, per cui le due curve f( x)

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1 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione = La funzione = è definita nel dominio dato da, pertanto il grafico della funzione gx ( ) si troverà al di sopra dell asse x. Nei punti in cui si annulla la funzione f( x ) si annulla anche la funzione =, per cui le due curve e = incontrano l asse x nei medesimi punti. Nei punti in cui = = risulta anche = = per cui i punti aventi ordinata risultano coincidenti per entrambe le curve Gli asintoti verticali che si deducono da lim f ( x ) = +, essendo lim = + x c x c coincidono, cioè sono asintoti verticali per entrambe le curve. Se la funzione f( x ) ammette limite positivo k per x ±, la funzione = ammetterà limite k, per cui se = k è un asintoto orizzontale per la f( x ), sarà un asintoto orizzontale per la = Se la funzione f( x ) è crescente sarà crescente anche la funzione =, se la f( x ) è decrescente sarà decrescente anche la =, se la funzione f( x ) ha un massimo o un minimo in ( ; ( )) in ( x; f( x) ) x f x, la funzione gx ( ) avrà un massimo o un minimo = k Esempio Data la funzione = x + dedurre il grafico della finzione = x + La funzione = x + rappresenta una parabola avente vertice V (;) con la concavità rivolta verso l alto, non incontra l asse x La funzione = x + sarà sempre positiva, = = per x = Le due curve passano quindi per il punto V (;). Entrambe le curve non possiedono asintoti Per x < la f( x ) è decrescente, anche la f( x ) è decrescente Per x > la f( x ) è crescente, anche la f( x ) è crescente Per x = la f( x ) ha un minimo, anche la f( x ) ha un minimo Per qualsiasi punto x la sua ordinata sarà f( x ) per la f( x ) mentre sarà f( x ) per la f( x ).

2 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica I grafici delle due curve saranno Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione gx ( ) = Il dominio della funzione Si ha inoltre gx ( ) = coincide con il dominio della f ( x ) con la condizione Per i punti per cui f( x ) > anche gx ( ) > Per i punti per cui f( x ) < anche gx ( ) < Per i punti per cui f( x ) = anche gx ( ) = = Per i punti per cui f( x ) = anche gx ( ) Le due curve si incontrano nei punti aventi ordinate + e Se lim = si avrà lim = per cui la retta x= x risulta essere un asintoto x x x x f ( x ) verticale della curva gx ( ) = Se la retta x= x è un asintoto verticale per la f( x ) cioè se lim = si ha lim = ( ) x x f x x x

3 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 3 di 9 eas matematica Se la curva f( x ) possiede un asintoto orizzontale = k cioè se lim = k allora lim =, anche la curva gx ( ) x f ( x ) k equazione è = k Inoltre ove f( x ) è crescente,la gx ( ) f ( x ) è decrescente la gx ( ) Se nel punto ( ; ( )) x x f x la f( x ) ha un massimo, nel punto x; la gx ( ) = f( x) x ; f( x ) la f( x ) ha un minimo, nel punto ha un minimo, e viceversa se nel punto ( ) x; la f( x) Esempio gx ( ) = ha un massimo Data la funzione = + 6 dedurre il grafico della finzione = x 6 x x La funzione x x nei punti (;) e (3;) Il grafico sarà = + 6 è una parabola avente vertice in V ;, incontra l asse x 4

4 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 4 di 9 eas matematica La funzione gx ( ) f ( x ) e negativa ove è negativa la f( x ) si ha quindi per x < e x > 3 per < x < 3 risulta evidente che le rette x = e x = 3 sono asintoti verticali inoltre essendo per la lim = avremo lim = per cui l asse x sarà un asintoto orizzontale poiché la funzione f( x ) è decrescente per x < e crescente per x > la gx ( ) = risulta crescente per x < e decrescente per x >. Per x = la f( x ) presenta un minimo in V ; 4 gx ( ) in ; 4 Il grafici di gx ( ) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione = e La funzione f x : = e ha lo stesso dominio della ( ) dom = dom e f x ( )

5 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica Risulta inoltre sempre positiva nel dominio x Poiché se x > risulta e > si ha se f( x ) > allora x Se x < allora < e < quindi se f( x ) < allora x Se x = allorae = quindi se f( x ) = allora x x x x Se lim = allora lime = Se lim = + allora x x entrambe le funzioni Se lim = l allora x mentre la retta lim e f x x ( x ) e = e > ( ) < f x < e = + la retta x= x è un asintoto verticale per ( ) lim e f x e l x l = e è un asintoto orizzontale per la = la retta = l è un asintoto orizzontale per la = e Se lim = allora lime = e = l asse x sarà un asintoto orizzontale per la = e Se la f( x ) è crescente o decrescente o decrescente la decrescente, se la ( ) massimo o un minimo in( ; f ( x x ) e ) Esempio f x ha un massimo o un minimo in ( ; ( )) = e sarà crescente o x f x, la = e ha un Data la funzione x = x + dedurre il grafico della finzione = e x Le due funzioni sono definite nello stesso dominio dom f = ; U ; + la funzione ] [ ] [ x = e risulta positiva nel dominio Consideriamo la funzione d hanno equazioni x = e c x = e = il centro è il punto C( ; ), incontra l asse x nel punto la funzione risulta positiva f( x ) > per x < o per il grafico sarà x = essa è un iperbole equilatera traslata i cui asintoti x + a = cioè c x = x > e negativa per < x <

6 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 6 di 9 eas matematica per x < o per x > il grafico della funzione x = e si trova al di sopra della retta = La funzione risulta negativa f( x ) < per < x < otteniamo quindi x x< e <

7 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 7 di 9 eas matematica Il grafico della funzione dell asse x Per x = si ha = e = e x La curva interseca l asse nel punto Inoltre lim x x e = e = e = e = + = e si troverà al di sotto della retta = e al di sopra A, e + x x lim e = e = e = e = la retta x = è un asintoto verticale sinistro per la funzione gx. ( ) Essendo x lim = x + lim e x = e si ha pertanto la retta = e è un asintoto orizzontale per la funzione gx ( ) Inoltre ( x ) 3 f '( x) = = ( ) ( ) essendo la derivata sempre positiva la funzione f( x ) risulta strettamente crescente, quindi anche la gx ( ) x = e è strettamente crescente. Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione = ln Dovendo essere f( x ) > dobbiamo non considerare la parte della funzione risulta f( x ) <. Si ha Dove la curva f( x ) interseca l asse x si ha lim ln = x x pertanto la funzione gx ( ) possiede asintoti verticali del tipo x= x Inoltre se f( x ) = allora = ln = per cui essendo = = una retta parallela all asse x, la curva gx ( ) interseca l asse x nei punti che hanno per ascissa l ascissa delle intersezioni della retta = con la curva f( x ). Dove la f( x ) cresce, cresce anche la gx ( ) e viceversa dove decresce la decresce anche la ( ) minimo, la ( ) gx,. Se nel punto ( x, f( x ) ) la ( ) gx avrà un massimo o un minimo in ( x,ln f( x )) ove f x ha un massimo o un

8 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 8 di 9 eas matematica Esempio Data la funzione = 4 x dedurre il grafico della finzione = ln(4 x ) Consideriamo la curva 4 x la curva = = il cui dominio è D f = ] ; + [ = = ln(4 x ) avrà come dominio D = ] ; + [ Il grafico della funzione data è una parabola con vertice V (;4), volge la concavità verso il basso e incontra l asse delle x in ( ;) e ( ;) g Eliminiamo quindi il ramo posto nel semipiano < La curva logaritmica = ln(4 x ) presenta asintoti verticali nei punti in cui la curva f( x ) incontra l asse x, cioè avremo x = x = Intersechiamo la f( x ) con la retta =, avremo x =± 3. Pertanto la curva gx ( ) incontra l asse x nei punti ( 3;) e ( 3;) gx cresce nell intervallo ] ;[ decresce nell intervallo ] [ La ( ) nel punto (;ln 4) Si ha il grafico ; e presenta un massimo

9 DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina 9 di 9 eas matematica