ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2003 Sessione straordinaria

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1 ESME I STTO I LICEO SCIENTIFICO CORSO I ORINMENTO Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PROLEM 1 È assegnata la seguente equazione in x: x x 5. a) imostrare che ammette una e una sola soluzione x nel campo reale. b) eterminare il numero intero z tale che risulti: z x z 1. c) opo aver riferito il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Ox), determinare, se esistono, i valori del parametro reale k (k 1) per cui la curva C k di equazione: (x x 5) k (x x 75) ammette un massimo e un minimo relativi. d) Stabilire se esiste un valore k di k per cui la curva C k è simmetrica rispetto all origine O. e) Stabilire se fra le rette di equazione 5x m, dove m è un parametro reale, ve ne sono di tangenti alla curva C ottenuta per k. PROLEM La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell ordine: 6 cm, 1 cm, ( 5 ) cm. a) ire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza. b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza k. c) opo aver riferito il piano del trapezio a un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, trovare l equazione di k. d) Trovare l equazione della parabola p passante per gli estremi della base minore del trapezio e avente l asse perpendicolare a tale base e il vertice nel centro di k. e) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il trapezio. f) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k. 1 Zanichelli Editore, 6

2 QUESTIONRIO Nell insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione così definita: «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni». ire se è vero o falso che gode della proprietà transitiva e fornire un esauriente spiegazione della risposta. In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Ox), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione: 8x 8 kx 8 k, dove k è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da: 1) un punto; ) due punti; ) infiniti punti; ) nessun punto. imostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché un trapezio rettangolo abbia le diagonali perpendicolari è che le misure della base minore, dell altezza e della base maggiore, prese nell ordine e considerate rispetto alla stessa unità di misura, siano numeri in progressione geometrica. ire se è vero che risulta: x x x per ogni x reale e giustificare la risposta. Si consideri la funzione polinomiale in x: a a 1 x a x a n x n. imostrare che il suo grafico, rappresentato in un piano cartesiano, ha come tangente nel punto di ascissa la retta di equazione a a 1 x. Si consideri la successione di termine generale a n tale che: 1 a n se n 1. a n 1 n se n 1 Calcolare a 1. Considerata la successione di termine generale: a n n, calcolare n 1 a n. Considerata la funzione f (x) tale che: f (x) x (1 ln t) dt, con x, determinare i suoi zeri e gli intervalli in cui cresce o decresce. Zanichelli Editore, 6

3 9 Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con r 1 ed r i raggi delle due basi del segmento sferico e con h la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume V del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula: V 1 6 h(h r 1 r ). Qualunque sia il metodo seguito per la dimostrazione, esplicitare ciò che si ammette. 1 Calcolare il seguente limite: lim x x (1 e t )dt sen x essendo e la base dei logaritmi naturali. urata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 6

4 SOLUZIONE ELL PROV ESME CORSO I ORINMENTO Sessione straordinaria PROLEM 1 a) Posto f (x) x x 5, la funzione f è continua in R, i limiti agli estremi del campo di esistenza valgono lim (x x 5) e la derivata prima f (x) x è sempre positiva in R. Per il teorema di unicità dello zero, la funzione f ha uno e un solo punto in cui si annulla e quindi l equazione x x x 5 ammette una e una sola soluzione reale x. b) Si considera l immagine della funzione f (x) x x 5 per alcuni valori interi di x : f () 8, f () 17, f (). Si osserva che nell intervallo [; ] la funzione cambia di segno, pertanto lo zero x della funzione è localizzato in tale intervallo, ovvero z x z 1, con z. c) Considerata la funzione parametrica f k (x) (x x 5) k (x x 75), con k 1, si può scrivere f k (x) (k 1) x (k 1) x 5( k). Essa è continua e ha derivata prima: f k (x) (k 1)x (k 1). Si studia il segno di quest ultima ponendo (k 1)x (k 1) : se k 1, (k 1)x (k 1) x x R; se k 1, (k 1)x (k 1) x x R. Poiché per k 1 si ha f k (x) x R, la funzione f k (x) è crescente, mentre per k 1 è f k (x) x R e quindi la funzione f k (x) è decrescente. In conclusione non esistono valori di k per cui la funzione f k ammette un massimo e un minimo relativi. d) La funzione f k (x) (k 1) x (k 1) x 5( k) è simmetrica rispetto all origine O se vale che f k ( x) f k (x), ovvero se è verificata l uguaglianza: (k 1)( x) (k 1)( x) 5( k) (k 1)x (k 1)x 5( k), cioè (k 1)x (k 1)x 5( k) (k 1)x (k 1)x 5( k) Confrontando i due membri dell uguaglianza, deve essere: 5( k) 5( k) k. Pertanto la curva C k, con k, di equazione: f (x) 1 x x 1 = x 1 + x è simmetrica rispetto all origine del sistema di riferimento cartesiano. 1 O 1 x Il suo grafico è rappresentato nella figura 1. 1 Figura 1. Zanichelli Editore, 6

5 e) La curva C ha equazione f (x) x x 5. La sua derivata prima, f (x) x, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente nel generico punto (x ; f (x)). Considerate le rette di equazione 5x m, di coefficiente angolare uguale a 5, si impone l uguaglianza f (x) 5 cioè x 5 x 1. Pertanto i punti della curva C di coordinate ( 1; 5), (1; 7) hanno tangenti di equazione 5x m. Si impone a tali rette il passaggio per i punti suddetti per ricavare i valori di m: per ( 1; 5), 5 5( 1) m m 8; per (1; 7), 7 5(1) m m 5. Concludendo, le rette 5x 8 e 5x 5 sono tangenti alla curva C. Nella figura è riportato il grafico di C e delle due rette tangenti. 1 O 1 5 ( 1; 5) x =x +x 5 =5x 8 =5x 5 (1; 7) PROLEM a) Sia C il trapezio isoscele di base minore, base maggiore e perimetro rispettivamente 6 cm, 1 cm, ( 5 ) cm (figura ). a qui si omette per comodità l indicazione dell unità di misura. I lati obliqui e C misurano: C 1 (p C ) C 1 [( 5 ) 1 6] 5. alla geometria euclidea è noto che la condizione necessaria Figura. e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due. Poiché C 5 e, C 16, risulta C C e pertanto il trapezio C non è circoscrivibile a una circonferenza. b) Nel trapezio C (figura ) gli angoli adiacenti alle basi sono 5 cm 6 cm C 5 cm congruenti per ipotesi, trattandosi di un trapezio isoscele, ossia  ˆC e ˆC Ĉ. Inoltre  è supplementare ad 1 cm ˆC e ˆC è supplementare a Ĉ, perché angoli coniugati interni. Risulta allora che gli angoli opposti ˆC e ˆC del trapezio sono tra loro supplementari e, alla stessa maniera, gli angoli opposti  e Ĉ sono anch essi supplementari. È quindi soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente affinché il quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza k. c) Si pone un sistema di assi cartesiani ortogonali con l origine O nel punto medio della base maggiore, in modo che tale base poggi sull asse delle ascisse (figura ). In questa maniera, detto E il centro della circonferenza k, dovendo equidistare dai quattro vertici del trapezio, si troverà sull asse delle ordinate. C Tracciata l altezza CH, risulta H 1 ( C ) e, applicando il teorema di Pitagora al triangolo CH, si trova C H C H. Figura. H 5 O 5 x Figura. 5 Zanichelli Editore, 6

6 I vertici del trapezio sono quindi: ( 5; ), (5; ), C (; ), ( ; ). Considerate le coordinate del centro E (; e) della circonferenza k, con e reale, esse devono soddisfare la relazione E C E : ( ) (e ) ( 5 ) (e ), ed elevando al quadrato, 5 e 8e 5 e e. Il centro della circonferenza E coincide con l origine del sistema cartesiano e il raggio vale 5. La circonferenza ha equazione: x 5. Nella figura 5 è rappresentata la circonferenza k circoscritta al trapezio C. d) Poiché il centro della circonferenza è l origine degli assi, la parabola p ha vertice situato in tale punto e il suo asse di simmetria coincide con l asse delle. L equazione della parabola è quindi della forma ax. Si determina il valore del coefficiente a imponendo il passaggio per uno dei due estremi della base minore C, per esempio C. Si trova: a() a. L equazione della parabola p è 9 x e il suo grafico è riportato 9 nella figura 6. e) Nella figura 7 sono evidenziate le tre regioni in cui la parabola p divide il trapezio. Si tratta del segmento parabolico OC e delle figure mistilinee O e OC tra loro congruenti. pplicando il teorema di rchimede si trova la superficie del segmento parabolico: S OC C C H Figura 5. 5 E O 5 x 5 O E 5 x C C p k k Figura 6. Le aree S O e S OC si ricavano per differenza tra la superficie del trapezio e quella del segmento parabolico: = x 9 S O S OC 1 (S C S OC ) 1 1 ( C ) C H S OC. Sostituendo le misure dei segmenti risulta: C S O S OC 1 1 (1 6) H 5 O 5 x Figura 7. f) La figura 8 mostra le regioni piane in cui la parabola p divide la circonferenza k. Si determina la superficie della figura mistilinea OCF attraverso il calcolo integrale. 6 Zanichelli Editore, 6

7 L arco F C ha equazione 5 x mentre l arco di parabola ha espressione 9 x. Pertanto la regione mistilinea OCF, tenuto conto della sua simmetria rispetto all asse, ha superficie: F = x 9 C S OCF 5 x 9 x dx. pplicando la formula di integrazione: a x dx 1 a x 1 arcsen a x a x, 5 O 5 x x + =5 si trova: S OCF 1 5 arcsen x 5 1 x 5 x 9 x 5 arcsen arcsen. 5 L area della restante regione S CO si ricava per differenza tra la superficie del cerchio di raggio 5 e S OCF appena trovata. Pertanto vale: S CO 5 5 arcsen. 5 Figura 8. QUESTIONRIO α β 1 La relazione «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni» gode della proprietà transitiva. Infatti, si considerano due rette r ed s parallele tra loro e appartenenti al piano (figura 9). Sia t una retta parallela ad s e sia il piano che le contiene. Si vuole dimostrare che le rette r e t sono tra loro parallele. Si consideri un generico punto P della retta s e si conduca da esso un piano perpendicolare alla retta stessa. Per un noto teorema della geometria euclidea nello spazio, se due rette sono parallele, ogni piano perpendicolare all una è perpendicolare pure all altra. Pertanto il piano è perpendicolare sia alla retta r che alla retta t. Ora, si può dimostrare che due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro. Infatti, siano e i piedi delle perpendicolari r e t sul piano e sia u la retta che congiunge e (figura 1). Si conduca su una retta v perpendicolare alla u in un punto H. ato che r è perpendicolare a e la retta u è perpendicolare a v, allora la retta v è perpendicolare al piano determinato dalle rette r e u, per il teorema delle tre perpendicolari. Nella stessa maniera si dimostra che v è perpendicolare al piano individuato dalle rette t e u. Poiché di piani perpendicolari alla retta v ve ne è uno solo nel punto H, ne consegue che le rette r e t appartengono allo stesso piano. Essendo quest ultime complanari ed entrambe perpendicolari alla stessa retta u allora sono parallele. γ r u γ r s P H t Figura 9. δ t v Figura 1. 7 Zanichelli Editore, 6

8 ata l equazione 8x 8 kx 8 k, essa può essere scritta nella forma: x k 1 x 8. Si tratta di una combinazione lineare tra l equazione x, rappresentante la circonferenza di centro C ; 1 e raggio r 1, e la retta x (figura 11). Il luogo geometrico si riconduce a un fascio di circonferenze di centro k 1 ; e raggio r k k k se vale la condizione di realtà k k. In particolare, si trova: k k k 6k k 5 k 5. Per k 5 k 5, l equazione di partenza è un fascio di circonferenze con generatrici di equazione: x e x (figura 11). Figura x= O C 1 x + += 1 x x Poiché il sistema delle generatrici, 9, ha equazione risolvente con discrimi- x 1 6 nante negativo, l asse radicale x è esterno alle circonferenze, le quali non possiedono punti base. Si può concludere che il luogo geometrico è costituito da: 1) un punto quando r k, ossia per k 5 ; ) da due punti per nessun valore di k; ) da infiniti punti per k 5 k 5 ; ) da nessun punto per 5 k 5. È dato il trapezio rettangolo C le cui misure della base minore, dell altezza e della base maggiore sono rispettivamente a, b, c (figura 1). Si vuole dimostrare che condizione necessaria affinché le diagonali del trapezio siano perpendicolari è che i numeri a, b, c siano in progressione geometrica b E ovvero b a q c b, dove q è la ragione della progressione. ssunto perpendicolare ad C, i triangoli C e sono simili c per il primo criterio di similitudine, avendo entrambi un angolo retto e Figura 1. ˆ Ĉ, perché complementari dello stesso angolo Cˆ. Pertanto hanno i lati corrispondenti in proporzione cioè b a c b. Viceversa, si dimostra che la relazione b a c b è sufficiente affinché le diagonali del trapezio siano tra loro perpendicolari. Si considerano i triangoli rettangoli C e : essi sono simili per il secondo criterio di similitudine. In particolare ˆ Ĉ. Si osserva allora che i triangoli EC e sono simili per il primo criterio, avendo ˆ Ĉ e ˆ Cˆ, perché alterni interni. Pertanto ÊC Â è quindi retto e le diagonali del trapezio sono perpendicolari tra loro. a C 8 Zanichelli Editore, 6

9 L equazione irrazionale x x x è equivalente al sistema: x x (x ) x R x x. x x (x ) (x ) (x ) x R Pertanto è falso che risulta x x x per ogni x reale La funzione polinomiale f (x) a a 1 x a x a n x n è continua e derivabile nel campo reale. L equazione della retta tangente al grafico di f nel punto generico (x ; f (x )), ha forma: f (x )(x x ) f (x ). ssunto x, si calcola f (): f (x) a 1 a x na n x n 1 f () a 1. Essendo f () a e andando a sostituire, si trova l equazione della retta tangente nel punto x : a 1 x a. Scrivendo i termini della successione si ha: a 1 1 a a 1 1 a a 1 a a 1 a 1 a I termini della somma 1 1 sono gli elementi di una progressione aritmetica di ragione 1; vale allora la formula della somma dei primi n termini: s n n a 1 an. Sostituendo, risulta: a n è geometrica di ragione q 1 e primo termine a 1, per cui la somma ridot- La serie numerica ta S n risulta: n 1 S n n n n. 1 1 llora: n 1 n lim S n lim n n 1 1 n 1. 9 Zanichelli Editore, 6

10 8 Si trova l espressione di f (x) calcolando l integrale x (1 ln t) dt: (1 ln t) dt x dt x ln tdt x x ln tdt x lim ln tdt x h x h applicando l integrazione per parti: x lim h [t ln t ]x h x t 1 t dt x x ln x lim h h ln h x h essendo lim h ln h per il teorema di e L Hospital, risulta: h x x ln x. Si studia la funzione f (x) x x ln x, con x. Gli zeri si ottengono ponendo f (x) : x x ln x x ( ln x) x ln x x 1, non accettabile, e x e. Lo zero di f (x) x (1 ln t) dt, con x, è unico e vale x e. Si determina la crescenza e decrescenza studiando il segno della derivata prima f (x), che risulta essere, per il teorema fondamentale del calcolo integrale: Figura 1. f (x) 1 ln x, x. Poiché 1 ln x è vera nel C.E. per x e, si ha la seguente tabella dei segni della derivata prima (figura 1). La funzione f (x) è pertanto strettamente crescente per x e, ha un massimo per x e, è strettamente decrescente per x e. f'(x) f(x) + e max 9 L intento è di dimostrare la formula del volume di un segmento sferico a due basi attraverso il calcolo integrale. Si può diversamente seguire la via della geometria euclidea nello spazio, applicando il teorema di equivalenza tra un segmento sferico a una base e la somma di una particolare sfera e di un cilindro. Nella figura 1 si ottiene un segmento sferico a due basi attraverso la rotazione intorno all asse delle x di un arco di circonferenza di raggio r, di equazione f (x) r x, con x 1 x x. Per il calcolo integrale, il volume del solido di rotazione si trova x tramite la formula V [ f (x)] dx. Nel caso in questione vale: x 1 x V x ( r x ) dx x 1 (r x ) dx x 1 V r x 1 x x x 1 r (x x 1 ) 1 (x x 1) O r r 1 = r x r r x 1 x x { h Figura 1. V (x x 1 )[r (x 1 x x 1 x )]. 1 Zanichelli Editore, 6

11 Essendo x x 1 h, elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene x 1 x x 1 x h, da cui si ricava x 1 x 1 (x 1 x h ). Sostituendo all espressione del volume si ottiene: V h r x 1 x 1 (x 1 x h ) h r x 1 x h 6 h(6r x 1 x h ). Per il teorema di Pitagora risulta x 1 r r 1 e x r r, pertanto, sostituendo si trova: V 6 h (6r r r 1 r r h ) 6 h (r 1 r h ). 1 Per x, il limite ha forma indeterminata. l numeratore vi è una funzione integrale ed esiste la sua (1 e t ) dt 1 e x per il teorema fondamentale del derivata prima nell intervallo [; x ] che vale x calcolo integrale. La funzione al denominatore, sen x è derivabile e diversa da zero in un intorno di x escluso. Si può pertanto applicare il teorema di e L Hospital: x (1 e t ) dt x 1 e lim lim lim 1 x e. x sen x x s en x cos x x sen x Si tratta nuovamente di una forma indeterminata per la quale è utilizzabile ancora il teorema di e L Hospital: x e lim 1 x c os x. x (1 e t ) dt Concludendo, lim 1 x. sen x 11 Zanichelli Editore, 6

12 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema 1 Quesito 5 pag. W 171 Test 51 pag. 7 Esercizio 16 pag. W 19 Esercizio 19 pag. W 19 Esercizio 6 pag. J 1 7 Esercizio 76 pag. V 7 Problema Problema 75 pag. L 7 (punto d) Esercizio pag. L 11 Esercizio 7 pag. L 67 (punti a, b) Esercizio pag. L 66 Esercizio 6 pag. L 9 Esercizio 181 pag. L 1 Problema 8 pag. W 1 (punto c) Quesito 1 Quesito 9 pag. W 165 Test pag. 95 Quesito 7 pag. 96 Quesito Test pag. L 6 Quesito 6 pag. L 8 Quesito 8 pag. L 8 Quesito Problema 17 pag. S 177 (punto a) Quesito Esercizio 98 pag. S 77 Test 1 pag. S 88 Quesito 5 Esercizio 51 pag. V 79 Esercizio 5 pag. V 79 Quesito 6 pag. W 177 Quesito 6 Esercizio 1 pag. S 158 Esercizio 5 pag. S 161 Quesito 7 Quesito 7 pag. U Quesito 8 Esercizio 19 pag. W 5 Esercizio 188 pag. W 115 Esercizio 189 pag. W 115 Quesito 9 Esercizio 7 pag. W 1 Esercizio 75 pag. W 1 Quesito 1 Esercizio 198 pag. W 115 Quesito pag. W Zanichelli Editore, 6