G5. Studio di funzione - Esercizi
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- Annibale Casati
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1 G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le difficoltà di calcolo, la ricerca algebrica dei flessi Per gli esercizi con due asterischi non è richiesta, date la difficoltà di calcolo, la ricerca algebrica di massimi e minimi = = - = - 4 = 4-5 = (- 6 =- 7 =- ( ( (* + + ( - Esercizi G5-
2 (* ( - + ( ( ( - (* - (* ( + ( = Esercizi G5-
3 ( - - (** ( - ( - 9 ( - = (-( = ( - + (* (+ ( - = ( (* 6 ( ( - 69 =e 70 = e (* - 7 e e - e 74 = e - (* - 75 e (* ln - ln - (* ln + 4 ln - 4 ln - (* (* (* (* (* Esercizi G5-
4 8 - ln( 8 =ln(e -(* 84 = = (* =sen+cos 9 =sen ( 94 =sen( (**(* 95 sen tg =tg- 98 =sen- Tracciare il grafico delle seguenti funzioni conoscendone alcune caratteristiche I grafici delle funzioni seguenti sono al termine degli esercizi 99 DOMINIO: 4; ASINTOTI: =0 lim f( = 0- e = limf( = + PUNTI DI DISCONTINUITA : = di specie è un asintoto verticale lim f( = 0 4- SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA int assi (;0 e (4;0 minimo (0;- flesso (-;- 00 DOMINIO: - ASINTOTI: =- verticale lim f( = - e lim -+ f( = +, =-+ obliquo -- PUNTI DI DISCONTINUITA : =- di specie è un asintoto verticale SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA int assi (;0 e (0;- min (-; ma (;0 fl a tg verticale (-; 0 DOMINIO: <0; lim ASINTOTI: = è asintoto orizzontale f( = = è asintoto orizzontale f( = + - =0 è asintoto verticale PUNTI DI DISCONTINUITA : lim 0- f( = + =- Esercizi G5-4 lim
5 lim + f( = 0 SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA - 0 int assi (-;0 e (;0 min (-;0 punto angoloso (;0 a tg verticale 0 DOMINIO: R LA FUNZIONE E PARI ASINTOTI: =- è asintoto orizzontale lim f( = -+ SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA 0 DOMINIO: -; ; ASINTOTI: =0 è asintoto orizzontale lim f( = 0- + =- è asintoto verticale lim f( = + - = è asintoto verticale lim lim lim f( = 0+ f( = + + f( = - - PUNTI DI DISCONTINUITA : =- e = di specie sono asintoti verticali = di specie SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA lim lim f( = + - f( = int assi (-;0 e (;0 e il minimo (0;0 massimi (-; e (; cuspidi a tg verticale int assi (;0 e (0; no ma no min fl(0;tg infl =-+ 04 DOMINIO: R LA FUNZIONE E DISPARI NON CI SONO ASINTOTI NE PUNTI DI DISCONTINUITA lim f( = + f( = - + lim - SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA - - -/ - 0 / INTERSEZIONE CON GLI ASSI (-;0 ;0 (0;0 ;0 (;0 MASSIMI (-; (;, MINIMI (-;- (;- FLESSI ;0 con m=-; (0;0 con m=; ;0 con m=- 05 DOMINIO: R LA FUNZIONE E DISPARI ASINTOTI: ci sono due asintoti orizzontali, = f( = e =- f( = - + lim NON CI SONO PUNTI DI DISCONTINUITA Essendo la funzione dispari si danno il segno della funzione e delle derivate solo per >0, tanto la funzione è simmetrica rispetto all origine lim SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA 0 / / 5/ 7/ 4 9/ 5 / 6 / Esercizi G5-5
6 Massimi 7; 4 5; (-;0 ; ; 5 (4; 6; eccetera Minimi 6; (-4;- ; 5 ; (;0 5; 7; 4 eccetera Flessi ; ; 9 ; 7 ; 5 ; ;0 (0;0 ;0 5 ; 7 ; 9 ; ; eccetera 06 DOMINIO: R LA FUNZIONE E DISPARI ASINTOTI: = è l asintoto obliquo SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA int assi (0;0 (0;0 fl a tg orizzontale fl (-4; e (4; m= La funzione passa per i punti (-;- e (; 07 DOMINIO: R NON CI SONO SIMMETRIE ASINTOTI: =0 è asintoto orizzontale lim f( = 0+ lim = è asintoto obliquo f( = + + SEGNO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA - 0 Riconoscere dal grafico le caratteristiche delle seguenti funzioni int assi (;0 e (0; ma (0; min (;0 flessi (-; m= (; m=- (; tg verticale I risultati sono al termine degli esercizi Esercizi G5-6
7 0 Esercizi G5-7
8 Esercizi G5-8
9 Quale tra i seguenti è il grafico della funzione data? 8 = - a 9 = = c d b c d - a b c d + a - 4 a = = b Esercizi d ( - a c b 0 b c G5-9 d
10 = - a 4 d = b c d (- a b c d ln( - a b c d sen( + a Esercizi c a 7 e 6 b 5 b c G5-0 d
11 Quale tra le seguenti funzioni è rappresentata dal grafico in figura? 8 a ( - b - c - d - 9 a - b - c - d - 0 a + b + c + d + a + b - c ( + d + a + b - c - d + a - b + c + d - Esercizi G5-
12 RISULTATI Traccia il grafico delle seguenti funzioni Si controlli la scala dei grafici perché, per esigenze di leggibilità, non è sempre la stessa = Massimo (0; Minimi ;- 4 (- ; Flessi ( ; (- ; Int assi = ± = ± = - Minimo (0;0 Massimo (; Flesso ; Intasse = = - Massimo (-; Minimo (;- Flesso (0;0 m=- Int assi = ± 4 = 4-7 Minimo ( ;- Flesso (;- 6 Flesso a tg orizzontale (0;0 Esercizi G5-
13 5 = (- Minimi (0;0 (;0 Ma (; Flessi( ; ( ; 6 =- Flesso a tg orizzontale (0; Int asse = 7 =- (+ 7 Massimo (- ; Flesso(-; 6 Flesso a tg or (-; Int asse = ± 5/ flesso(0;0 Minimo ( ;- 5 Flessi ( ;- Ma (-; 5 (- ; 5 5 Esercizi G5-
14 9 + - Asintoti: =, = Asintoti: =-, = 6 Asintoti: =0, =0 - Asintoti: =, = Esercizi G5-4
15 4-4 Massimo (0;- Asintoti =; =-; =0 4 - Asintoti: =0, =0 5 + Asintoto: =0, massimo(0; Flessi: ( ;, (- ; Asintoti: =, =0 Esercizi G5-5
16 7 - Minimo (; Asintoti: =0, =, = Asintoto =0 Massimo - ;8 Flessi (0;6, (-;6 9 - Asintoti: =, =0 Flesso a tangente orizzontale (0;- Flesso (- ; Asintoti: =0, =0, =- 4 Minimo (- ; 7 Esercizi G5-6
17 - 4 Asintoti: =0, =-, =0, = - 7 Massimo ( ; 48-7 Minimo ( ; Massimo ( ; Asintoti: =0, =0, = ( + Asintoti: =0, =0, =- 64 Minimo (- ; Asintoti: =±, =±, =0 0 9 Massimo ± ;- 4 Minimo (0; Esercizi G5-7
18 5 - Asintoti: =, =-, =0 Flesso (0;0 m= Asintoti: =-, =0, =0 Flessi non richiesti - Massimo ( + ; - - Minimo ( - ; 7 + ( - Asintoti: =0, = - Minimo (-; 8 - Flesso (-5; Asintoti: =0, =, =0 Flesso non richiesto Esercizi G5-8
19 Asintoti: =0, =-4, =0 Flesso (-; Massimo ( ; 4 Minimo (-;- 4 Flesso (0;0 m = 4 Flessi ( ; (- ; Asintoti: =, =0 Minimo ( - ;- Flesso( - ;- - + Asintoti: =0, =0, = Massimi( + 5; 8 ( - 5; Flesso non richiesto Esercizi G5-9
20 - Asintoti: =0, =0 4 Massimo ( ; 7 Flesso ( ; Asintoti: =-, =, = Minimo (0;4 5-4 Asintoti: =, = Asintoto: = Minimo (0;- Esercizi G5-0
21 Asintoti: =, =-, = Massimo: ( 0; Asintoti: =0, =-, = Flessi non richiesti 9 ( - Asintoti: =, = Minimo (0;0 Flesso (- ; 9 m= ( - Asintoti: =, = Flesso (-;0 Minimo (- ;- 8 Esercizi G5-
22 4-4 ( - Asintoti: =, = ( - Asintoti: =, = Minimo (-; 0 Flesso (-4; Asintoti: =, =0 Massimo (0;0-4 Minimo (- ; Flessi non richiesti 44 ( + ( - Asintoti: =0, =± Minimo (0;0 Esercizi G5-
23 45 - Asintoto: = 7 Minimo ( ; 4 Flesso (0; Punto di disc di specie (0;-4 47 = - Asintoto: =0 Flesso (;0 Minimo ( - ; Asintoto: =0 Minimo (-;0 Flesso (;0 Esercizi G5-
24 49 - Asintoti: = ± ; = Flesso a tangente orizzontale (0;0 Massimo - (- ; Minimo ( ; 50 - Asintoti: =0, = Massimo - ; Asintoti: =±, = Flesso (0; Asintoti: =0, =- Minimo (;0 Flesso ( 6; 9 Esercizi G5-4
25 5 ( - Asintoti: =, = Flesso (-; 8 Flesso a tg orizzontale (0; ( - Asintoti: =, =+4 Flessi (-; ( ; 9 Massimi e minimi non richiesti 55 ( - 9 ( - Asintoti: =, = Flessi (-;- 8 ( 9; 64 Massimo ( +; 4 Minimo - ( - ; 4 56 ( - ( - 9 Asintoti: =, =, = ± Flesso a tangente orizzontale (0;0 Altro flesso non richiesto Massimo -9 ( 6-9; 6 Minimo 9 (-6-9; 6 Esercizi G5-5
26 Asintoto: =0 Massimo (- ;0 Minimo ( ;0 58 ( - + Asintoto: =- Massimo ( ;8 - Minimo +4 (- ; 49 Flesso a tangente orizzontale (0;0 Altri flessi non richiesti 59 ( + ( - Asintoto: =0 Minimo (-;0 Massimo (- ; Altri flessi non richiesti 60 ( - Asintoti: =0, = Minimo (;0 Massimo (-;0 Flessi 4 ( ; 9, -4 (- ; 9 Esercizi G5-6
27 6 - Dominio: R-]0;[ Asintoti : = ± 6 - Dominio: [-;0] [,+ [ Massimo 4 - ; Flessi non richiesti flesso 6 ( + 4 Dominio: -4 Minimo (0;0-8 6 Massimo ( ; Dominio: R-]0;] Asintoti: =, = Esercizi G5-7
28 65 - Dominio: R-]0;] Asintoti: = ± ±, = Minimo ( ; Dominio: R-[-;] Asintoti: ±, =± Minimi( - ;,( ; 67 - Dominio: R -[-;] Asintoti: =±, = Non ci sono massimi, minimi e flessi 68 ( - Dominio: 0, Asintoti: =, =0 Flesso non richiesto flesso Esercizi G5-8
29 69 =e Asintoto: =0 Minimo - (-; e Flesso - (-; e 70 = e Asintoto: =0 Flessi non richiesti Minimo (0;0 Massimo 4 ( -; e 7 - e Asintoti: =0, =- Massimo (-;-e Il punto (0;0 (non appartenente al dominio avrebbe tangente orizzontale 7 - e Asintoto: = Minimo (0;0 Flessi ( ;e ( - ;e Esercizi G5-9
30 7 - e Asintoti: =0, =e Flesso ( ; e 74 = e - Asintoto: =0 Flesso a tangente orizzontale (0;0 7 Massimo ( ; e Altri flessi non richiesti 75 - e Le due figure sono riferite alla stessa funzione ma hanno scala diversa Asintoti: =, =0 Massimo (0; Minimo (;e 4 Altri flessi non richiesti Asintoti: = Flesso non richiesto = punto di discontinuità di specie Esercizi G5-0
31 77 ln Dominio: >0 Asintoto: =0 78 ln - Dominio: <0, > Asintoti: =, =0, =0 79 ln + 4 Dominio: >0 Asintoto =0 Massimo (;-ln Flesso non richiesto flesso 80 ln - 4 Dominio: ]-;0[ ]0;+ [ Asintoti: =-, =0, = Flesso non richiesto Intersezione assi ( 7 ± = Esercizi G5-
32 8 ln - Dominio: > Asintoto: = Minimo (;ln4 Flesso non richiesto flesso 8 - ln( Asintoti: =0, =0 Funzione pari Minimi ( ± e;- e Flessi non richiesti flesso flesso 8 =ln(e - Minimo (0;0 Flessi non richiesti 84 = - + Esercizi G5-
33 85 = - Punti angolosi (±;0 m=± 86 - Asintoti: =, = Asintoti: =±, =0 Minimo (0; 88 - Asintoti: =±, =0 Flesso (0;0 Esercizi G5-
34 89 - Asintoti: =;, =--, =+ Minimi (0;0 (; = punto di discontinuità di specie Massimo (-;0 9 - Asintoti: =0, = Massimo (-;0 Minimo (;0 9 =sen+cos π Massimo ( ; 4 - π Minimo ( ; 4 Flessi ( ;0 ( π π ;0 4 4 Esercizi G5-4
35 9 =sen ( Massimo (π; Minimo (0;0 Flessi ( ; ( π π 4 ; 4 94 =sen( Minimo (0;0 95 sen π Minimo ( ; π Massimo ( ;- 96 tg π Asintoti: = +kπ Minimo (0; Flessi (π+kπ;0 Esercizi G5-5
36 97 =tg- π Asintoti: = +kπ Flessi (π+kπ;-kπ 98 =sen- π Massimi ( +k π ;0 π Minimi ( +k ;- π Tracciare il grafico delle seguenti funzioni conoscendone alcune caratteristiche Esercizi G5-6
37 Esercizi G5-7
38 06 07 Riconoscere dal grafico le caratteristiche delle seguenti funzioni 08 DOMINIO: 0 INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (;0 (-;0 EVENTUALI SIMMETRIE: funzione pari 4 ASINTOTI: =0; =0 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =0 di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma(; ma(-; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flessi a tg obliqua ( ; ( -; 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva per > e per <-; f negativa per <<0 e per 0<< 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente per <- e per 0<<; f decrescente per <<0 e per > INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto per <- e per >; f concava verso il basso per <<0 e per 0<< 09 DOMINIO: -; 0 ; INTERSEZIONE CON GLI ASSI: non ce ne sono EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: =0; =; =; =0 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =- di specie; =0 e = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma(;- 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flesso a tg orizzontale (;4; flesso a tg verticale (4; 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva per >; f negativa per <, con -; 0 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente per 0<<; f decrescente per <-; -<<0; <<; <<; > INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto per <<; >4; f concava verso il basso per <-; -<<0; 0<<; <<4 0 DOMINIO: R INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (-7;0 (-5;0 (-;0 (-;0 (0;-4 (;0 (;0 (5;0 (7;0 EVENTUALI SIMMETRIE: la funzione è pari 4 ASINTOTI: =0 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: non ce ne sono Esercizi G5-8
39 6 MASSIMI e MINIMI: ma ( -6; (-; (; ( 6; ; min (-4;- (0;-4 (4;- 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flessi (-7;0 (-5;0 (-;0 (-;0 (0;-4 (;0 (;0 (5;0 (7;0 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva 7<<-5; -<<-; <<; 5<<7; ;f negativa -5<<-; -<<; <<5; 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente -8<<-6; -4<<-; 0<<; 4<<6 f decrescente -6<<-4; -<<0; <<4; 6<<8 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f conc verso l alto -5<<-;-<<;<<5; f conc verso il basso 7<<-5;-<<-;<<;5<<7; DOMINIO: 5; INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (-;0 (0;- ( ;0 EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: = 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma (-; (; (5;; min (4; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flesso (0;- m=- 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: punto angoloso (-; m - = m + =-; cuspide (4; 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: 4 f positiva -<<- ; 4 <<5 ; f negativa <-; << ; << 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente <-; <<; 4<<5; f decrescente <<; <<4 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO f conc verso l alto <-; -<<0; f conc verso il basso <<-; 0<<; <<4; 4<<5 DOMINIO: -, INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (0;0 EVENTUALI SIMMETRIE: la funzione è dispari 4 ASINTOTI: =-; =; =+; =- 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =- e = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma(-;- min(; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: fl a tg obl (0;0 m= fl a tg verticale (-6;- e (6; 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva per >0 ; f negativa per <0-0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente <-; -<<; >; f decrescente <<-; << INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto <-6; 0<<; <<6; f concava verso il basso 6<<-; -<<0; >6 DOMINIO: R INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (0;0 (;0 EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: non ce ne sono 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: non ce ne sono 6 MASSIMI e MINIMI: ma(0;0, min(;- 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flesso a tg or (-;- flessi a tg obliqua (;- (-;-- 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva per >; f negativa per <0; 0<<- 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente per <-; -<<0; >; f decrescente per 0<<- INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto <<-; >; f concava verso il basso <-; -<<- 4 DOMINIO: -- INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (-;0 (0;8/ (;0 EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: =- 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =- di specie; = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: (; massimo assoluto Esercizi G5-9
40 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva <<-; -<<; f negativa <-; > 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente <-; -<<; f decrescente > INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto <-; >; f concava verso il basso << 5 DOMINIO: INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (-;0 (0;0 EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: =-; = 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: = di specie; = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma(-; min(-;- e (4; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flessi a tg orizzontale (-;0 (0;0 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: cuspidi (-;- (-; 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva <<0;>; f negativa <-; 0<< 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente-<<-; >4; f decrescente <-; -<<; <<; <<4 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f conc verso l alto <<-; -<<0; <<; >; f concava verso il basso <-; -<<-; 0<< 6 DOMINIO:-4< 4 INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (-,;0 (0;, EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: =-4 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =-4 di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma (-; (;4 min (; (4; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: fl a tg obl (; 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: punto angoloso (-; m - = m + =- 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f pos,< 4; f neg 4<<-, 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente 4<<-; <<; f decrescente <<; <<4 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto <<; f concava verso il basso 4<<-; <<4 7 DOMINIO: -, INTERSEZIONE CON GLI ASSI: (0; (4;0 EVENTUALI SIMMETRIE: non ce ne sono 4 ASINTOTI: =-; =; = + 5 PUNTI DI DISCONTINUITA E LORO SPECIE: =- e = di specie 6 MASSIMI e MINIMI: ma(-;- min(0; 7 FLESSI A TG ORIZZONTALE, VERTICALE E OBLIQUA e RELATIVA RETTA TANGENTE: flesso a tg orizzontale (; flesso a tg obliqua (; 8 PUNTI ANGOLOSI e CUSPIDI e RELATIVA RETTA TANGENTE: non ce ne sono 9 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è POSITIVA o NEGATIVA: f positiva <<; >4; f negativa <-; <<4 0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE e CRESCENTE o DECRESCENTE: f crescente <-; 0<<; <<; >; f decrescente <<-; -<<0 INTERVALLI IN CUI LA FUNZIONE è CONCAVA VERSO l ALTO o VERSO il BASSO: f concava verso l alto <<; <<; f concava verso il basso <-; <<; > Quale tra i seguenti è il grafico della funzione data? 8 b la f è pari, quindi è una delle prime due; il grado del numeratore è più piccolo del grado del denominatore, quindi l asintoto orizzontale è =0, quindi è la b 9 d la f è sempre positiva, quindi siamo nel caso c o d La funzione vale 0 solo se è 0, quindi è da escludere il caso c nel quale la funzione vale 0 sia per =0 che per = Resta il caso d 0 a la f è pari, quindi restano solo i casi a e c Poiché numeratore e denominatore hanno lo stesso grado l asintoto orizzontale sarà il rapporto dei coeff di grado massimo ossia = Quindi è il caso a d la f interseca l asse per = e per =-, che sono le soluzioni di -=0 Restano quindi i casi a, b e d Il grado del num e quello del den sono uguali quindi l asintoto orizzontale sarà il rapporto dei coeff di grado massimo ossia = Restano i casi a e d Calcolando la derivata prima si vede che la funzione non ha massimi, quindi è il caso d c la f è sempre positiva, quindi l unico caso è il c (Il caso a passa per (0;0 quindi in 0 la funzione non è positiva Esercizi G5-40
41 a la f è dispari, quindi restano i casi a e c Svolgendo la derivata prima si trovano un massimo e un minimo, quindi si è nel caso a 4 d la f è positiva per >0, negativa altrimenti Restano i casi b e d Il dominio è R, quindi la soluzione è il caso d 5 a la f è sempre positiva, e l unico caso è a 6 b il dominio è <0; > Restano i casi a e b Il logaritmo tende a infinito per che tende a infinito, quindi il caso corretto è b 7 b si deve spostare la funzione =sen verso sinistra di, quindi si ottiene il caso b (vedi il capitolo G paragrafo G grafici deducibili Quale tra le seguenti funzioni è rappresentata dal grafico in figura? 8 c Ci sono due asintoti verticali per = e =-, e uno orizzontale per = Solo la funzione c ha tali caratteristiche Infatti il dominio è e -, da cui i due asintoti verticali Inoltre il grado del numeratore e quello del denominatore sono uguali, da cui 9 a =0 è asintoto, per cui al denominatore deve esserci la Anche =0 è asintoto, quindi il grado del numeratore deve essere minore del grado del denominatore Solo la funzione a ha tali caratteristiche 0 c =0 è asintoto, per cui al denominatore deve esserci la Anche = è asintoto, quindi il grado del denominatore e del denominatore deve essere uguale Solo la funzione c ha tali caratteristiche d Il dominio è R Vanno quindi escluse le funzioni b e c =0 è asintoto, quindi il grado del numeratore deve essere minore del grado del denominatore Solo la funzione d ha tali caratteristiche b La funzione interseca l asse nei punti =-; =0; = Tali punti si ricavano dall equazione f(=0 +=0 ha solo una sol =0 quindi è da escludere -=0 ha proprio le soluzioni cercate quindi è la funzione in figura c La funzione è uguale a =, ma è traslata verso sinistra di Ricordando il paragrafo G grafici deducibili se al posto di c è + si ha una traslazione verso sinistra di La funzione richiesta è quindi = + Esercizi G5-4
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