Sezione Quinta Scelta ottima

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1 4 Capitolo - La teoria del consumo Sezione Quinta Scelta ottima Esercizio n.. Determinare la scelta ottima del consumatore data la funzione di utilità: [.] U dove e sono rispettivamente la quantità del bene e del bene acquistate dal consumatore. Si supponga, inoltre, che il reddito sia m, il prezzo del bene sia p e del bene sia invece p. Risoluzione Qui di seguito proponiamo diverse metodologie per la risoluzione di questo «classico» problema: a) procedimento (per via algebrica) Scriviamo l equazione della retta di bilancio nella sua forma generica [.] p + p m. Inseriamo nell espressione [.] i dati a nostra disposizione: [.] +. Conviene, adesso, esplicitare l equazione [.] rispetto ad ;. Possiamo facilmente osservare due elementi caratteristici dell equazione, ossia il termine noto (/,66) che fornisce il valore dell intercetta della retta sull asse delle ed il coefficiente angolare della retta ( /) che misura l inclinazione della retta. In pratica, il coefficiente angolare non è altro che il rapporto tra i prezzi dei due beni considerati, mentre il termine noto è pari al rapporto m/p.

2 Sezione Quinta - Scelta ottima 4 Per tracciare il grafico della retta di bilancio è necessario calcolare anche l intercetta sull asse delle. A tale scopo basta porre: [.4] /, In pratica, ciò significa che se il consumatore destinasse tutto il suo reddito per l acquisto del bene la quantità massima acquistabile sarebbe,. 4,66 0, 4 Figura Pertanto la congiungente le due intercette, e,66 rappresenta graficamente la retta di bilancio (vedi Figura ). Le coordinate del punto di massimo della funzione di utilità U si ottengono in corrispondenza del punto di tangenza fra la curva della funzione di utilità e la retta + (condizione necessaria ma non sufficiente). Impostando e risolvendo il sistema fra le due funzioni: [.] U + U [.6]

3 44 Capitolo - La teoria del consumo U Essendo uguali i primi membri delle equazioni, lo saranno anche i secondi, per cui potremo scrivere: [.7] U e svolgendo si avrà U ( ) U + U 0. Risolvendo l equazione si avrà: b 4ac [4 () (U)] 4U. Affinché si abbia tangenza fra la retta e la curva occorre imporre la condizione 0. Quindi sarà: 4U 0 4U U 4 Sostituendo il valore U /4 nell espressione [.7], si avrà: ( )

4 Sezione Quinta - Scelta ottima b 4ac (6 ) b ± a 40 ± Sostituendo il valore /4 nella [.6] si avrà: U Il punto di tangenza fra la retta di bilancio e la curva d indifferenza ha coordinate w* 4 ; 6 La scelta ottima del consumatore (vedi figura ) considerato il suo vincolo di bilancio è *, ; *, ,66 0,8 w*(,; 0,8) 0,, Figura b) procedimento (metodo di sostituzione) U funzione di utilità

5 46 Capitolo - La teoria del consumo + vincolo di bilancio Esplicitiamo il vincolo di bilancio rispetto ad, ossia: [.8]. il valore trovato va inserito nella funzione di utilità [.]; si avrà, pertanto: [.9] U U Calcoliamo la derivata della funzione di utilità, ovvero l espressione [.9]: du 4. d Poniamo la condizione del primo ordine: 4 0 e risolvendo, si ottiene: , questo valore va sostituito nella [.8] per ottenere: ,..

6 Sezione Quinta - Scelta ottima 47 Per verificare se i valori di e (ossia il paniere w) costituiscono punti di massimo o minimo occorre calcolare la derivata seconda della funzione di utilità: U 4 e verificare il segno (condizione del secondo ordine) du 0 4 d 4 < 0. Poiché il segno della derivata è negativo, si può concludere che w (,; 0,8) rappresenta il punto massimo vincolato. Pertanto w* (,; 0,8) viene anche detto paniere ottimo o scelta ottima del consumatore. c) procedimento (imposizione dell uguaglianza fra il saggio marginale di sostituzione MRS ed il rapporto fra i prezzi p /p ). Questa metodologia risolutiva si avvale del concetto di MRS (saggio marginale di sostituzione ovvero Marginal Rate of Substitution). Il MRS tra il bene ed il bene, misura il rapporto tra la variazione marginale del bene, ossia e la variazione marginale del bene, ossia quando il consumatore si sposta lungo la stessa curva d indifferenza. Il MRS è dato dal rapporto tra l utilità marginale del bene e l utilità marginale del bene. Moneta A B C D 0 4 (Bicchieri d acqua) Figura Dal grafico si può osservare che il consumatore per acquisire un unità aggiuntiva del bene (quindi per passare da A a B) è disposto a cedere unità del bene.

7 48 Capitolo - La teoria del consumo Per acquisire un ulteriore unità del bene (cioè per passare da B a C) è disposto a cedere due unità del bene e, per passare da C a D è disposto a cederne una sola. In generale la quantità di soddisfazione addizionale che un consumatore trae da un maggior consumo di un bene cresce al crescere del consumo del bene stesso (legge dell utilità marginale decrescente). Conseguentemente le curve d indifferenza sono convesse. È evidente che il consumatore che desidera un altro bicchiere d acqua passa dalla posizione A alla posizione B della curva essendo disposto a diminuire il suo reddito di monete. Nel passare da B a C, la sete è stata parzialmente soddisfatta ed egli è disposto ad acquistare un ulteriore bicchiere d acqua rinunziando a sole monete. Per un ulteriore bicchiere d acqua, che lo porterebbe nel punto D della curva della sete, il consumatore è disposto a cedere non più di una sola moneta in quanto ormai la sua sete è quasi totalmente soddisfatta. La variazione da A a B è una variazione marginale (infinitesima). Pertanto il MRS si ottiene dal rapporto fra le utilità marginali. du d [.0] MRS du d du d ; MRS. du d In corrispondenza del paniere ottimo (o della scelta ottima) il MRS tra ed è uguale al rapporto tra i prezzi dei due beni. Il paniere ottimo del consumo può essere calcolato ponendo a sistema la condizione di uguaglianza fra (MRS) e rapporto fra i prezzi p /p con il vincolo di bilancio. Il segno negativo del coefficiente angolare risulta evidente nelle forma esplicita della retta:.

8 Sezione Quinta - Scelta ottima 49 Essendo entrambi negativi saranno considerati in valore assoluto. p [.] MRS p p + p m p p p + p m Sostituendo i valori numerici si avrà + + [.] questo valore inserito nella [.] darà 4. 6 Pertanto, il paniere ottimo sarà composto dalle seguenti quantità: w* 4,; 0,8 6 d) 4 procedimento La funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas si presenta nella forma: c [.] U d..

9 0 Capitolo - La teoria del consumo Possiamo utilizzare le seguenti formule risolutive abbreviate che permettono di ottenere le quantità ottime di ciascun bene componente il paniere: c m [.4] * c + d p [.] d m *. c + d p Nel caso in esame i dati sono c ; d ; m ; p ; p. Sostituendo nelle [.4] e [.] i dati del problema si avrà: * + 4 * + 6 Quindi il paniere ottimo (o la scelta ottima) è w* ( *, *), 4 6 e) procedimento (massimizzazione della funzione U mediante il moltiplicatore di Lagrange). Adoperando il moltiplicatore di Lagrange «L», la funzione di utilità viene espressa mediante la relazione: [.6] F ( ; ; L). Il vincolo di bilancio è + ossia + 0. Quindi: F( ; ; L) + L ( + ) F( ; ; L) + L + L L. Calcoliamo le derivate parziali ed imponiamo la condizione del primo ordine: F + L 0

10 Sezione Quinta - Scelta ottima F + L 0 F + 0. L Impostiamo e risolviamo il sistema in tre equazioni e tre incognite: + L 0 + L Dalla prima equazione si ricava il valore: [.7] L che va sostituito nella terza equazione, quindi: + L 0 L ( L) 0 6L 0 Esplicitando la prima equazione del sistema rispetto a, si avrà: [.8] L sostituendo il valore di, nella seconda equazione si avrà: ( L) 6 L 0 da cui: L e quindi: L. Il valore di L così trovato inserito nelle espressioni [.7] e [.8] fornisce il valore di e : ; 4. 6