Problemi con discussione grafica

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1 Problemi con discussione grafica Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette (proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata dal problema (in genere una parabola o una circonferenza, come nei casi che prenderemo in esame) La differenza rispetto ad un sistema tradizionale consiste nella presenza di un parametro in una delle equazioni del sistema che farà variare a seconda dei valori assunti le soluzioni generali del sistema. Il parametro di solito si trova nell equazione della retta, dando origine come osservato in precedenza ad un fascio di rette, è possibile però che esso si trovi nell equazione della parabola o della circonferenza, si avrà in quest ultimo caso rispettivamente un fascio di parabole o un fascio di circonferenze delle quali si dovranno determinare le intersezioni con una retta fissa. Le soluzioni che si cercano sono rappresentate dalle intersezioni tra fascio dirette e circonferenza/parabola al variare appunto dl parametro. Di solito vi sono dei vincoli di segno per le variabili e che andranno tracciati subito per eliminare le eventuali parti di piano che non siano interessate dallo studio del problema. Osservazioni Ricordiamo alcuni risultati sui fasci di rette, sulla parabola e sulla circonferenza. Equazione della parabola a + b + c Vertice della parabola b a V ; a Orientamento della parabola a > concavità verso l alto; a < concavità verso il basso. Equazione della circonferenza + + a + b + c Centro della circonferenza Raggio della circonferenza a b C ; r a b + c

2 L equazione della retta è del tipo m + q. Sia dato il parametro e i valori costanti per m e q, allora Fascio di rette proprio + q Fascio di rette improprio m + Il fascio di rette proprio è tale che il parametro agisce sul coefficiente della determinando quindi al suo variare il coefficiente angolare della retta, esso è formato da rette che passano tutte per uno stesso punto, detto il centro del fascio. Per determinare il centro (e quindi le infinite rette del fascio che passano per il centro) è sufficiente dare due valori qualsiasi al parametro. In questo modo si ottengono due rette del fascio che messe a sistema danno come risultato il punto cercato. Esempio Scriviamo la retta in forma esplicita + Poiché agisce sul coefficiente della (che quindi è variabile) abbiamo un fascio di rette proprio. Per disegnarlo diamo due valori generici (a nostra scelta) a. Se otteniamo. Se otteniamo + Mettendo a sistema le equazioni delle rette così ottenute si ha: + + che rappresenta il centro del fascio di rette cercato. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a:

3 Il fascio di rette improprio è tale che il parametro non agisce sul coefficiente della ma soltanto nel determinare il termine noto della retta quindi al suo variare il coefficiente angolare resta sempre lo stesso, esso è formato da rette parallele tra loro. Per determinare il fascio di rette basta assegnare a un valore qualsiasi e tracciare nel piano la retta così ottenuta (si devono determinare due punti qualsiasi per cui essa passa), la altre rette del fascio si determinano tracciando rette parallele alla retta di riferimento disegnata. Esempio + Scriviamo la retta in forma esplicita + Poiché non agisce sul coefficiente della (che quindi è costante) abbiamo un fascio di rette improprio. Per disegnarlo diamo un valore generico (a nostra scelta) a. Se abbiamo Per disegnarla diamo due valori generici (a nostra scelta) a e troviamo i corrispondenti. Se otteniamo l origine, essendo il termine noto nullo) Se otteniamo Pertanto la retta passa per i punti O ( ;) e P ( ; ). (si poteva vedere già dalla forma dell equazione della retta che passa per. Tutte le altre rette del fascio sono parallele alla retta trovata. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a (la retta evidenziata è quella trovata utilizzata come generatrice):

4 - - Osservazione Se un fascio di rette è tale che il parametro agisce sia sul coefficiente angolare della retta e sul termine noto, esso è un fascio di retto proprio. Esempio + è un fascio di rette proprio. Vediamo ora di illustrare il metodo risolutivo per un problema con discussione grafica con un esempio ; Passo : tracciare la circonferenza La circonferenza + ha centro nell origine e ha raggio (,)

5 Passo : tracciare le limitazioni Si devono escludere ora quelle parti di piano che vengono escluse dai vincoli, per la i valori accettabili sono, mentre per la vanno presi i valori tali che. ( ; ) (;) Valori esclusi dalla limitazione Valori esclusi dalla limitazione La parte di circonferenza che dovrà essere considerata nell esercizio pertanto è quella superiore che non viene cancellata dalle limitazioni. A tal scopo calcoliamo le intersezioni della circonferenza con i vincoli. Intersezione circonferenza e asse. + ± è la soluzione compatibile con i vincoli. (si vede che questo punto è anche l intersezione tra la circonferenza e il vincolo determinato dalla retta ) Intersezione circonferenza e retta. + + ± è la soluzione compatibile con i vincoli Passo : tracciare il fascio di rette Scriviamo il fascio di rette in forma esplicita:

6 + + + posto possiamo ricavare la dividendo per tutti i termini. + Poiché il parametro agisce sul coefficiente angolare della retta (cioè sul coefficiente della ), il fascio è un fascio di rette proprio, pertanto dobbiamo determinare il centro assegnando due valori a e calcolando l intersezione tra le rette così determinate (si scelgono valori tali che i calcoli risultino semplici). Se si ottiene Se si ottiene che rappresenta il centro del fascio. Riportiamo quindi il fascio di rette nel grafico ( ;) ( ; ) (;) Come si vede vi sono alcune rette del fascio che intersecano la parte di circonferenza che dobbiamo considerare una o due volte, più precisamente dalla retta che passa per il punto ( ;) intersezione; dalla retta che passa per il punto ( ; ) intersezioni. alla retta che passa per il punto ( ; ) vi è una sola alla retta tangente la circonferenza vi sono due

7 Passo : determinare i valori di relativi alle intersezioni tra circonferenza e fascio di rette Il nostro obiettivo è di determinare per quali vi sia una sola soluzione per il problema e per quali invece ve ne siano due. Per determinare i valori di che cerchiamo procediamo come segue. Per quanto riguarda i punti ( ;) e ( ; ) poiché le rette del fascio vi passano imponiamo la condizione di appartenenza (o di passaggio), cioè sostituiamo nell equazione del fascio + + le coordinate e dei punti precedentemente trovati. ( ;) ( ; ) ( ) ( + ) ( + ) Per determinare il valore per la tangente si deve porre a sistema l equazione della circonferenza e del fascio ponendo poi la condizione di tangenza ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( 8 6 ) Poniamo la condizione di tangenza ( 8 6 ) ( + )( + 9 ) , ± 6 5 ± 5 8 ± 5

8 Quindi + 5 5,,57 Dobbiamo ora riportare i valori di trovati nel grafico, pertanto non c è problema ad attribuire alle rette che passano per i punti ( ;) e ( ; ) i corrispondenti valori di, mentre dobbiamo individuare quale sia il valore di che corrisponde alla retta tangente nel nostro disegno. I valori trovati in quest ultimo caso sono due, infatti da un punto esterno ad una circonferenza si possono condurre sempre due rette tangenti. Osservazione Per determinare il valore corretto del parametro relativo alla condizione di tangenza possiamo fare alcune considerazioni che hanno carattere generale: i valori del parametro crescono (o decrescono) quindi passano da valori più piccoli a valori più grandi (passano da valori più grandi a valori più piccoli). Se il fascio di rette ha la forma individuare dei valori critici per il coefficiente angolare, infatti: + q (il parametro non è a denominatore), possiamo una retta parallela all asse delle ha coefficiente angolare nullo una retta parallela all asse delle ha coefficiente angolare infinito una retta che forma con l asse delle un angolo acuto ha coefficiente angolare positivo una retta che forma con l asse delle un angolo ottuso ha coefficiente angolare negativo E importante osservare che: se una retta che tende all asse delle che formando con l asse delle un angolo ottuso ha coefficiente angolare. una retta che tende all asse delle che formando con l asse delle un angolo acuto ha coefficiente angolare Se il fascio di rette ha la forma +. + q (il parametro è a denominatore), possiamo individuare dei valori critici per il coefficiente angolare come in precedenza, scambiano i ruoli dell asse delle e dell asse delle. Altrimenti per individuare quale sia il valore corretto del parametro si sostituisce all interno dell equazione del fascio di rette il valore stesso del parametro e poi si mette a sistema la retta ottenuta con la circonferenza (o qualsiasi altra funzione), in questo modo si determina il punto di

9 intersezione e poi analizzando il grafico si vede se il risultato ottenuto rappresenta la soluzione cercata. Torniamo quindi all esercizio. Poiché il fascio ha la forma +, cioè il parametro è a denominatore e non vi sono rette parallele all asse nelle soluzioni (lo si deduce dal grafico), riportiamo nel grafico i valori di ;. relativi ai punti ( ;) e ( ) ( ;) ( ; ) + 5 (;) + Poiché il parametro per raggiungere la retta tangente riportata nel disegno varia da valori minori a + valori maggiori il coefficiente del parametro relativo alla tangente è. 5 I valori degli estremi sono compresi in quanto nei vincoli c è l uguaglianza. La soluzione corrispondente alla tangente è doppia, pertanto deve essere sempre compresa nelle due soluzioni. Quindi le soluzioni del problema sono: + soluzione per ; + + soluzione per ; 5 Osservazione Pertanto i punti da seguire nella soluzione di un problema a discussione grafica sono: disegnare la conica

10 disegnare le limitazioni e individuare le intersezioni con la funzione tracciare il fascio di rette determinare la posizione tra funzione e fascio di rette individuare i valori del parametro in corrispondenza degli estremi e della tangente (se necessario) individuare correttamente il comportamento del parametro nel grafico nei rispettivi intervalli individuare gli intervalli aventi soluzione e quelli in cui vi sono soluzioni Osservazione: le rette generatrici Nel caso di un fascio di rette proprio è possibile determinare il centro utilizzando due rette particolari, le cosiddette generatrici, rette parallele agli assi cartesiani. Tale rette si determinano come illustrato nell esempio seguente. Sia dato un fascio di rette proprio ( + ) ( ) + Si devono isolare i termini che contengono il parametro dai termini che non lo contengono: ( ) Ora, rispetto al parametro possiamo identificare il coefficiente di : e il temine noto sempre rispetto a : + +. Le rette generatrici si ottengono risolvendo il sistema delle due equazioni che si ottiene uguagliando a zero le espressioni del coefficiente di e del rispettivo termine noto, nel nostro esempio allora: che rappresentano le rette generatrici del fascio e le coordinate del centro del fascio stesso.

11 Osservazione E possibile inoltre valutare l andamento dei valori del parametro analizzando il verso in cui cresce o decresce il parametro stesso e individuare se esso assume valori infinitamente grandi entro alcune parti di piano. Nel caso in cui si abbia una situazione come in figura: Retta limite, in corrispondenza di essa il parametro assume i valori + o a seconda del senso rispetto al quale ci si avvicina che dipende dalla natura del di rette fascio assegnato Il valore del parametro per la retta che corrisponde a 5 cresce in senso antiorario verso la retta con 7, però poi proseguendo si trova la retta -, cioè significa che tra la retta 7 e - ci deve essere un comportamento particolare per i valori di, cioè essi cresceranno però per poter giustificare il fatto che da 7 si arrivi a - ci dovrà essere un salto, accade infatti che il parametro assume valori crescenti da 5 a 7 sino a valori infinitamente grandi che chiameremo una volta giunto a cioè riprendono da +, + i valori di ripartono da valori infinitamente grandi ma di segno negativo, e crescono sino ad arrivare a -. Tale comportamento per il parametro si ha ogni volta che dati tre valori no è possibile giungere dal primo la terzo in maniera dirette (cioè in modo sempre crescente oppure sempre decrescente). Nel caso si avessero soltanto due rette e non fosse chiaro il comportamento del parametro tra loro è sufficiente scegliere un punto compreso tra lo spazio delimitato dalle rette stesse, calcolare il valore di per tale retta e vedere quale sia la modalità con cui crescono o decrescono i valori del parametro. Concludiamo infine ricordando che ogni qual volta si abbiano valori infinitamente grandi, ciò comporta che da una parte rispetto alla retta limite vi siano valori infinitamente grandi positivi, mentre dall altra vi siano valori infinitamente grandi ma di segno negativo.

12 Cioè se da una parte il parametro si avvicina a +, una volta raggiunto tale valore riparte da vale anche il viceversa, cioè se il parametro si avvicina a, una volta raggiunto tale valore riparte da + ). Esercizio Passo : disegnare la parabola Il vertice della parabola è ( ) ; V. (facoltativo, per disegnare meglio la parabola)le intersezioni della parabola con l asse sono date da + + ) ) Passo : tracciare le limitazioni Le intersezioni con i vincoli sono date da (;) (5;8) (;-)

13 Passo : tracciare il fascio di rette + è un fascio di rette improprio poiché il parametro non compare come coefficiente della Diamo un valore al parametro, sia, otteniamo la retta Che è la bisettrice del primo e terzo quadrante. (5;8) (;) (;-) Dal disegno si ricava che: sembra che la retta del fascio che passa per il punto (;) passi anche per il punto (5;8), si deve verificare analiticamente imponendo le condizioni di passaggio; le rette del fascio che vanno dalla retta passante per i punti (;) e (5;8) alla retta tangente intersecano la parabola due volte. Passo : determinare i valori di relativi alle intersezioni tra parabola e fascio di rette Retta del fascio + passante per (;) + Retta del fascio + passante per (5;8) 8 5 +

14 La retta del fascio che passa per (;), passa anche per il punto (5;8), pertanto ogni retta compresa tra al retta precedente e la retta tangente interseca la parabola due volte. Retta tangente Imponiamo la condizione di tangenza 5 + (5;8) (;) (;-) soluzioni ;.

15 Esercizio + Soluzione Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti: Calcoliamo il centro del fascio Pertanto il centro del fascio è il punto ;. Tracciamo le rette passanti per gli estremi che sono i punti ( ;) e ( ;) Punto ( ;).

16 impossibile (probabile retta verticale, lo si deduce dal grafico) Punto ( ;) Calcoliamo ora al condizione di tangenza + + ± Dal grafico e dal segno positivo del coefficiente angolare del fascio di rette si deduce che il che corrisponde alla tangente è quello positivo, cioè.

17 Considerato che, e che, 5, dal grafico si deduce che si hanno: soluzione soluzioni ;+ ; Esercizio Soluzione Il fascio di rette è un fascio improprio, infatti: + + Diamo un valore a e tracciamo una retta del fascio: è una retta che passa per l origine, pertanto ci serve un altro valore per tracciare il grafico, se, quindi la retta passa per l origine ( ;) e per il punto ( ; ). Gli estremi in cui la circonferenza interseca gli estremi sono i punti ( ;) e ( ;) Tracciamo le rette passanti per gli estremi. Punto ( ;) + Punto ( ; ) + Calcoliamo ora al condizione di tangenza

18 + 9 + ( + ) ( 9) ± 5 5,7 5, 7 Tracciando sul grafico le rette passanti per gli estremi, si deduce quale sia il valore di che corrisponde alla retta tangente e che sia compatibile con le limitazioni imposte. Il valore cercato è 5 in quanto i valori di dalla retta passante per l estremo ( ; ) risalgono sino alla retta tangente sono valori crescenti. e che 5 5 Pertanto dal grafico si deduce che si ha: soluzione [ ; [

19 soluzioni [ ; 5] Esercizio + + ; < Soluzione Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti: + + Calcoliamo il centro del fascio Pertanto il centro del fascio è il punto ( ;). Calcoliamo i valori di per le rette passanti per i punti ( ; ) e ( ;) Punto ( ; ) Punto ( ;) Retta tangente ( + + ) + ( + + ) ( + ) ( + )

20 Poniamo la condizione di tangenza ( + ) ( + )( ) una sola tangente, mentre e tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza devono essere, riportando tutti i dati sul grafico abbiamo. Le rette che si ottengono per valori di che vanno da - a - hanno pendenza positiva, poiché il coefficiente del fascio di rette è si devono invertire le considerazioni sui segni, pertanto all avvicinarsi alla retta verticale che passa per il centro del fascio, il coefficiente angolare deve crescere sino a +, per il davanti a nell equazione del fascio allora tende a. Allora per i valori di compresi tra - e - si ha una intersezione tra fascio e circonferenza. Per i valori di da - a meno infinito si hanno due intersezioni. Pertanto: soluzione [ ; [ soluzioni ] ; [