Esercizi e problemi sulla parabola

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1 Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare, per quali k, la parabola ha come asse di simmetria la retta x =. (c) Determinare, per quali k, la parabola volge la concavità verso il basso. (d) Determinare, per quali k, la parabola ha il vertice sulla retta r di equazione 5x + y = 0; (e) Fissato k =, determinare fuoco, vertice, asse di simmetria, direttrice della parabola Γ ottenuta e procedere ad una sua rappresentazione graca. Esercizio. Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate passante per il punto P (, 1) ed avente il vertice nel punto V (1, ). Esercizio 3. Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse passante per i punti A( 1, 0), B(1, 1), C(, ). Esercizio 4. Calcolare la lunghezza della corda AB che la parabola Γ di equazione 8 stacca sulla retta r di equazione 8. Esercizio 5. Determinare la posizione della parabola Γ di equazione rispetto alle rette: r: ; s: x y + 4 = 0; t: x + y + 13 = 0. x = y + 6y Esercizio 6. Considerata la retta r di equazione y = x, determinare la retta s, ad essa parallela, tangente alla parabola Γ di equazione. Esercizio 7. (a) Determinare le rette uscenti dal punto P (0, ) tangenti alla parabola Γ di equazione +. (b) Indicati con A, B i punti di tangenza di cui al punto (a), calcolare perimetro ed area del triangolo ABP. 1

2 Soluzioni Esercizio 1. Una generica parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate (come quelle in questione) ha equazione y = ax + bx + c e, nel nostro caso, a = a(k) = k + 1, b = b(k) =, c = c(k) = k 4. (a) Una parabola (e più in generale una curva) passa per l'origine quando è nullo il termine noto. Nel nostro caso, si ha, allora, c(k) = 0 k 4 = 0 k = 4 k = ± (b) L'asse di simmetria ha equazione x = b/(a) e, dunque, x = (k + 1) x = 1 k + 1 Dal confronto di quest'ultima con l'equazione x = data, si ha: 1 k + 1 = 1 = (k + 1) 1 = k + k = 1 k = 1 (c) Una parabola volge la concavità verso il basso quando a < 0 per cui, nel nostro caso, deve risultare: k + 1 < 0 k < 1 (d) Le coordinate del vertice V (x V, y V ) sono date da x V = b a = 1 k + 1 y V = b 4ac = 4 4(k + 1)(k 4) 4a 4(k + 1) Imponendo che V r si ha: = 1 k k 4 da cui 5x V + y V = 0 5 k k + 1 +k 4 = 0 4 k + 1 +k 4 = (k + 1)(k 4) +k 4 = 0 k k 3 4k + k 4 = 0 k 3 + k 4k = 0 k(k + k 4) = 0 k = 0 k + k 4 = 0 k = 0 k = 1 ± Le soluzioni sono, dunque, k = 0 k = 1 17 e rappresentano la risposta al quesito posto. k =

3 (e) Fissato k =, si ottiene: Γ : y = 3x x Indicando con V, F, r a, d, rispettivamente, vertice, fuoco, asse di simmetria e direttrice della parabola, si ha: ( V b ) ( ) a, 4ac 1 b V 4a 3, 1 3 ( F b ) ( ) a, b + 4ac F 4a 3, 1 4 r a : x = b a ovvero x = x V x = 1 3 d : y = 4ac b 1 y = 5 4a 1 Esercizio. Tutte le parabole di questo tipo aventi vertice in V hanno equazione y y V = a(x x V ) ovvero Imponendo il passaggio per P, si ha: y + = a(x 1) 1 + = a( 1) 3 a = 3 a = 1 3 La parabola cercata è, allora, quella di equazione y + = 1 (x 1) 3 ovvero y = 1 3 x 3 x 5 3 Si noti che, allo stesso risultato, si perviene considerando la generica equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate y = ax + bx + c (1) ed imponendo il passaggio per P e le condizioni su ascissa ed ordinata di V. In tal modo si ottiene un sistema in a, b, c le cui soluzioni, sostituite nell'equazione (1), conducono alla stessa parabola determinata in precedenza. Esercizio 3. La generica parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse ha equazione x = ay + by + c () Imponendo il passaggio per A, B, C, si hanno le tre condizioni necessarie alla determinazione dell'equazione cercata: c = 1; a + b + c = 1; 3

4 4a b + c =, che, dovendo essere vericate contemporaneamente, conducono al sistema algebrico lineare: c = 1 a + b + c = +1 4a b + c = + la cui soluzione è la terna che, sostituita nella (), comporta a = 15 7 b = 1 7 c = 1 x = 15 7 y 1 7 y 1 e risponde alla domanda posta. Esercizio 4. La corda AB ha gli estremi A, B dati dall'intersezione r Γ per il cui studio va risolto il sistema di secondo grado: { { 8 x 8 = x { x = 0 x = 0 8 { x(x ) = 0 8 { x x = 0 8 { x = 0 y = 8 { x = y = 4 Dunque, A(0, 8), B(, 4) ed, applicando la formula della distanza euclidea, si ha che la lunghezza del segmento AB è data da AB = (x B x A ) + (y B y A ) = = 0 = 5 Esercizio 5. Per determinare la posizione di una parabola rispetto ad una retta va studiata la loro intersezione ed, in particolare, il segno del discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente. Studio di r Γ: { x = y + 6y { y = y + 6y y + 5y = 0 { y + 5y = 0 che è spuria e, pertanto, il suo discriminante > 0 cosicché la retta è secante la parabola. Studio di s Γ: { { x = y + 6y y 4 = y x y + 4 = 0 + 6y x = y 4 ovvero y + 4y = 0 (y + ) = 0 { y + 4y + 4 = 0 per cui = 0. Ne segue che la retta è tangente alla parabola. 4

5 Studio di t Γ: { { x = y + 6y y 13 = y x + y + 13 = 0 + 6y x = y 13 { y + 7y + 13 = 0 ed il suo discriminante è y + 7y + 13 = 0 = 7 4(1)(13) = 49 5 = 3 < 0 per cui la retta è esterna alla parabola. Esercizio 6. Il fascio di rette parallele ad r è r k di equazione y = x + k Mettendo a sistema r k con Γ ed imponendo la condizione di tangenza, si perviene alla soluzione. Così facendo, si ha: { { { x + k = x y = x + k x + x k = 0 y = x + k y = x + k ed il suo discriminante è Imponendo la condizione di tangenza: x + x k = 0 = (k) = 1 + 4k = 0 si ha da cui 4k + 1 = 0 k = 1 4 La retta cercata è, allora, quella di equazione Esercizio 7. y = x 1 4 (a) Le rette cercate appartengono al fascio proprio r m delle rette di centro P avente equazione: y + = mx Procedendo come nell'esercizio precedente, si ha: r m Γ : { + y + = mx { mx = x + y = mx { x mx + 4 = 0 y = mx 5

6 ed il suo discriminante è x mx + 4 = 0 = (m) = m 16 Imponendo la condizione di tangenza: si ha da cui Le rette cercate sono, pertanto, = 0 m 16 = 0 m = 16 m = ±4 r 4 : y = 4x r 4 : y = 4x (b) Per determinare A, B, bisogna sostituire m = ±4 nel sistema considerato al punto (a). Per m = 4, si ha: { x + 4x + 4 = 0 y = 4x { { (x + ) = 0 x = y = 4x y = 6 per cui A(, 6). Per m = 4, si ha: { x 4x + 4 = 0 y = 4x { (x ) = 0 y = 4x { x = y = 6 per cui B(, 6). Si noti che il secondo sistema poteva anche non essere risolto in quanto P giace sull'asse di simmetria della parabola che coincide con l'asse delle ordinate per cui B è il simmetrico di A rispetto al tale asse. Per lo stesso motivo il triangolo ABP è isoscele con la base AB contenuta nella retta y = 6 e con i lati AP e BP uguali. Si ha, allora, AB = x B x A = 4 AP = BP = (x P x B ) + (y P y B ) = = 68 = 17 mentre l'altezza relativa ad AB, coincidente col segmento P H essendo H il punto medio del segmento AB per cui H(0, 6), ha misura P H = y P y H = 6 = 8 Indicati con P ed A perimetro ed area del triangolo ABP, si ha: P = AB + AP = = 4(1 + 17) A = AB P H = 3 = 16 6