La parabola. Tutti i diritti sono riservati.

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1 La parabola Copyright c 8 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. La parabola di equazione y = a + b + c Concavità Se a varia Simmetria Asse di simmetria Vertice Intersezione con assi Se c varia Se b varia Esercizio riassuntivo Disequazione di II grado e Segno del trinomio 8 Disequazione di II grado Segno del trinomio Definizione di parabola 8 La parabola come conica La parabola come luogo geometrico Il fuoco Intersezioni della parabola con altre curve del piano Intersezioni parabola-retta Intersezioni parabola-parabola Intersezioni parabola-circonferenza Tangenti ad una parabola 7

2 La parabola di equazione y = a + b + c Il grafico della parabola di equazione y = a + b + c I passi fondamentali che conducono ad un disegno della parabola di equazione y = a + b + c che contiene gli elementi essenziali sono i seguenti:. segno di a (verso della concavità). asse di simmetria. vertice (minimo per a >, massimo per a < ). intersezione con l asse. intersezione con l asse y Discuteremo come esempio particolare il grafico della parabola di equazione: y = + Il segno di a ovvero il verso della concavità Per a > la concavità è rivolta verso l alto; per a < la concavità è rivolta verso il basso: y = y = y 6

3 Il segno di a ovvero il verso della concavità a = + > la concavità è rivolta verso l alto; a = < la concavità è rivolta verso il basso: y y = y = + 6 Se a varia... Cambia l ampiezza dell apertura e la concavità. In particolare: Per valori positivi ma decrescenti di a, la parabola diventa via via più allargata e meno piccata intorno al suo asse di simmetria fino a diventare piatta cioè una retta per a = per poi cambiare concavità verso il basso per a <, al crescere del valore assoluto di a la parabola ridiventa sempre più stretta e piccata intorno al suo asse di simmetria

4 Simmetria e asse di simmetria Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. Una trasformazione può essere per esempio una rotazione nel piano intorno ad un asse perpendicolare alla figura stessa. In questo caso vi è un punto della figura che rimane fisso detto centro della simmetria. Se i punti fissi formano una retta (come in una riflessione nel piano, o una rotazione nello spazio) questa è detto asse della simmetria La determinazione dell asse di simmetria L asse di simmetria della parabola y = a + b + c ha equazione: = b a

5 Asse di simmetria per parabole della forma y = a + c Per b = l asse di simmetria della parabola ha equazione: = cioè coincide con l asse delle ordinate Il vertice ovvero il minimo o il massimo della parabola Il vertice è il punto di intersezione tra la parabola e l asse di simmetria. Si tratta di un minimo per a > e un massimo per a <

6 Il vertice ovvero il minimo o il massimo della parabola Le coordinate del vertice V della parabola ( v,y v ) sono date da: v = b a y v = b + ac = a a Intersezione con gli assi Intersezione con l asse : { y = a + b + c equazione dell asse Intersezione con l asse y: { y = a + b + c equazione dell assey 6

7 Intersezione con l asse { y = a + b + c y = Intersezione con l asse y { y = a + b + c =

8 Se c varia... { y = a + b + c = Si deduce che il punto di intersezione con l asse y è di coordinate Inoltre essendo le coordinate del vertice (,c). ( b b,c + a a ) ne deriva che al variare di c la parabola si sposta verticalmente. Se b varia... Essendo le coordinate del vertice V ( v,y v ) della parabola di equazione y = a + b + c : v = b a y v = b a + c = a ( ) b + c = a v + c a fissato a e c ne deriva che al variare di b il vertice della parabola si sposta muovendosi su una parabola di equazione y v = a v + c 8

9 Esercizio riassuntivo Disegniamo il grafico della parabola di equazione y = Disequazione di II grado e Segno del trinomio La parabola e le disequazioni di II grado Risolvere a + b + c > posto y = a + b + c equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola si trova sopra l asse delle ascisse? y 9

10 La parabola e le disequazioni di II grado Risolvere + > posto y = + equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola si trova sopra l asse delle ascisse? y La parabola e le disequazioni di II grado Risolvere a + b + c < posto y = a + b + c equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola si trova sotto l asse delle ascisse? y

11 La parabola e le disequazioni di II grado Risolvere + < posto y = + equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola si trova sotto l asse delle ascisse? y La parabola e le equazioni di II grado Risolvere a + b + c = posto y = a + b + c equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola interseca l asse delle ascisse? y

12 La parabola e le equazioni di II grado Risolvere = posto y = equivale a chiedersi per quali valori della il grafico della parabola interseca l asse delle ascisse? y La parabola e lo studio del segno del trinomio y = a + b + c con a > > = <

13 La parabola e lo studio del segno del trinomio y = a + b + c con a < > = < La parabola e lo studio del segno del trinomio: un esempio y = a + b + c y =

14 Definizione di parabola La parabola come conica La parabola come luogo geometrico In matematica, ed in particolare in geometria, un luogo geometrico, o, più semplicemente, un luogo, è l insieme di tutti e soli i punti del piano o dello spazio che hanno in comune una determinata proprietà. La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola.

15 La parabola, il fuoco e la direttrice La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco F( F,y F ) e da una retta detta direttrice della parabola Una proprietà del fuoco

16 Intersezioni della parabola con altre curve del piano Intersezioni di una parabola con una retta { y = a + b + c y = m + n Intersezioni di due parabole { y = a + b + c y = a + b + c

17 Intersezioni di una parabola con una circonferenza { y = a + b + c + y + m + ny + p = Tangenti ad una parabola Tangenti ad una parabola Tangenti ad una parabola per un punto esterno Tangenti ad una parabola per un punto appartenente alla parabola Tangenti ad una parabola per un punto interno 7

18 Tangenti ad una parabola Tangenti ad una parabola per un punto esterno Tangenti ad una parabola Tangenti ad una parabola per un punto appartenente alla parabola

19 Tangenti ad una parabola Tangenti ad una parabola per un punto interno