto a destra quanto a sinistra di =.. Se è lesso ( ) =, ma non è detto ce valga il contrario. 6. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE Sia () una unzione deinita in un intervallo I. Il massimo assoluto di (), se esiste, è il massimo dei valori del codominio di (), cioè è quel numero M tale ce I, () M Il minimo assoluto di (), se esiste, è il minimo dei valori del codominio di (), cioè è quel numero m tale ce I, () m I punti di minimo e di massimo assoluto vanno ricercati tra: 1- gli estremi dell intervallo I, se sono punti appartenenti ad I; - i punti interni ad I nei quali () = ; 3- i punti interni ad I nei quali la () non è derivabile. 17

19 (*) Se l intervallo I non è limitato e ciuso, si deve determinare il limite della () dove I è aperto o illimitato. (L 1 ed L siano i due possibili limiti). m è il minimo assoluto e M è il massimo assoluto, se sono rispettivamente il più piccolo e il più grande ra i numeri individuati in 1,, 3 e se sono rispettivamente e di L 1 ed L, qualora si veriici (*). 18

20 Se la () è continua in I limitato e ciuso, il teorema di Weierstrass garantisce l esistenza di m ed M. 19