ESAME di STATO Sessione suppletiva. Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI. Testi della prof. ssa Tiziana LA TORELLA

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1 ESAME di STATO 2004 Sessione suppletiva Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI Testi della prof. ssa Tiziana LA TORELLA LICEO SCIENTIFICO GALILEO FERRARIS

2 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione 2004 suppletiva Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 2 Una piramide ha per base il quadrato ABCD di lato lungo. Anche l altezza VH della piramide è lunga e il suo piede H è il punto medio del lato AB. Condurre per la retta AB il piano che formi con il piano della base della piramide un angolo tale che il e indicare con EF la corda che il piano intercetta sulla faccia VCD della piramide. a. Spiegare perché il quadrilatero convesso ABEF è inscrivibile in una circonferenza b. Tale quadrilatero è anche circoscrivibile ad una circonferenza? c. Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide data è divisa dal piano. d. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani Oxy,determinare l equazione della circonferenza. Breve introduzione: Il problema è diviso in quattro punti e presenta : nel primo a la costruzione geometrica di un quadrilatero convesso che è un trapezio isoscele ed è inscrivibile in una circonferenza ; nel secondo b il calcolo delle misure dei lati del trapezio e la dimostrazione che il quadrilatero non è circoscrivibile ad una circonferenza; nel terzo c l uso della trigonometria per il calcolo dei due volumi componenti la piramide; nel quarto d l equazione della circonferenza circoscritta al trapezio isoscele.

3 Una piramide ha per base il quadrato ABCD di lato lungo. Anche l altezza VH della piramide è lunga e il suo piede H è il punto medio del lato AB. Condurre per la retta AB il piano che formi con il piano della base della piramide un angolo tale che il e indicare con EF la corda che il piano intercetta sulla faccia VCD della piramide. a) Spiegare perché il quadrilatero convesso ABEF è inscrivibile in una circonferenza CARATTERISTICHE : Il triangolo è isoscele per costruzione. Il triangolo è isoscele per il teorema delle tre perpendicolari : Dal piede (H) di una perpendicolare (VH) ad un piano (ABCD), si traccia la perpendicolare HM ad una qualsiasi retta (CD) del piano, quest ultima (CD) risulta perpendicolare al piano individuato da VH e HM. I triangoli VCM e VMD risultano congruenti perché rettangoli ( congruenti (M punto medio di CD). con i lati MC e CD I triangoli VBC e VAD sono rettangoli (per il teorema delle tre perpendicolari) e congruenti.

4 Il quadrilatero ABFE ha due lati paralleli AB e EF, perché appartenenti al piano forma con il piano della base ABCD della piramide un angolo, tale che il., che I triangoli BFC e AED sono congruenti per il secondo criterio : e, quindi i lati AE e BF del quadrilatero ABFE sono congruenti. ABFE con due lati paralleli e due lati obliqui uguali è un trapezio isoscele.

5 Ogni trapezio isoscele ha gli angoli opposti supplementari quindi è inscrivibile in una circonferenza. punto a). b) Tale quadrilatero è anche circoscrivibile ad una circonferenza? Il quadrilatero è circoscrivibile MA la base minore è Il quadrilatero è circoscrivibile MA la base maggiore è La base minore è La base maggiore è ma dal grafico è già visibile che il trapezio non è circoscrivibile ad una circonferenza.

6 Un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza se la somma dei lati opposti è uguale. I lati hanno le seguenti misure :. Per trovare BF si applica il teorema di Eulero (dei seni) al triangolo HKM Si determina la base minore EF considerando in triangoli simili CDV e FEV perché il triangolo HMV è rettangolo e isoscele. Si considera il teorema di Eulero (teorema dei seni) per il triangolo VHK : Se

7 Per trovare BF, troviamo la semidifferenza delle basi. Applichiamo il Teorema di Pitagora. BF = I lati opposti hanno somme diverse : e quadrilatero ABFE non è circoscrivibile ad una circonferenza. punto b). PROPRIETA GEOMETRICHE :

8 c. Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide data è divisa dal piano. Il volume della piramide ABCDV è quindi. Il piano divide la piramide in due solidi: - è possibile calcolare il volume del primo solido (è una nuova piramide avente come base il trapezio isoscele ABEF e come altezza il segmento perpendicolare alla base, uscente dal vertice V). - Il volume del secondo solido si calcola come differenza. Nella piramide - l area del trapezio isoscele di base è ; - l altezza, interna al triangolo VHK, è il segmento perpendicolare alla base uscente dal vertice V. Si calcola considerando il teorema sui triangoli rettangoli -.. e punto c).

9 d. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani Oxy, determinare l equazione della circonferenza. Il conveniente sistema di assi cartesiani Oxy avrà come origine il punto A, come asse x la retta per i punti A e B e come asse y la retta perpendicolare alla base AB. La circonferenza passerà per i punti, B,. Si risolve il seguente sistema : Si ottengono L equazione della circonferenza è punto d).