ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 Sessione straordinaria

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1 ESME DI STTO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINMENTO 006 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEM È dato il triangolo BC in cui: B, C, tg Â. Determinare l altezza del triangolo relativa al lato B e tracciare la circonferenza k avente centro in C e tangente al lato B. Dopo aver riferito il piano della figura a un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, in modo, però, ce uno degli assi di riferimento sia parallelo alla retta B: a) scrivere l equazione della circonferenza k; b) trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza k interseca il segmento BC; c) determinare l equazione della parabola p, avente l asse perpendicolare alla retta B, tangente in D alla circonferenza k e passante per ; d) calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola p divide il triangolo BC; e) trovare, infine, le coordinate dei punti comuni alla circonferenza k e alla parabola p. PROBLEM Si considerino i polinomi di grado, nella variabile, con coefficienti reali, i cui grafici, rappresentati in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (O), sono simmetrici rispetto all origine O e anno un massimo relativo nel punto ; 6 4. a) Trovare l equazione f () dei grafici suddetti. b) Dimostrare ce tali grafici anno tre punti in comune, in due dei quali anno ance la stessa tangente. c) Indicare con il grafico avente come tangente inflessionale l asse e disegnarne l andamento. d) Indicato con P() il polinomio rappresentato da e ciamati u e v (u v) le ascisse dei punti, distinti da O, in cui interseca l asse, calcolare: v P() d. u e) Dopo aver controllato ce a tre flessi allineati, determinare le ascisse dei punti in cui la retta dei flessi interseca. Zanicelli Editore, 007

2 QUESTIONRIO 4 È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lungezza del lato. (Si lascino indicate le funzioni goniometrice degli angoli coinvolti). Una piramide quadrangolare regolare è tale ce la sua altezza è il doppio dello spigolo di base. Calcolare il rapporto fra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide stessa. Se le funzioni f () e g(), entrambe tendenti a 0, quando a, non soddisfano alle condizioni previste dal teorema di De L Hôpital, non è possibile calcolare il limite di g ( ) quando a. È vero o è falso? Fornire un esauriente spiegazione della risposta. f ( ) Il limite della funzione f () ln, per è: 0. B un valore finito diverso da 0. C. D. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della scelta operata. Dimostrare ce la derivata, rispetto a, della funzione arctg() è Dopo aver enunciato il teorema di Rolle, spiegare in maniera esauriente se può essere applicato alla funzione f (), nell intervallo [ ; ]. Giustificare, con considerazioni analitice o mediante un interpretazione grafica, ce la seguente equazione: 0 ammette una e una sola soluzione reale. Trovare, quindi, l intervallo [z; z ] al quale appartiene tale soluzione, essendo z un numero intero. Considerata l equazione: 0, spiegare, con il metodo preferito ma in maniera esauriente, percé non può ammettere più di una soluzione razionale. Considerata l equazione: cos sen(), spiegare in maniera esauriente se ammette soluzioni reali o se non ne ammette. Una classe è formata da 8 alunni, di cui 6 femmine e masci. Fra le femmine c è una sola «Maria» e fra i masci un solo «ntonio». Si deve formare una delegazione formata da due femmine e due masci. Quante sono le possibili delegazioni comprendenti «Maria» e «ntonio»? Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima ce siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanicelli Editore, 007

3 SOLUZIONE DELL PROV D ESME CORSO DI ORDINMENTO 006 Sessione straordinaria PROBLEM Rappresentiamo in scala il triangolo BC tenendo conto ce C B, C e tg   6. Considerato tg Â, calcoliamo le altre funzioni goniometrice: tg  sen  sen Â, tg ˆ cos  cos Â. tg ˆ L altezza CH misura CH C sen  pertanto: CH 0. H B Figura. Disegniamo la circonferenza k e scegliamo un sistema di riferimento con origine nel centro C della circonferenza e assi come in figura. k a) L equazione di una circonferenza di raggio r e centro C(0; 0) è del tipo r. Nel nostro caso r CH 0, quindi la circonferenza k a equazione: 00. b) Poicé H C cos  e HB B H, ne segue ce: ( ; 0), B Figura. ; 0, C(0; 0). Per determinare le coordinate di D calcoliamo l equazione della retta CB. Tale equazione è del tipo B m, dove m 4 B. Quindi CB a equazione 4. Cerciamo ora i punti di intersezione tra CB e la circonferenza k considerando il seguente sistema: 4 00 Ne segue ce D(6; 8) OC 0 H D B Zanicelli Editore, 007

4 c) La parabola p a equazione del tipo a b c con a, b, c coefficienti reali e a 0. La tangente a tale parabola nel punto D a come coefficiente angolare f (6), dove f () a b c. Pertanto vale: f () a b, quindi f (6) a b. Poicé la retta CB è perpendicolare alla tangente in D e a coefficiente angolare uguale a 4, allora il coefficiente angolare della retta tangente in D è 4. Deve quindi valere la condizione a b, cioè 48a 4b. Mettiamo tale equazione a sistema 4 con le equazioni ce si ottengono sostituendo all equazione della parabola le coordinate dei punti e D: 6a 6b c 8 a b c 0 48a 4b Risolvendo tale sistema si ottiene: 6 a, b, c L equazione della parabola p è perciò: k d) Rappresentiamo nel sistema cartesiano precedente F OC 6 G la parabola p ce a vertice V 6 ; p e ce interseca l asse nei punti D G ; 0 0 e F H ; 0 0. E B V 0 Evidenziamo le regioni in cui la parabola p divide il Figura. triangolo BC (figura ). Determiniamo l ascissa del punto E, intersezione tra il segmento B e la parabola, ponendo 0 nell equazione di p: Tale equazione a come soluzioni e 6. Il primo valore è l ascissa del punto, mentre il secondo valore è l ascissa di E, ce, quindi, a coordinate E 6 p ; 0. D Determiniamo ora l area del segmento parabolico delimitato dal segmento DE, ce a equazione 0, e la parabola p (in figura 4 è rappresentata la regione 44 ingrandita). = 0 44 E B Figura 4. 4 Zanicelli Editore, 007

5 Calcoliamo il seguente integrale: d d Il triangolo EDB a altezza rispetto alla base EB ce misura e base lunga EB. L area del triangolo EDB vale quindi: 0 EDB 0. 0 Se a tale area sottraiamo l area del segmento parabolico precedentemente trovata, otteniamo l area della regione di piano delimitata dai segmenti EB, DB e dall arco di parabola ED, pertanto: L area del triangolo BC vale invece B CH. Ne segue ce l area della regione di piano delimitata dai segmenti E, CD, C e dall arco di parabola ED vale: BC e) Le coordinate dei punti comuni alla circonferenza k e alla parabola p sono tutte e sole le soluzioni del sistema: Sostituendo l espressione di nella seconda equazione si ottiene: Sappiamo ce D è un punto comune alle due curve. In particolare esse anno la stessa retta tangente in D. L ascissa di tale punto è quindi una soluzione doppia di tale equazione. Scomponendo il primo membro dell equazione otteniamo: ( 6) ( 46 44) 0 Poicé il discriminante dell equazione è negativo, si può concludere ce la circonferenza k e la parabola p anno in comune solo il punto D. PROBLEM a) ffincé il grafico di una funzione f () sia simmetrico rispetto all origine, la funzione deve essere dispari, cioè tale ce f ( ) f (). Le unice funzioni polinomiali dispari di grado sono del tipo: f () a b c, con a, b, c coefficienti reali e a 0. Il grafico di tale funzione passa per il punto ; 6 4 se f ( ) 6 4, cioè se vale: a 8b c a 60b c. Zanicelli Editore, 007

6 Tale punto è ance un estremo relativo se f ( ) 0. Poicé f () a 4 b c, si a ce f ( ) 80a b c. Deve quindi valere 80a b c 0. Mettendo a sistema tali condizioni, si ottiene: b 4 0a 80a b c 0 c 80a b 40a 60b c 0a b 4 0 c 80a 6 Inoltre, il punto ; 6 4 è in particolare un massimo relativo se f ( ) 0. Poicé f () 0a 6b, si a ce f ( ) 60a b. Sostituendo l espressione di b trovata in funzione di a si ottiene f ( ) 6 (0a ). Perciò f ( ) 0 solo se a 0. L equazione dei grafici considerati è in conclusione la seguente: a 4 0a 80a 6, con a 0 ; 0 ]0; [. b) Riscriviamo l equazione della curva mettendo in evidenza il parametro a: 4 a( 8 6) 6 0. Per determinare i punti comuni alle curve consideriamo il seguente sistema: ( 4) Le soluzioni della prima equazione sono 0, in corrispondenza delle quali troviamo i tre punti (0; 0), ; 6 4, ; 6 4. Il coefficiente angolare della tangente alla curva in un punto di ascissa è: f () a 4 4 0a 80a 6. Poicé f () f ( ) 0, i punti comuni alle curve di ascissa e anno tutti, rispettivamente, le rette 6 4 e 6 4 come tangenti. c) Il punto di ascissa c è un punto di flesso con tangente inflessionale l asse se: - f (c) 0, poicé c è un punto di flesso; - f (c) 0, poicé il punto di ascissa c deve appartenere all asse ; - f (c) 0, poicé il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa c vale 0. Osserviamo ce f () 0a (4 0a). In particolare f (0) f (0) 0. Se, quindi, imponiamo f (0) 0, si può concludere ce in (0; 0) vi è un flesso con tangente l asse : f (0) 0 80a 6 0 a. 6 Zanicelli Editore, 007

7 La curva è dunque quella ce si ottiene per a, cioè: : 4. Il campo di esistenza di tale funzione è l asse reale. La funzione è dispari, interseca gli assi cartesiani nei punti (0; 0), ; 0 e è positiva solo se ; 0 ;. Inoltre vale: lim 4 lim 4, ma ance: lim f ( ) lim 4 4. Pertanto non vi sono asintoti obliqui. La derivata prima risulta: f () 4 4 ( 4). Essa si annulla in 0 e in e lo scema di figura ne riassume il segno. La funzione ammette quindi un minimo relativo per, ce vale f () 64, e un massimo relativo per, con f ( ) 6 4. Studiamo ora la derivata seconda: f () 4 8 4( ). Essa si annulla in 0 e in. In figura 6 è indicato lo scema del segno. La funzione a tre flessi nei punti di coordinate (0; 0), ; 8, ; 8. Nella figura 7 è rappresentato il grafico della curva. d) Per considerazioni al punto precedente risulta u e v. f'() f() f'() f() M + B ma flesso min + Figura O flesso N γ flesso Figura 6. Figura 7. Essendo P() 4 un polinomio dispari e u v allora possiamo concludere, senza neces sità di calcoli, ce v P()d 0. u e) I tre flessi di sono O(0; 0), ; 8, B ; 8. La retta passante per e B a equazione 8. Poicé tale retta passa per l origine degli assi possiamo concludere ce i tre punti sono allineati. 7 Zanicelli Editore, 007

8 Troviamo ora le ascisse dei punti di intersezione tra tale retta e la curva risolvendo il seguente sistema: ( 4 0 8) 0. 4 Per la proprietà dell annullamento del prodotto risulta: L equazione biquadratica a soluzioni 4 e. In conclusione, le ascisse dei punti in cui la retta passante per i flessi interseca sono: 0, 4 e. QUESTIONRIO Dato il pentagono regolare BCDE, per ogni vertice si ricavino cinque triangoli isosceli congruenti, di base e lato obliquo, in modo da ottenere un decagono regolare di lato (figura 8). Si tracci l altezza K del triangolo isoscele FQ. Poicé l angolo al vertice di un poligono regolare di n lati vale n, nel caso di n un pentagono (n ) risulta. Pertanto l angolo alla base del triangolo isoscele FQ vale FˆK. Per la trigonometria, segue ce cos. cos e, quindi N O E P Q K F D M L C I H G B Figura 8. Inoltre risulta L. Sostituendo l espressione di, sopra trovata, si ottiene la seguente equazione in ce risolviamo: cos L L. cos cos cos Il lato del decagono è lungo perciò L. cos 8 Zanicelli Editore, 007

9 È data una piramide quadrangolare di altezza doppia dello spigolo di base, nella quale è inscritto un cubo (figura 9). Supposto di lungezza a lo spigolo di base, l altezza è VO a e il volume della piramide risulta: V BCD VO a a a. V Determiniamo la lungezza dello spigolo del cubo inscritto alla piramide. Sia B O O, dove O è l intersezione tra l altezza VO della piramide e la faccia B C D del cubo. Quindi ]0; a[. Poicé, B, O, V sono i corrispondenti di, B, O, V in un omotetia di centro V, vale: B B VO. VO ' D' O' D O B' C' C Ma VO VO O O a. Sostituendo, troviamo ce: a a a a a a. Quindi lo spigolo del cubo a lungezza a. Ne segue ce il volume del cubo vale: V a 8 7 a. Il rapporto riciesto è perciò: 8 V 7 a 8 V a Figura 9. a B Tale affermazione è falsa. Forniamo un controesempio considerando le seguenti funzioni: f () sen, g(). Poicé sen, possiamo applicare il teorema del confronto e risulta lim f () 0. 0 Quindi f () e g() sono entrambe funzioni tendenti a 0 per 0. Esse non soddisfano le condizioni previste dal teorema di De L Hôpital, in quanto non esiste f ( ) lim. Infatti: 0 g ( ) f ( ) sen cos. g ( ) Per 0, il primo termine tende a 0 mentre l addendo cos non ammette limite (essendo una funzione oscillante). f ( ) Questo, però, non implica ce non si possa calcolare lim. Infatti risulta: 0 g ( ) lim 0 sen sen cos lim 0 sen 0. 9 Zanicelli Editore, 007

10 4 Il limite lim ( ln ) porta alla forma indeterminata. Riscriviamolo raccogliendo la al numeratore: lim ( ln ) ln. Ora, per il teorema di De L Hôpital risulta: lim ln lim 0, pertanto vale: lim ( ln ). L alternativa corretta è C. La funzione f () arctg(), definita in tutto R, è l inversa della funzione f () tg, con ;. La funzione tangente è derivabile nell intervallo con derivata non nulla. Per il teorema della derivata della funzione inversa, arctg() è derivabile in tutto R e si a: D[arctg ]. D[t g ] tg Il teorema di Rolle afferma ce, data una funzione f () continua nell intervallo [a; b] e derivabile nei suoi punti interni, se f (a) f (b), allora esiste almeno un punto c, interno all intervallo [a; b], per il quale risulta f (c) 0. La funzione f () non è derivabile in 0. Infatti, calcolando il limite del rapporto incrementale in tale punto si a ce: lim () f (0) 0 f lim lim 0, 0 lim () f (0) 0 f lim lim 0. 0 Quindi non esiste f (0) e di conseguenza la funzione non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [ ; ]. Consideriamo la funzione di equazione: f (). Tale funzione è definita in tutto R e ivi continua e derivabile, in quanto polinomiale. Inoltre f (0) 0 e f ( ) 0. Quindi per il teorema di esistenza degli zeri di una funzione, l equazione considerata ammette almeno una soluzione reale nell intervallo [ ; 0]. Poicé f () 4 è positiva in R {0} e si annulla solo in 0, ne segue ce la funzione è strettamente crescente e, quindi, iniettiva. In particolare l equazione ammette un unico zero compreso tra e 0. Ricordiamo il seguente teorema: Se p() è un polinomio a coefficienti interi e il numero razionale a (ridotto ai minimi termini) è uno zero b del polinomio cioè p a b 0, allora: il numeratore a divide il termine noto del polinomio; il denominatore b divide il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio. 0 Zanicelli Editore, 007

11 Dal teorema segue ce, per trovare le soluzioni razionali dell equazione 0, possiamo restringere la nostra attenzione al termine noto e al coefficiente del termine ce è anc esso. Quindi il numeratore e il denominatore della soluzione razionale devono essere interi divisori di. Poicé i divisori di sono solamente i numeri e, ne segue ce le possibili soluzioni razionali dell equazione 0 sono oppure. Sostituendo tali valori al polinomio p() osserviamo ce: p() 0, p( ) 0. Possiamo quindi concludere ce è l unica soluzione razionale dell equazione considerata. 9 0 L equazione considerata non a soluzioni reali poicé il prodotto di due numeri minori o uguali di sen, cos è ancora un numero minore o uguale di e quindi non può essere uguale a. Poicé tra le 6 femmine vi è una sola persona di nome «Maria», le possibili coppie di femmine comprendenti «Maria» sono. nalogamente, le possibili coppie di masci comprendenti «ntonio» sono. Le possibili delegazioni comprendenti «Maria» e «ntonio» sono, perciò, cioè 6. Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema pag. W 74 Esercizio 64 pag. Q 8 Esercizio pag. W Problema Problema pag. W 74 (punti a, b e c) Problema pag. W 7 Problema pag. V 8 Quesito Quesito 6 pag. Q 4 Quesito Problema 8 pag. 98 Esercizio 60 pag. 9 Quesito Esercizio 94 pag. V Esercizio 9 pag. V Quesito 4 Esercizio 0 pag. V 4 Esercizio 4 pag. W 8 Quesito Esercizio 9 pag. V 6 Quesito 6 Esercizio pag. V Esercizio 4 pag. V Quesito 7 Esercizio pag. Esercizio pag. Quesito 9 Esercizio 6 pag. Q Esercizio 4 pag. Q Quesito 0 Quesito pag. 40 Quesito pag. 40 Zanicelli Editore, 007