DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

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1 DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x 0 dom (f) e la drivabilità della stessa funzione in x 0. (1.1) Teorema Se una funzione f : D R definita in un dominio D ammette derivata in x 0 D, allora f è anche continua in x 0. Abbiamo anche osservato che la derivata di una funzione y = f(x) in un punto x 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente t al grafico della funzione nel suo punto di ascissa x 0, cioè m t = f (x 0 ). L anno scorso (in Goniometria) è stato dimostrato che il coefficiente angolare di una retta coincide con la tangente trigonometrica dell angolo α che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse, cioè m = tg α. Da quanto detto precedentemente possiamo affermare che m t = f (x 0 ) = tg α. Riportiamo per comodità una tabella in cui sono riassunte le derivate delle funzioni più importanti. f(x) x dom (f) f (x) x dom (f ) x n con n N \ {0} x R nx n 1 x R x α con α R \ {0} x 0 αx α 1 x 0 e x x R e x x R a x x R a x ln a x R cos x x R sen x x R sen x x R cos x x R tg x x π + kπ 1 + tg x = 1 x cos x π 1 / Z ln x x > 0 1/x x ]0, + [ ( arcsin x 1 x 1 1 x ) 1/ 1 x 1 arccos x 1 x 1 ( 1 x ) 1/ 1 x 1 arctg x x R (1 + x ) 1 x R c R x R 0 x R x x 0 x/ x x 0 Ricordiamo inoltre alcune regole di derivazione principali. Somma e differenza Se f, g : D R sono due funzioni derivabili in D, allora anche la somma e la differenza f ± g è derivabile in D e risulta D[f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x), x D ; ( 1 )Queste note sono state scritte anche grazie all aiuto della Prof.ssa I. Scalvini del Liceo Scientifico Calini di Brescia. 1

2 Prodotto Se f, g : D R sono due funzioni derivabili in D, allora anche il prodotto f g è derivabile in D e risulta D[f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x), x D ; Quoziente Se f, g : D R sono due funzioni derivabili in D con g(x) 0 in D, allora anche il quoziente f/g è derivabile in D e risulta D[f(x)/g(x)] = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)], x D, g(x) 0 ; Composizione Se g : D R è derivabile in x 0 D e f : g(d) R è derivabile in g(x 0 ), allora la funzione composta f g è derivabile in x 0 e si ha D[f(g(x 0 ))] = f (g(x 0 )) g (x 0 ). Vediamo alcuni problemi che possono essere risolti mediante l ausilio delle derivate.. Primo problema Il primo problema che dobbiamo affrontare è il seguente: date la funzione y = f(x) e l ascissa x 0 del punto di tangenza, determinare l equazione della retta tangente. (.1) Esempio Determinare la retta tangente t al grafico della curva f(x) = x + x 5 (parabola) nel suo punto di ascissa x 0 = 4. Soluzione. Per risolvere il problema proposto è sufficiente: (1) calcolare l ordinata del punto di tangenza y 0 = f(x 0 ) = f(4) = 15, quindi P (4; 15); () calcolare la funzione derivata: f (x) = x + 1; (3) calcolare il coefficiente angolare m t = f (x 0 ) = f (4) = 9. L equazione della retta richiesta è y y 0 = m(x x 0 ) y 15 = f (4)(x 4) y 15 = 9(x 4), da cui t : y = 9x 1. (.) Esempio Determinare l equazione cartesiana della retta tangente t alla curva la cui espressione analitica è f(x) = 5 sen x + 1 nel punto x 0 = 0. Soluzione. Procedendo come nell Esempio (.1) si ha P (0; 1), f (x) = 5 cos x e quindi m t = f (0) = 5. Segue che la retta tangente richiesta ha equazione cartesiana t : y 1 = 5(x 0) y = 5x + 1. (.3) Esempio Determinare l equazione della retta tangente alla funzione f(x) = ln x nel suo punto di ascissa x 0 = e. Soluzione. Osservando che dom (f) =]0; + [ e che x 0 dom (f), è lecito richiedere la retta tangente al grafico della funzione nel suo punto x 0 = e. Anzitutto f(e) = 1, da cui P (e; 1). Inoltre f (x) = ln x x. Il coefficiente angolare della retta tangente vale m t = f (e) = /e. Segue che la retta tangente t ha equazione cartesiana y = e x 1.

3 (.4) Esempio Determinare l equazione delle retta tangente t alla curva f(x) = xe x 1 x x 0 =. nel punto Soluzione. Come visto nei precedenti esempi, determiniamo l ordinata del punto di tangenza y 0 = f() = e = /e. Calcolando la derivata della funzione si ottiene: f (x) = e x 1 x + xe x 1 x 1 x x( 1) (1 x) = e x 1 x x x + 1 (1 x). Il coefficiente angolare della retta richiesta vale m t = f () = 3/e. L equazione cartesiana della retta tangente è t : y = 3 e x 4 e. (.5) Esempio Data la cubica di equazione f(x) = hx 3 +3kx, determinare i parametri h, k R in modo tale che la funzione data sia tangente nel punto P (3; 3) alla parabola (con asse di simmetria verticale), di vertice V (1; 1). Soluzione. Anzitutto, la parabola è della forma y = ax + bx + c (con a 0). Come di consueto, per determinare i coefficienti della parabola imponiamo il passaggio per P, per V e utilizziamo l ascissa del vertice (x V = b a ): b a = 1, a + b + c = 1, 9a + 3b + c = 3. Risolvendo il sistema si ottengono le soluzioni a = 1, b = 1 e c = 3, pertanto la parabola ha equazione cartesiana y = g(x) = 1 x x + 3. Per determinare i parametri h e k imponiamo il passaggio della cubica per P (3; 3), ottenendo 7h + 9k = 3 cioè 9h + 3k = 1. Il testo del problema afferma che la cubica è tangente alla parabola in P. Ciò significa che le due curve possiedono la stessa retta tangente t passante per P. Ricordando il legame tra coefficiente angolare della retta tangente t e la derivata della funzione, si ha m t = f (x P ). Derivando la cubica e la parabola, calcolando le corrispondenti derivate nel punto x P = 3 e imponendo che tali valori siano uguali otteniamo: da cui f (x) = 3hx + 3k, g (x) = x 1 f (x P ) = f (3) = 7h + 3k, g (x P ) = g (3) = 7h + 3k =. Risolvendo il sistema in cui compaiono l ultima relazione trovata e il passaggio della cubica per P si ha { 7h + 3k =, 9h + 3k = 1, la cui (unica) soluzione è h = 1 18 e k = La funzione richiesta è quindi f(x) = 18 x3 + 1 x. (.6) Esempio Si consideri la famiglia F k di curve di equazione y = f(x), dove f(x) = x 3 (k + )x 1 (k + 7)x 3. 3

4 Determinate per quali valori del parametro k R le curve corrispondenti hanno punti nei quali la tangente è perpendicolare alla retta r di equazione cartesiana 3x 5y + 6 = 0. Soluzione. La retta r, in forma esplicita, ha equazione y = 3 5 x Si deduce che il coefficiente angolare della retta r è m r = 3 5. La retta tangente alla curva deve essere ortogonale alla retta r, quindi dovrà possedere coefficiente angolare m = 1 m r, cioè m = 5 3. Segue che m = f (x) = 3x (k + )x 1 (k + 7). 3 Ponendo m = 5 3, si ottiene l equazione di secondo grado 3x x(k + ) 1 3 (k + 7) = 5 3 9x 6x(k + ) k = 0. Tale equazione ammette due soluzioni reali se, e solo se, il discriminante è positivo, cioè 0. Calcolando il discriminante dell equazione e risolvendo la disequazione 0, si ottengono i valori del parametro k ammissibili: k 3 k. 3. Secondo Problema Il secondo problema che ci poniamo è il seguente: dati la funzione y = f(x) ed il coefficiente angolare m della retta tangente t, determinare l ascissa del punto di tangenza x 0. (3.1) Esempio Determinare le coordinate dei punti nei quali la retta tangente al grafico della funzione f(x) = x 3 + x + 3 ha coefficiente angolare m = 5. Soluzione. Indichiamo con x 0 l ascissa (incognita) del punto generico di tangenza. Per rispondere al quesito è sufficiente: (1) calcolare la funzione derivata: f (x) = 3x + ; () calcolare m t in funzione dell incognita x 0 : m t = 3x 0 + ; (3) risolvere l equazione m t = 5, cioè 3x 0 + = 5. Risolvendo l equazione si ottengono due soluzioni: x 0 = ±1. Le coordinate dei punti di tangenza sono: T 1 (1; f(1)) T 1 (1; 6), T ( 1; f( 1)) T ( 1; 0). (3.) Esempio Determinare le coordinate dei punti nei quali la retta tangente al grafico della funzione f : R R definita da f(x) = 1 x ha coefficiente angolare m =. Soluzione. Il dominio della funzione data è dom (f) = [ 1; 1]. Calcolando la derivata della funzione si ha f 1 (x) = 1 x ( x) = x. 1 x Si osservi che il dominio della funzione è dom (f ) =] 1; 1[ e che esso è un sottoinsieme del dominio della funzione data. Calcolando ora il coefficiente angolare della retta tangente t in funzione della derivata si ha m t = x 0. 1 x 0

5 Risolvendo infine l equazione m t = si ottiene x 0 = x 1 x 0 = 1 x 0 0 { x0 0, x 0 = 4 4x 0, da cui { x0 0, x 0 = 4 5. Il sistema ammette come unica soluzione x 0 = 5. Il punto richiesto è quindi T ( / 5; f( / 5)), cioè T ( / 5; 1/ 5). (3.3) Esempio Determinare i punti in cui la retta tangente alla curva di equazione f(x) = x + x è parallela alla retta passante per i punti A( ; 6) e B( 1; 4). Soluzione. Il coefficiente angolare della retta r passante per i punti A e B è m AB = y A y B = 6 4 x A x B ( 1) =. Calcolando la derivata della funzione data, si ottiene f x (x + ) (x) = x = x. Il coefficiente angolare della retta tangente t nel generico punto della curva di ascissa x 0 è m t = f (x 0 ) = x. 0 Risolvendo l equazione m t =, si ha x 0 = ±1. Pertanto, i punti richiesti hanno sono P (1; 3) e Q( 1; 1). (3.4) Esempio Si consideri la funzione f : R R definita da f(x) = e x 3 tg x tg x. Determinare i punti per i quali risulta f (x) = 0 (si ricorda che i punti per i quali la derivata è nulla si dicono punti stazionari). Soluzione. Il dominio della funzione y = f(x) data è l insieme D f = {x R : x π } + kπ, k Z. Calcolando la derivata della funzione, si ha f (x) = ( 1 + tg x ) [ e x 3 tg x + tg x e x 3 tg x 1 3 ( 1 + tg x )] = ( = e x 3 [1 tg x + tg x + tg x 1 3 )] tg x = e ( x 3 tg x 3 tg3 x + tg x 1 ) tg x + 1. Ora è sufficiente risolvere l equazione f (x 0 ) = 0. Ricordando che la funzione esponenziale è sempre positiva e mai nulla, l equazione che dobbiamo quindi risolvere è 3 tg3 x 0 + tg x 0 1 tg x = 0, cioè 3 tg 3 x 0 tg x 0 + tg x 0 = 0.

6 Ponendo t = tg x 0 si ha 3t 3 t +t = 0. Chiamando il primo membro p(t), si nota che p(1) = 0. Mediante la regola di Ruffini, il polinomio lo si può scomporre nel modo seguente: p(t) = (t 1) ( 3t + t + ). Il trinomio racchiuso nelle parentesi tonde possiede il discriminante < 0, quindi non possiede zeri. L unica soluzione dell equazione è quindi t = 1, cioè tg x 0 = 1. Segue che x 0 = π 4 + kπ, con k Z. In conclusione abbiamo trovato infiniti punti stazionari x k aventi per ascissa π 4 + kπ con k Z. (3.5) Osservazione I punti le cui ascisse annullano la derivata di una funzione y = f(x), oltre ad essere chiamati punti stazionari, sono anche detti punti a tangente orizzontale. Infatti, ricordando il legame che intercorre tra derivata f (x 0 ) e coefficiente angolare della retta tangente nel punto della curva di ascissa x 0, se f (x 0 ) = 0 allora il coefficiente angolare della tangente m t deve essere nullo. Una retta avente m t = 0 è parallela all asse delle ascisse. 4. Terzo problema Il terzo problema consiste nel determinare l angolo formato da due curve. (4.1) Definizione Chiamiamo angolo formato da due curve di equazioni y = f(x) e y = g(x) in un punto P (x 0 ; y 0 ) ad esse comune l angolo acuto formato dalle tangenti a queste curve nel punto P. Se l angolo sopra citato risulta essere retto, diremo che le due curve sono ortogonali. Si può verificare che l angolo acuto α che è formato da due rette incidenti aventi coefficienti angolari m 1 e m è tg α = m 1 m 1 + m 1 m. Se tali rette sono tangenti alle due curve y = f(x) e y = g(x) rispettivamente, possiamo affermare che i coefficienti angolari coincidono con il valore delle corrispondenti derivate calcolate nel punto x 0 (ascissa del punto di intersezione tra le due curve): (4.) tg α = f (x 0 ) g (x 0 ) 1 + f (x 0 )g (x 0 ). (4.3) Esempio Determinare l angolo formato dalle due curve γ 1 e γ di espressione analitica rispettivamente f(x) = 4x 4x e g(x) = 1 x nel loro punto di intersezione di ordinata nulla. Soluzione. Anzitutto cerchiamo di trovare i punti comuni alle due curve γ 1 e γ (parabole): { y = 4x 4x, γ 1 γ = y = 1 x. Risolvendo il sistema si ottengono i punti P (1; 0) e Q( 1/5; 4/5). Il punto che dobbiamo prendere in considerazione è P. Per risolvere il quesito proposto dobbiamo: (1) calcolare le funzioni derivate delle due funzioni: f (x) = 8x 4 e g (x) = x; () calcolare i coefficienti angolari delle due rette tangenti: m 1 = f (1) = 4 e m = g (1) =. Note queste informazioni possiamo concludere l esercizio ricavando la tangente dell angolo (acuto) formato dalle due rette mediante la relazione (4.): tg α = = 6 7, da cui α = arctg 6 7.

7 (4.4) Esempio La parabola P 1 di equazione y = ax + bx + c (a 0) interseca la parabola P di equazione y = 1 x nel punto A di ascissa nulla e nel punto B di ascissa. Si determini l equazione di P 1 sapendo che l angolo formato dalle due parabole nel punto B è α = arctg 1. Soluzione. Per iniziare, determiniamo le coordinate di A e di B. Poichè A, B P, si ha y A = 1 e y B = 3. Imponiamo ora il passaggio della parabola P 1 per i punti A e B: { { passaggio di P1 per A, c = 1, passaggio di P 1 per B, 4a + b + c = 3. Risolvendo il piccolo sistema precedente si ha c = 1 e b = a. La parabola P 1 assume la forma y = f(x) = ax (a + )x + 1. Indicando con g(x) la seconda parabola e procedendo come nell esercizio precedente, calcoliamo le derivate delle due funzioni (parabole): f (x) = ax a, g (x) = x. Per determinare i coefficienti angolari delle rette tangenti alle due parabole in B è necessario calcolare f (x B ) e g (x B ) ottenendo: f (x B ) = a, g (x B ) = 4. Applicando la relazione (4.) si ha ( tg arctg 1 ) = 1 = a + 9 8a a + 9 8a = ±1. Risolvendo le due equazioni ammettono le seguenti soluzioni: a = 5 1 e a = Sostituendo tali valori nel sistema precedente si ottengono due parabole. La retta marrone è la tangente in B alla parabola P. y y = 13 4 x 17 x + 1 A(0;1) O x y = 5 1 x 17 6 x + 1 P B(; 3) y = 4x + 5

8 (4.5) Esempio Si considerino le seguenti funzioni: f(x) = x + x 1, g(x) = x + k k R. Determinare per quali valori di k le tangenti alle due curve nei loro punti di intersezione formano un angolo di π/4. Soluzione. Per individuare i punti di intersezione tra le due curve è sufficiente risolvere il seguente sistema { y = x + x 1, y = x + k, ottenendo come unica soluzione P ( k + 1; k + 3k + 1 ). Le derivate delle due funzioni sono rispettivamente f (x) = m 1 (x) = x + 1, g (x) = m (x) = x. Calcolando il valore delle due derivate nel punto x P = k + 1, si ottengono i coefficienti angolari delle due rette tangenti alle curve nel punto P comune: m 1 = k + 3, m = k +. Ricordando inoltre che tg π 4 = 1, si ha m 1 m 1 + m 1 m = 1 k + 3 k 1 + (k + )(k + 3) = 1, da cui 1 + (k + )(k + 3) = 1. Risolvendo le due equazioni 1 + (k + )(k + 3) = 1, 1 + (k + )(k + 3) = 1 si ottengono le soluzioni k = 1 oppure k = 3. (4.6) Esempio Si considerino le curve di equazioni rispettivamente f(x) = x x e g(x) = x x. Determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve nel loro punto di ascissa x 0 = 0. Calcolare inoltre la tangente goniometrica dell angolo che le tangenti formano. Soluzione. Anzitutto notiamo che dom (f) = R e dom (g) = R \ {}, quindi è lecito considerare il punto di ascissa x 0 = 0. Notando che f(0) = g(0) = 0, si ha che il punto di tangenza è P (0; 0). Calcolando le derivate delle due funzioni si ha f (x) = x 1, g (x) = (x ), da cui i coefficienti angolari delle rette tangenti alle due funzioni f e g sono, rispettivamente, m = f (0) = 1 e m = g (0) = 1. La retta tangente ad f in P ha equazione cartesiana y 0 = m(x 0), cioè y = x (bisettrice del II e del IV quadrante). La retta tangente alla funzione g ha equazione y 0 = m (x 0), cioè y = 1 x. La tangente goniometrica dell angolo formato dalle due rette tangenti è tg α = 1 + ( 1) ( 1 ) = 1 3. (4.7) Esempio Determinare l equazione cartesiana della parabola P con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate sapendo che P è tangente alla parabola y = x nel punto si ascissa 1 e passa per A(3; 4). Trovare inoltre i punti Q della parabola tali che la somma delle loro coordinate sia α R.

9 Soluzione. La parabola richiesta è della forma y = ax + bx + c con a 0. Sapendo che essa è tangente alla parabola y = x nel punto di ascissa x 0 = 1 si ricava che il punto di tangenza è T (1; 1). Il coefficiente angolare della retta tangente è data dalla derivata di y = x calcolata nel punto x 0 = 1, quindi m =. L equazione della retta tangente t è quindi y 1 = m(x 1), cioè y = x 1. Per determinare i coefficienti della parabola imponiamo anzitutto il passaggio per A e per T ottenendo { 9a + 3b + c = 4, a + b + c = 1, da cui y = ax + 3 8a x + 6a 1, con a da determinare. Se ora y = f(x) è l equazione della parabola che stiamo cercando, si ha f (1) = m =, essendo f (x) = ax + 3 8a e quindi f (1) = a + 3 8a. Imponendo ora f (1) = si ottiene a = 1 4. La parabola richiesta è quindi y = 1 4 x + 5 x 5 4. y y = x 1 T (1;1) O x y = 1 4 x + 5 x 5 4 Il punto Q richiesto è della forma Q ( x; 1 4 x + 5 x 5 4), con x R. Imponendo che xq + y Q = α, si ha x 14x + 4α + 5 = 0. Ponendo y = x 14x e y = 4α 5, il problema si riduce alla discussione del seguente sistema parametrico misto: y = x 14x parabola passante per l origine O, y = 4α 5 fascio improprio di rette orizzontali, < x < + intervallo di esistenza della x, La situazione è riportata nel grafico sottostante.

10 y y = x 14x O y = 4α 5 x α = 11 La retta passante per il vertice V della parabola ha equazione y = x V, cioè y = 49. Il valore di α corrispondente alla retta del fascio passante per il vertice della parabola lo si ottiene imponendo il passaggio della retta y = 4α 5 per il vertice V (7; 49) della parabola y = x 14x. Si ottiene α = 11. La generica retta del fascio intersecherà la parabola in du punti quando α 11 (si noti che il fascio decresce verso l alto). 1. Determinare la derivata della funzione Esercizi f(x) = x ln 3 x 3x ln x + 6x ln x 6x. Successivamente, calcolare le ascisse dei punti del grafico della funzione y = f(x) nei quali la retta tangente ha coefficiente angolare m = 8. [f (x) = ln 3 x. Si ha un unico punto di ascissa x 0 = e.]. Date le funzioni f(x) = x + 1, g(x) = x 3 e h(x) = sen x, determinare la funzione composta A(x) = (f g h)(x) e calcolare la derivata A (x). 3. Determinare le ascisse dei punti della parabola di equazione cartesiana y = x + 4x 3 nei quali la tangente risulti inclinata di π 4 o di π 3 rispetto al semiasse positivo delle ascisse. [x 1 = ; x = 3 3.] 4. Date le curva di equazioni f(x) = x ln x e g(x) = ln xx e, determinare l angolo acuto formato dalle tangenti ad esse nel loro punto di intersezione. [α = arctg +e 3e 4.] 5. Determinare per quali valori del parametro reale k la famiglia di parabole P k di equazione y = (1 k)x + 3kx 7 + k le tangenti alla corrispondente parabola nei punti di ascissa e 13 4 risultano ortogonali tra loro. [k = oppure k = 7 7.] 6. Date le curve di equazioni cartesiane f(x) = 1 x e g(x) = x + 3 x 5, determinare gli angoli acuti formati dalle tangenti ad esse nei loro punti di intersezione. [α = arctg 7 ; β = arctg.]

11 7. Scrivere l equazione della retta tangente alla curva di equazione cartesiana f(x) = 5x 1 nel suo punto di ascissa x 0 = 1. [y = 5 x 1.] 8. Scrivere l equazione della retta tangente alla curva di equazione cartesiana f(x) = 3 cos x sen x + 5x nel suo punto di ascissa x 0 = 0. [3x y + 3 = 0.] 9. Si consideri la funzione f(x) = e x. Dopo aver determinato il dominio D f della funzione data, determinare l equazione della retta t tangente al grafico della funzione y = f(x) passante per P (1; e). [Il dominio è D f = [0; + [. La retta t ha equazione ex y + e = 0.]