Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III

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1 Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il recupero del debito. Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 1

2 Contenuti: Elementi di geometria analitica: la funzione lineare Modulo 1 Richiami sul piano cartesiano 1. Sistema di riferimento cartesiano. Punti del piano Coppie ordinate di numeri reali 3. Quadranti 4. Equazione asse delle ascisse e equazione asse delle ordinate 5. Distanza fra due punti 6. Punto medio di un segmento Modulo Le funzioni lineari 1. Equazioni di primo grado in due incognite :. Il grafico di una funzione di 1 grado 3. La retta in forma implicita e in forma esplicita 4. Equazione di una retta passante per l origine 5. Equazioni di: asse x, asse y, prima e seconda bisettrice, retta parallela Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag.

3 all asse x, retta parallela all asse y. 6. Significato del coefficiente angolare m. 7. Coefficiente angolare di una retta in forma implicita e in forma esplicita 8. Intersezione di una retta con gli assi cartesiani 9. Intersezione di due rette 10. La condizione di parallelismo di due rette 11. La condizione di perpendicolarità di due rette 1. L equazione di una retta passante per un punto e parallela a una retta data 13. L equazione di una retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data 14. L equazione di una retta passante per due punti Modulo 3 Equazioni di grado 1. Equazioni di grado in una incognita. Equazioni pure 3. Equazioni spurie 4. Equazioni complete di grado 5. Equazioni riconducibili ad equazioni di grado Modulo 4 Le funzioni quadratiche 1. Le funzioni di secondo grado. L equazione di una parabola con asse parallelo all asse delle ordinate 3. Il grafico della funzione y ax bx c 4. Vertice, asse, fuoco e direttrice della parabola di equazione y ax bx c 5. Disegno della parabola di equazione y ax bx c 6. Intersezione di una retta con la parabola Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 3

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16 EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO Dato un punto ( ) si ottiene un fascio proprio di rette, di equazione: ( ) Due rette sono perpendicolari se, e solo se vale la seguente uguaglianza dove m e sono i coefficienti angolari delle due rette Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 16

18 FORMULARIO SULLA RETTA ax + by + c = 0 y = mx + q y = mx y = 0 x = 0 y = k x = h y = x y = -x retta generica in forma implicita retta generica in forma esplicita retta che passa per l'origine O ( 0;0) equazione dell'asse delle ascisse (x) equaz. dell'asse delle ordinate (y) retta parallela all'asse delle ascisse retta parallela all'asse delle ordinate equazione della bisettrice del I e III quadrante equazione della bisettrice del II e IV quadrante Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 18

20 Distanza tra due punti A(x A ; y A ) B(x B ; y B ) Primo caso: Se A e B hanno la stessa ordinata (y A = y B ) allora AB = x A - x B Es: A( -1 ; ) B( 5 ; ) AB = -1-5 = 6 u Secondo caso: Se A e B hanno la stessa ascissa (x A = x B ) ) allora AB = y A - y B Es : A( -1 ; ) B(-1;-3) allora AB = -(-3) = 5u Terzo caso: Se A e B hanno ascissa e ordinata diversa Es: A(-1;) B(;3) allora Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 0

21 Esercizi base sulla retta 1) Data l equazione della retta in forma implicita cioè del tipo ax+by+c =0 ricavare la forma esplicita del tipo y = mx+q: Retta in forma implicita: Ricavo la forma esplicita: Se c = 0 x-3y=0 ossia q = 0 = 3 la retta passa per O(0;0) formulario sulla retta ) Data l equazione della retta in forma implicita, fare il grafico: Retta in forma implicita Ricavo la forma esplicita Determino due punti della retta assegnando alla x ( variabile indipendente) due valori a piacere e ricavando i corrispondenti valori della y: x y x y Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 1

22 EQUAZIONE DELLA RETTA Esercizio 1 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto A(,-1) ed avente coefficiente angolare 5. Soluzione 1 Utilizzo la formula dell'equazione della retta passante per un punto (scrivi la formula). Sostituisco : y - = (x ) Ottengo così l'equazione (fare i calcoli e verifica se il risultato da te ottenuto corrisponde all equazione sotto riportata y = 5x - 9 Esercizio Scrivi l'equazione della retta passante per i punti A(-,3) e B(1,- 5). Soluzione Utilizzo la formula dell'equazione della retta passante per due punti (scrivi la formula) e ottengo: (fare i calcoli e verifica se il risultato da te ottenuto corrisponde all equazione sotto riportata) 8x + 3y +7 =0 Esercizio 3 Scrivi l'equazione della retta passante per A(3,0) e parallela alla retta r di equazione: y = -x + 5. Soluzione 3 La retta r ha coefficiente angolare m =. Utilizzo la formula dell'equazione della retta passante per un punto ( scrivi la formula). Sostituendo si ottiene (fare i calcoli e verifica se il risultato da te ottenuto corrisponde all equazione sotto riportata) : y = -x + 6 Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag.

23 VERIFICA LE TUE COMPETENZE SULLA RETTA RETTA ALUNNO 1) Il punto ( ;-3) si trova nel : (vale ½ punto) A: I quadrante; B: II quadran.; C: III quadran.; D: IV quadrante. ) Disegna il grafico della retta y = 3x + è: (vale ½ punto) 3) Le coordinate del punto medio del segmento che unisce i punti P(-;-4) e Q( -1;3), sono: (vale ½ punto) A: (-3;- 1 ); B: (- 3 ;- 1 ); C: ( - 1 ;-4); D: (- 3 ;-) 4) La retta che passa per P(-3; -5) ed è parallela alla retta di equazione 8x y +1 = 0, ha equazione: (vale punti) 5) Calcola il punto di intersezione delle rette: (vale 1 punto) r: x -y +13 = 0 e s: x -y +15 = 0 6) La retta che passa per i due punti P(1;3) e Q(-3;4) è: ( vale 1 punto) A: x +3 y 1 = 0; Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 3 B: x +4y - 13 = 0;

27 RIPETIAMO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 7

28 EQUAZIONI DI GRADO PREREQUISITI Per affrontare questa unità didattica lo studente deve saper: Eseguire operazioni con numeri naturali, interi relativi e razionali relativi Risolvere equazioni di primo grado Calcolare radici quadrate OBIETTIVI In questa unità didattica lo studente imparerà: A riconoscere la forma normale di un equazione di II grado A distinguere tra equazioni complete, pure e spurie A conoscere ed applicare la formula risolutiva A conoscere il significato del discriminante A risolvere equazioni complete, pure e spurie Equazioni complete Formula risolutiva Significato del discriminante Equazioni incomplete Equazioni incomplete pure Equazioni incomplete spurie CONTENUTI EQUAZIONI COMPLETE La forma normale di un equazione di grado completa è: a x + b x + c = 0 con a, b, c numeri reali e a 0 FORMULA RISOLUTIVA Per risolvere un equazione di secondo grado completa si applica la formula: x 1/ b b a 4ac L espressione che appare sotto il segno di radice b 4ac si chiama discriminante dell equazione e si indica con la lettera greca ( delta ). SIGNIFICATO DEL DISCRIMINANTE Il segno di determina le soluzioni di un equazione di secondo grado: Se > 0 Se = 0 Se < 0 l equazione l equazione L equazione ammette ammette non ammette due soluzioni reali due soluzioni reali soluzioni Recupero debito e distinte matematica classi III Prof.ssa e coincidenti Gabriella Migliaccio Pag. 8

29 PARABOLA DEFINIZIONE: La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. In simboli si può scrivere: d(p,f)=d(p,r)} la parabola ha un'asse di simmetria che coincide con la retta perpendicolare alla direttrice passante per F Il vertice della parabola è equidistante da fuoco e direttrice: Algebricamente diremo che una qualsiasi funzione di secondo grado y ax bx c Relazioni da ricordare: Equazione della parabola Coordinate del vertice Coordinate del fuoco Equazione della direttrice Equazione asse di simmetria è una parabola. y ax b V ; a 4a b 1 F ; a 4a 1 y 4a b x a bx c b 4ac Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 9

30 ESERCIZI Calcola il vertice, il fuoco, la direttrice e l asse delle seguenti parabole e le intersezioni con gli assi cartesiani e riporta sul grafico: 1. y x x 3. y x x 3. y x 4. y x 4x 4 Per disegnare una parabola sugli assi cartesiani, si dovrà calcolare il vertice e poi le intersezioni con gli assi x e y come di seguito specificato: Si trovano le coordinate del vertice utilizzando le formule viste : Si determinano le intersezioni con gli assi coordinati. Tieni presente che: b V ; a 4a l'intersezione con l'asse delle y esiste sempre, invece quelle con l'asse delle x dipendono dal segno del discriminante dell'equazione. In particolare b 4a c se il discriminante:, dell'equazione è positivo la parabola interseca l'asse delle x in due punti distinti. Per es: Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 30

31 se il discriminante coincidenti, per es.: b 4a c è nullo allora la interseca in due punti se il discriminante in R, per es.: b 4a c è negativo allora non esistono intersezioni Per calcolare le intersezioni è necessario risolvere due sistemi. per trovare le intersezioni con l'asse delle y y ax x 0 bx c per trovare le intersezioni con l'asse delle x y y ax 0 bx c Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 31

32 Bisogna poi ricordare che se a>0 la parabola avrà la concavità rivolta verso l'alto : a<0 la parabola avrà la concavità rivolta verso il basso: Seguendo il procedimento sopra illustrato disegna sul tuo quaderno le seguenti parabole 5. y x x 3 6. y x x 7. y x 8. y x 4x 4 VERIFICA 1 1. Determinare il vertice, il fuoco e la direttrice della parabola y x 8x 9. Disegnare la parabola di equazione y x 10x 5 3. Determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra gli assi cartesiani e la parabola y x 4x 7 VERIFICA Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 3

33 1. Determinare il vertice, il fuoco e la direttrice della parabola y x 4x 7. Disegnare la parabola di equazione y x 8x Determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra gli assi cartesiani e la parabola y x x COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 1. Dopo aver calcolato le coordinate del vertice, del fuoco, l equazione dell asse, l equazione della direttrice e le intersezioni con gli assi cartesiani, disegna la seguente parabola: ( punti 4). Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati, la parabola e la retta date. ( punti 6). COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 1. Dopo aver calcolato le coordinate del vertice, del fuoco, l equazione dell asse, l equazione della direttrice e le intersezioni con gli assi cartesiani, disegna la seguente parabola: ( punti 4). Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati, la parabola e la retta date. ( punti 6) COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 3. Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati, la parabola e la retta date. Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 33

34 COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 3. Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati, la parabola e la retta date. COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 1. Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati, la parabola e la retta date. COMPITO MATEMATICA ALUNNO/A CL DATA 1. Dopo aver calcolato le coordinate del vertice, del fuoco, l equazione dell asse, l equazione della direttrice e le intersezioni con gli assi cartesiani, disegna la seguente parabola: ( punti 5) INIZIO ESERCIZIO La concavità della parabola è rivolta verso, perché il coefficiente di è Il vertice ( ) fare i calcoli e ricorda che Il fuoco ( ) fare i calcoli Asse: Direttrice : fare i calcoli Disegna sul foglio la parabola Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 34

35 . Trovare i punti di intersezioni della parabola di equazione con la retta di equazione. Riportare sugli assi cartesiani i punti trovati ( punti 5) INIZIO ESERCIZIO Metti a sistema la retta con la parabola: { { Risolvi l equazione di grado ottenuta, troverai due valori per la x che andrai a sostituire ( uno per volta), nell equazione della retta, ottenendo i punti ( ) e ( ). Disegna sugli assi cartesiani i punti A e B trovati. Recupero debito matematica classi III Prof.ssa Gabriella Migliaccio Pag. 35