Parabole (per studenti del biennio)

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1 Parabole (per studenti del biennio) Equazione della parabola con vertice in O(0,0) : = a Equazione della parabola con vertice in V( 0,0) : = a 0

2 Equazione della parabola con vertice in V(0, 0 ) : = a

3 - - - In generale una parabola con asse parallelo all asse delle e vertice in V 0, 0 ha un equazione del tipo: = a Sviluppando il quadrato : = a a 0 + a 0 + 0, equazione del tipo = a + b + c, dove Risolvendo il sistema rispetto a 0 e 0 : b = a 0 c = a = c a b a 0 = b a = c b a = ac b a (*) Dunque: una funzione del tipo = a + b + c rappresenta una parabola con asse parallelo all asse delle, avente vertice in V b a, ac b a.

4 Soluzione Soluzione Soluzione Esempio Scrivere l equazione della parabola (con asse parallelo all asse delle ) avente vertice in O(0,0) e passante per: a) A(,) b) B(, -5) c) C(,-) In tutti e tre i casi la parabola ha equazione del tipo = a. a) Imponendo il passaggio per A, si ha = a da cui a = ; parabola : =. b) Imponendo il passaggio per B, si ha 5 = a da cui a = 5 ; parabola : = 5. c) Imponendo il passaggio per C, si ha = a( ) da cui a = ; parabola : =. Esempio Scrivere l equazione della parabola (con asse parallelo all asse delle ) avente:: a) vertice in V(,0) e passante per A(,) b) vertice in V(,0) e passante per B(, -5) c) vertice in V(,0) e passante per C(,-) In tutti e tre i casi la parabola ha equazione del tipo = a 0 ( 0 è l ascissa del vertice). a) Parabola = a ; passa per A, dunque: = a, da cui a =. Parabola =, da cui, infine: = + b) Parabola = a + ; passa per B, dunque: 5 = a +, da cui a = 5. Parabola = 5 +, da cui, infine: = c) Parabola = a ; passa per C, dunque: = a, da cui a = Parabola = 5, da cui, infine: = Esempio Scrivere l equazione della parabola (con asse parallelo all asse delle ) avente:: a) vertice in V(0,) e passante per A(,) b) vertice in V(0,-) e passante per B(, 5) c) vertice in V(0,) e passante per C(,-) In tutti e tre i casi la parabola ha equazione del tipo = a + 0 ( 0 è l ordinata del vertice). a) Parabola = a + ; passa per A, dunque: = a +, da cui a =. Parabola = +. b) Parabola = a ; passa per B, dunque: 5 = a, da cui a = 7. Parabola = 7. c) Parabola = a + ; passa per C, dunque: = a, da cui a =. Parabola =. Esempio Scrivere l equazione della parabola (con asse parallelo all asse delle ) avente:: a) vertice in V(,) e passante per A(,) b) vertice in V(,-) e passante per B(, 5)

5 Soluzione In tutti e tre i casi la parabola ha equazione del tipo = a ( 0, 0 sono le coordinate del vertice). a) Parabola = a( ) + ; passa per A, dunque: = a +, da cui a =. Parabola = ( ) +. Sviluppando il quadrato: = + + b) Parabola = a( ) ; passa per B, dunque: 5 = a( ), da cui a = 7/. Parabola = 7. Sviluppando il quadrato si ottiene l equazione = Esercizi ) Scrivere l equazione della parabola ad asse parallelo all asse delle nei seguenti casi (disegnare anche la parabola ottenuta): a) Vertice (0,0) e passante per (,5) b) Vertice in (-,0) e passante per (,-) c) Vertice in (0,) e passante per (6,5) d) Vertice in (0,) e passante per (,) e) Vertice in (,-) e passante per (,5) f) Vertice in (,) e passante per (-,) g) Passante per (,0), (,) e (,5) ) Per ciascuna delle parabole che seguono determinarne gli elementi caratteristici (vertice, asse, intersezioni, ove esistono, con gli assi cartesiani) e darne una rappresentazione grafica: a) = ( ) + b) = + + c) = + d) = e) = + + ) Nel piano cartesiano, riferito ad un sistema di riferimento ortonormato O, sono date la parabola = + e la retta = +. a) Disegnare la parabola e la retta nel riferimento cartesiano dato. b) Determinare le coordinate dei punti d intersezione della parabola e della retta (siano A e B). c) Calcolare l area del triangolo OAB ed il suo perimetro. ) Come per l esercizio ) ma per la parabola = + e per la retta =. 5) Nel piano cartesiano, riferito ad un sistema di riferimento ortonormato O, sono date le parabole = e = + 8. a) Disegnare le due parabole dopo averne determinato gli elementi caratteristici (vertice, intersezioni con gli assi cartesiani). b) Determinare algebricamente le coordinate dei punti d intersezione delle due parabole. c) Verificare che la prima parabola è tangente (due intersezioni coincidenti) alla retta r: =. d) La seconda parabola interseca la retta r nei punti A e B. Determinare algebricamente le coordinate di questi punti.