Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini
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1 Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo di riprendere alcuni concetti (che devono essere già stati studiati ed approfonditi nel corso di matematica) che saranno utili per affrontare la parte teorica e pratica del corso di Microeconomia In particolare: La rappresentazione grafica di funzioni lineari e non lineari Le derivate prime e seconde di una funzione L individuazione dei punti di massimo e minimo di una funzione Esempi di funzioni a più variabili: la Cobb-Douglas e la Leontief Esercizio 1 Per ciascuna delle seguenti equazioni : Scrivere la forma esplicita (y= ) Determinare il dominio Determinare le intersezioni con gli assi e la pendenza Dare una rappresentazione grafica 1. y = + 1. = y = 0 4. y + 1 = 3 5. y = Soluzione 1. La funzione y = + 1 è già nella sua forma esplicita rispetto a y. Il dominio coincide con l insieme dei numeri reali, R 1 (non esistono valori in cui l espressione non sia definita o perda di significato). Le intersezioni con gli assi si trovano, imponendo le seguenti condizioni = 0 y = 1 per l intersezione con l asse delle ordinate y = 0 = 1 per l intersezione con l asse delle ascisse 1 Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h ); ricevimento studenti Mercoledì h (Aula Dottorandi Assegnisti DEFS sezione Economia); per domande e quesiti brevi: fabio.pieri@unitn.it. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il materiale didattico sono scaricabili dal sito di regola alla fine della settimana. Intuitivamente, il dominio di una funzione è il sottoinsieme di numeri reali più esteso entro il quale l espressione che la definisce non perde di significato. 1
2 La pendenza di una retta è data da suo coefficiente angolare: per una retta il coefficiente angolare si può calcolare con la seguente formula, se si conoscono due punti m = y 1 y In questo caso, abbiamo già determinato due punti per cui passa la retta (0,1) e (-1,0), pertanto, possiamo applicare la formula e trovare che m = = 1. La rappresentazione grafica risulta di conseguenza semplice. Figura 1 - Grafici 1,,3 =-3/5 y y= y= La freccia indica la direzione in cui il coefficiente angolare (pendenza) aumenta, fino a tendere ad infinito Dalla funzione = y, si ottiene la sua forma esplicita rispetto a y come y =, e il suo dominio coincide con l insieme dei numeri reali, R 1. Le intersezioni con gli assi: = 0 y = 0 per l intersezione con l asse delle ordinate y = 0 = 0 per l intersezione con l asse delle ascisse La retta passa quindi per l origine degli assi, ossia il punto (0,0). Possiamo determinare un altro punto per cui passa sostituendo un determinato valore nella variabile, così da ottenere il corrispondente valore della funzione: = 1 y =. Possiamo quindi applicare la formula per il calcolo della pendenza, e tracciare la retta. m = = NB: Da questi primi due esempi, si nota che valori più alti del coefficiente angolare sono associati a rette più ripide. 3. La retta = 0, che ha come dominio l insieme {-3/5}, intercetta l asse delle ascisse nel punto (-3/5, 0), e risulta parallela all asse delle ordinate. Pertanto ha un coefficiente angolare che tende ad infinito.
3 4. La funzione + 1 = 3, diventa nella forma esplicita, rispetto ad y y = y 4 y = 1 Il dominio è tutto l insieme di numeri reali R 1. L intersezione con gli assi cartesiani, si ottengono imponendo le condizioni discusse sopra: = 0 y = per l intersezione con l asse delle ordinate y = 0 = 4 per l intersezione con l asse delle ascisse Pertanto la retta passa per i punti (0,) e (4,0), da cui si può ricavare il valore del coefficiente angolare Figura - Grafici 4, 5 m = = 1 y y= 1 y=-(1/) La retta è inclinata negativamente (coefficiente angolare negativo). 5. La funzione y =, è il valore assoluto di, ed è definita così: y = se 0 se < 0 Il dominio della funzione è l insieme dei numeri reali, e la stessa ha un unico punto di intersezione con gli assi (0,0). Si verifica facilmente (prendete un punto nel primo ed un punto nel secondo quadrante) utilizzando la formula precedente che la pendenza (coefficiente angolare) della retta è positiva ed uguale ad 1, per >0 e negativa ed uguale a -1 per <0. Di conseguenza, si può tracciare il grafico della funzione. 3
4 Esercizio Calcolare le derivate prime e seconde delle seguenti funzioni, e disegnarne il grafico 1. y = 6 3. y = 1 3. y = 1, 0 Negli esercizi che seguono useremo sempre la stessa regola di derivazione: d() n = n() n 1 Soluzione Applicando la suddetta regola di derivazione, facilmente calcoliamo le derivate delle precedenti funzioni 1. d(y) d = 18 la derivata prima è negativa, per ogni valore di (sia positivo che negativo), pertanto la funzione è decrescente (pendenza negativa lungo tutti i valori di ); la derivata seconda, d (y) d = 36 che quindi risulta positiva per <0 (concavità rivolta verso l alto), e negativa per >0 (concavità rivolta verso il basso).. d(y) d = 4 3 = 4 3 La funzione risulta quindi essere crescente per <0, e decrescente per >0 ; la derivata seconda, d (y) d = 7 4 è maggiore di 0 per ogni valore di, quindi la funzione ha la concavità rivolta verso l alto per ogni valore di X. In particolare, la funzione per che tende a zero, assume valori sempre più grandi, fino a tendere a +, mentre per che tende a ±, tende al valore 0. NB: la funzione non è definita per =0. 3. d(y) d = 1 4 1/ La funzione è quindi crescente lungo tutto il suo dominio (R + ) ; la derivata seconda è d (y) d = che, quindi, risulta negativa per ogni valore di (concavità rivolta verso il basso). 4
5 1 y=1-6 y=1/* rq() y=-6 3 5
6 Se prendiamo l ultima funzione y = 1, possiamo disegnare il suo grafico ed il grafico della derivata prima, così da analizzarne l andamento contemporaneamente. Possiamo considerare y come il livello di utilità (U) di un consumatore rappresentativo, e come il bene da cui dipende la sua utilità: U = 1 Se prendiamo due valori di (bene consumato): 0 =1 U=1/ U =1/4 1 =4 U=1 U =1/8 Questi risultati sono coerenti con il principio dell utilità marginale decrescente, ossia l ipotesi per cui il consumatore aumenta la propria utilità contestualmente all aumento del consumo di un bene, ma per stesse variazioni nel consumo del bene, l utilità aumenta sempre meno, all aumentare del livello di consumo di partenza ( 0 ). Graficamente, questo si vede nella Figura 3. Figura 3 - Utilità totale e marginale U 1 1/ U 1 4 1/4 1/
7 Esercizio 3 - Funzioni a più variabili rilevanti in microeconomia: Cobb-Douglas, Leontief Durante il corso, useremo alcuni tipi particolari di funzioni, sia per esprimere l utilità del consumatore e le quantità di beni da cui essa dipende, sia per descrivere la produzione di un impresa e i fattori produttivi che essa usa. Funzione Cobb-Douglas (panini e hamburger) La funzione più frequentemente usata anche per esprimere l utilità che un consumatore ha dal consumo di un gruppo di beni, è la Cobb-Douglas che, a due variabili (quantità di beni), può essere scritta come segue: U = α 1 β Se, per semplicità fissiamo α = 1, β = 1, e ammettiamo che U, 1,, siano definiti solo per valori reali positivi: possiamo disegnare le curve di livello, che prendono il nome di curve di indifferenza, per ogni valore di U. La curva di indifferenza è il luogo dei punti del piano al quale appartengono le combinazioni di beni (panieri) che sono associate ad un dato livello di utilità per il consumatore. In altre parole, spostandosi lungo la curva di indifferenza, il consumatore si sposta nel consumo di panieri che gli assicurano lo stesso livello di utilità. Per U=, otteniamo = 1 1/ 1/. L equazione esplicita della curva di indifferenza per U= è: = 4 1 Figura 4 - Curve di indifferenza funzione di utilità Cobb-Douglas 9 Spostandosi in questa direzione attraverso le curve di indifferenza, il consumatore passa a livelli di utilità più alti 4 U=3 U= 1 1 Sullo stesso grafico, possiamo disegnare la curva di indifferenza per un livello di utilità, U=3: 7
8 = 9 1 NB: spostandosi lontano dall origine le curve di indifferenza corrispondono a livelli di utilità più alti; spostandosi lungo la curva di indifferenza, passiamo tra coppie di quantità dei beni 1 e, che assicurano lo stesso livello di utilità. Funzione a la Leontief (esempio: scarpe d e s) U = min {3 1, } Le curve di livello/indifferenza di questa funzione sono ad angolo retto, poiché le combinazioni di 1 e sono fisse: risolvendo per 3 1 =, possiamo disegnare la retta che unisce i punti di angolo delle curve di indifferenza. Per 1=1, =3/ e il livello di utilità sarà pari a 3, per 1=, =3 e U=6: ossia, l aumento di utilità si verifica per variazioni dei beni consumati in proporzioni (rapporti) fissi. = 3 1 Figura 5 - Curve di indifferenza - funzione di utilità Leontief Spostandosi in questa direzione attraverso le curve di indifferenza, il consumatore passa a livelli di utilità più alti U=6 U=3 1 8
9 Esercizio 4 Massimi e minimi di una funzione Trovare i punti di massimo e/o minimo della funzione f = Condizione necessaria perché una funzione abbia un punto di massimo/minimo è che la derivata prima sia in quel punto uguale a zero. Questi punti sono detti punti critici : determiniamoli. df d = = = 0 L espressione sul termine destro dell equazione risulta uguale a zero per i valori di che annullano i suoi fattori, ossia per =0 e per le soluzioni delle seguente formula risolutiva: b ± b 4ac a 3 ± 9 8 = (1,) Quindi, i valori di che corrispondono ai punti critici sono =0,1,. Adesso possiamo sfruttare il segno della derivata seconda della funzione rispetto ad, per capire se ciascuno di quei punti è un massimo o un minimo: d f d = f (0)=8>0 (concavità rivolta verso l alto) minimo locale f (1)=-4<0 (concavità rivolta verso il basso)massimo locale f ()=8>0 (concavità rivolta verso l alto) minimo locale Per disegnare la funzione dobbiamo semplicemente calcolare valori della funzione nei punti in cui si annulla la derivata prima: (=0, y=4), (=1, y=5), (=, y=4)
10 Appendice: il concetto di derivata NB: la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale per l incremento della variabile sull asse delle che tende a 0. y f( ) f( 1 ) 1 h Sia h, l incremento considerato, 1 = h, si definisce il rapporto incrementale come: R = f 1 + h f( 1 ) h Di fatto, questo è il coefficiente della retta secante la funzione nei punti ( 1, f( 1 )), (, f( )). La derivata è il limite di questo rapporto per h 0, ossia: lim R = f 1 + h f( 1 ) h 0 h e coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 1. Pertanto, la derivata di una funzione consente di determinare la sua pendenza in ogni punto in cui è definita : la funzione f che associa ad ogni punto la derivata di f in è la funzione derivata di f, ed è utile per determinare se f sia crescente o decrescente in un determinato intervallo. 10
11 Esercizi per casa 1. Calcolare la derivata prima e seconda delle seguenti funzioni y = 1/ + y = 1/3 y = α. Rappresentare graficamente la funzione f = Sia data la funzione di utilità U y y, : Calcolare: l utilità del paniere A=(,3), ricavare l insieme dei panieri ad esso indifferenti (curva di indifferenza), e rappresentarlo graficamente nel piano cartesiano Soluzione Esercizio 3: Per ricavare l utilità del paniere A=(,3), basta sostituire le quantità dei beni che mi assicura il paniere nella funzione di utilità e osservare il valore che la funzione assume: U (,3) L insieme dei panieri ad esso indifferenti, sono quei panieri che assicurano al consumatore lo stesso livello (valore) di utilità, cioè, tutti quei panieri che giacciono sulla stessa curva di indifferenza. E possibile ricavare l equazione della curva di indifferenza su cui giace A, semplicemente fissando il livello di utilità uguale a y y 6. y I punti che si trovano sulla curva rossa costituiscono l insieme dei panieri indifferenti ad A. 3 A U=6 11
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