Circonferenza. Matteo Tugnoli. February 26, 2012

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1 Circonferenza Matteo Tugnoli February 26, 2012 Versione preliminare, NON esente da errori, se il lettore riscontrasse delle imprecisioni può gentilmente segnalarle a matteo_tugnoli@yahoo.it 1 Luogo dei punti La circonferenza è definita come il luogo dei punti con distanza dal centro pari al raggio. L equazione della circonferenza può quindi essere ricavata semplicemente dalla formula della distanza tra due punti: d = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 (1) Elevando al quadrato e imponendo la distanza uguale al raggio d = r si ottiene la formula implicita della circonferenza: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (2) Dove x 0 e y 0 rappresentano le coordinate x e y del centro della circonferenza: Mentre r rappresenta il raggio della circonferenza. 2 Forma Esplicita C = (x 0, y 0 ) (3) Risolvendo i quadrati nella forma implicita della circonferenza si ottiene la seguente forma: x 2 2x 0 x + x y 2 2y 0 y + y 2 0 r 2 = 0 (4) Tale formula si può scrivere più concisamente assegnando le lettere a, b, c ai coefficienti che moltiplicano x, y e il termine noto: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (5) 1

2 Questa è la forma esplicita,in cui si presenta più spesso l equazione di una circonferenza. Dal confronto tra la (4) e la (5) si può immediatamente giungere alla relazione tra coordinate del centro e raggio (che compaiono nella forma implicita (2)) e i coefficienti della forma esplicita (5). a = 2x 0 b = 2y 0 c = x y 2 0 r 2 (6) x 0 = a 2 y 0 = b 2 r = x y2 0 c (7) 3 Calcolo dei coefficienti Il calcolo dei coefficienti può essere fatto esattamente come nel caso di altre forme analitiche come retta e parabola, esprimendo l equazione generica della circonferenza e calcolando i coefficienti ignoti in modo da soddisfare le condizioni imposte. Dato che i coefficienti indipendenti in entrambe le forme dell equazione della circonferenza sono tre le condizioni da assegnare sono tre. Nel caso vengano assegnate solo due condizioni dai tre coefficienti indipendenti si giungerà a tre coefficienti dipendenti da uno solo dei tre (o da un parametro generico). Il risultato è un fascio di circonferenze, cioè l equazione di infinite circonferenze ottenute al variare del parametro (dati gli infiniti valori che può assumere). Le condizioni assegnate possono essere esplicitate e calcolate in una qualsiasi delle due forme dell equazione della circonferenza, dato che sono completamente equivalenti, ed è possibile esprimerne alcune in una forma e altre nell altra. Tuttavia questo approccio può risultare complicato in quanto per interfacciare le condizioni per giungere al sistema risolvente è comunque necessario ricondurre tutto alla stessa forma in modo da rendere il sistema risolvibile. È quindi preferibile utilizzare la stessa forma per tutte le condizioni relative alla stessa circonferenza. La convenienza dell utilizzo di una forma piuttosto che l altra per esprimere le condizioni va valutata caso per caso a seconda delle condizioni, per esempio condizioni sul raggio e sul centro si esprimono bene in forma implicita, mentre condizioni di tangenza e passaggio per un punto si esprimono meglio in forma esplicita. 4 Condizioni di tangenza La condizione di tangenza, che può servire a calcolare parametri incogniti o della circonferenza o della retta tangente, può essere imposta in due modi differenti: 4.1 Condizione analitica Come nella parabola la tangenza può essere imposta calcolando i parametri in modo che l equazione che descrive i punti di intersezione tra la circonferenza e la parabola abbia una soluzione singola (ovvero due soluzioni coincidenti). 2

3 Geometricamente questo significa che la retta e la circonferenza si incontrano in un solo punto, e quindi sono tangenti, analiticamente questa condizione si traduce nel mettere a sistema le equazioni di retta e circonferenza (il che corrisponde a trovare i punti di intersezione), per sostituzione ottenere una singola equazione di secondo grado, e di seguito imporre che il delta di tale equazione sia uguale a zero, cioè che l equazione abbia due soluzioni coincidenti 4.2 Condizione geometrica Un alternativa alla condizione analitica, che è del tutto generale, è applicabile nel caso della circonferenza. Si può notare, geometricamente, che la tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza. Ricordando il significato della distanza tra un punto e una retta, cioè la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta con origine nel punto e fine sulla retta stessa, si può semplicemente imporre che la distanza tra il centro e la retta tangente sia uguale al raggio, tramite la formula della distanza punto-retta. a x 0 + b y 0 + c a2 + b 2 = r (8) Esempio Data la circonferenza x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 e le rette tangenti parallele alla bisettrice del primo quadrante. Le rette parallele al primo quadrante hanno generica equazione y = x + q. Si useranno entrambi gli approcci presentati al paragrafo 4 per calcolare le tangenti. Con il procedimento analitico si ottiene il sistema risolutivo dei punti di intersezione: { x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 y = x + q Sostituendo la seconda equazione nella prima e raccogliendo si ottiene: 2x 2 + (2q 6) x + ( q 2 4q + 1 ) = 0 Imponendo le soluzione dell equazione coincidenti, e quindi il delta nullo: (2q 6) 2 8 ( q 2 4q + 1 ) = 0 Che porta all equazione di secondo grado: 4q 2 + 8q + 28 = 0 La quale semplificata dà le soluzioni : q 1,2 = 1 ± 2 2 3

4 Figure 1: Circonferenza e Tangenti Con il procedimento analitico, ponendo la retta in forma x y + q = 0 e sostitunendo nella formula della distanza punto-retta (8), ricordando che con l applicazione delle (7) il centro è situato in C(1, 2) e il raggio è r = 2 si giunge a: q = 2 Elevando al quadrato la relazione si ottiene: (q 1) 2 = 8 q 2 2q 7 = 0 la quale è equivalente (dividendo per -4) a quella ottenuta con l approccio analitico. In questo caso, dato che la circonferenza era nota, il procedimento geometrico risulta più rapido, tuttavia in altri casi in cui le incognite sono presenti nell equazione della circonferenza l approccio analitico potrebbe risultare più rapido. 5 Circonferenza come funzione 5.1 Richiamo teorico Una funzione è una applicazione in cui ogni elemento del dominio ha al più una immagine nel codominio 1. Ovvero, data la forma più comune y = f(x) per ogni 1 in realtà almeno e al più una, giungendo quindi a una e una sola immagine, data la definizione di codominio di insieme delle immagini del dominio, ma quello sottolineato è 4

5 x si ha al massimo una y. La circonferenza è una equazione di secondo grado sia in x che in y, per questo motivo non è né una funzione di x, né una funzione di y. La parabola, per esempio, la cui forma è y = ax 2 + bx + c, è una funzione di x (per ogni x c è una sola y), mentre non lo è per y, dato che, data una y le x associate sono due (soluzioni dell equazione di secondo grado). 5.2 Forma della circonferenza come funzione In molti casi si rende necessario esprimere la circonferenza come funzione, per svariati motivi (è richiesta in molti esercizi ed è spesso l unica forma in cui trattare la circonferenza computazionalmente). Ovviamente si deve ridurre la circonferenza a solo metà di essa, per ottenere una singola soluzione. Sarà necessario quindi scegliere quale delle due semicirconferenze scegliere a seconda delle necessità. La forma più semplice per ottenere la semicirconferenza è quella implicita, (2), qui riportata: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 si può isolare la parte in y (se si vuole ottenere una funzione di x) (y y 0 ) 2 = r 2 (x x 0 ) 2 (9) Facendo la radice quadrata di entrambi i termini si ottengono due soluzioni: y y 0 = ± r 2 (x x 0 ) 2 (10) A questo punto è necessario scegliere quale semicirconferenza (cioè quale delle due soluzioni) mantenere, si sceglierà il + per la semicirconferenza superiore a y 0, il - per quella inferiore. Infine (in questo caso si è scelta la soluzione superiore) si isola la y e si ottiene la funzione desiderata: 5.3 Circonferenza dalla funzione y = y 0 + r 2 (x x 0 ) 2 (11) Spesso capita di dover disegnare o trattare una circonferenza espressa come funzione. Per motivi geometrici è più semplice riportare la semicirconferenza in forma di circonferenza. Il procedimento è esattamente come quello espresso al punto 5.2 percorso al contrario: y = y 0 + r 2 (x x 0 ) 2 y y 0 = + r 2 (x x 0 ) 2 l aspetto di maggiore interesse in questa trattazione 5

6 L elevazione al quadrato tuttavia aggiunge delle soluzioni precedentemente non presenti ( se si torna alla radice si ripresenta un ±, dove precedentemente vi era un segno solo). Si rende quindi necessario aggiungere una condizione sul segno della radice. Dato che la radice è sempre positiva, se è presa con segno positivo il termine sinistro dell equazione è necessariamente positivo, altrimenti se la semicirconferenza è quella inferiore, cioè la radice è presa con il meno, il termine sinistro è necessariamente negativo + r 2 (x x 0 ) 2 0 y y 0 0 r 2 (x x 0 ) 2 0 y y 0 0 Proseguendo con il caso positivo la forma a cui si giunge è { (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 y y 0 0 (12) (13) 6