CAP.2:IPOLIGONIINSCRITTIECIRCOSCRITTI
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- Valerio Bartoli
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1 GEOMETRIA 1 - AREA 4 CAP.2:IPOLIGONIINSCRITTIECIRCOSCRITTI LE CARATTERISTICHE DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO richiami della teoria n Un poligono inscritto in una circonferenza ha tutti i suoi vertici appartenenti alla circonferenza; n un poligono circoscritto ad una circonferenza ha tutti i suoi lati tangenti alla circonferenza; n gli assi dei lati di un poligono inscritto si intersecano in uno stesso punto detto circocentro; n le bisettrici degli angoli di un poligono circoscritto si intersecano in uno stesso punto detto incentro; n un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari; n un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza ha la somma di due lati opposti congruente alla somma degli altri due. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Quali delle seguenti affermazioni sono vere? a. Un poligono inscritto in una circonferenza ha tutti i vertici che appartengono alla circonferenza; b. un poligono eá circoscrivibile ad una circonferenza se gli assi dei suoi lati si intersecano in uno stesso punto; c. un poligono circoscritto ad una circonferenza ha tutti i lati che appartengono alla circonferenza; d. un poligono eá circoscrivibile ad una circonferenza se le bisettrici di tutti gli angoli si intersecano in uno stesso punto. 2 Nelle seguenti figure indica con la lettera C il circocentro e con r il raggio dei poligoni inscritti; con I l'incentro e con a l'apotema del poligono circoscritto: a. b. c. 3 Dopo aver misurato gli angoli dei seguenti quadrilateri, stabilisci quali di essi si possono inscrivere in una circonferenza: a. b. c.
2 2 I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Dopo aver misurato i lati dei seguenti quadrilateri, stabilisci quali di essi si possono circoscrivere ad una circonferenza. a. b. c. APPLICAZIONE Esercizio Svolto Inscrivi un triangolo acutangolo in una circonferenza. Dopo aver disegnato un triangolo acutangolo ABC traccia gli assi a, b, c dei suoi lati e chiama O il loro punto di intersezione. Quest'ultimo eá il circocentro del triangolo. Punta il compasso in O e aprilo fino a far coincidere la sua punta scrivente con uno dei vertici del triangolo. Traccia infine la circonferenza. 6 Inscrivi un triangolo ottusangolo in una circonferenza. 7 Inscrivi un rettangolo in una circonferenza. 8 Inscrivi un triangolo rettangolo in una circonferenza. Che cosa puoi osservare? 9 Inscrivi un trapezio isoscele in una circonferenza. 10 Esercizio Svolto Circoscrivi un triangolo isoscele ad una circonferenza. Dopo aver disegnato il triangolo isoscele ABC, traccia le bisettrici a, b, c dei suoi angoli e chiama O il loro punto di intersezione. Quest'ultimo eá l'incentro del triangolo. Punta il compasso in O e aprilo fino a far coincidere la sua punta scrivente con il punto H (OH eá il raggio della circonferenza inscritta). Traccia infine la circonferenza. 11 Circoscrivi un rombo ad una circonferenza. 12 Circoscrivi un trapezio rettangolo ad una circonferenza. 13 Esercizio Svolto Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha due angoli consecutivi che misurano rispettivamente 70 e 12. Calcola l'ampiezza di ciascuno degli altri due angoli.
3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 3 ˆ 70 ˆ 12 Incognite PoicheÁ il quadrilatero ABCD eá inscritto nella circonferenza di centro O : ˆ 180 e pertanto ˆ 180 ˆ ˆ 110 ; ˆ 180 e pertanto ˆ 180 ˆ ˆ. 14 Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha due angoli consecutivi che misurano rispettivamente 98 e 123. Calcola l'ampiezza di ciascuno degli altri due angoli. 82 ;7 Š 1 La somma e la differenza delle misure di una coppia di angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono rispettivamente 16 e23. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo del quadrilatero. 71 ;94 ; 109 ;86 Š 16 Esercizio Guidato Due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono tali che il minore dei due eá ampio 10 in piuá della metaá del maggiore e la loro somma eá 217. Calcola l'ampiezza degli angoli del quadrilatero. ˆ : 2 ::::::::: ˆ ::::::::: Incognite,,, Indichiamo con e i due angoli noti ( eá il minore fra i due). Rappresentiamo con i segmenti il rapporto esistente tra gli angoli e : ˆ f 10 Š : 3g2 ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::: ˆ 138 ˆ : ::::: :::::::: ˆ ::::: : ::::: ::::: ˆ 79 Poiche il quadrilatero ABCD eá inscritto nella circonferenza di centro O: ˆ ˆ 180, pertanto ˆ 180 ::::::: ˆ :::::::: e ˆ 180 ::::::: ˆ :::::::: 17 Due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono tali che il minore dei due eá ampio 1 in meno della metaá del maggiore e la loro somma eá 19. Calcola l'ampiezza degli angoli del quadrilatero. 140 ;40 ; ; 12 Š 18 Due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono tali che il maggiore dei due supera di 17 il doppio del minore e la loro somma eá 206. Calcola l'ampiezza degli angoli del quadrilatero. 63 ; 117 ; 143 ;37 Š 19 Esercizio Svolto Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O tale che le misure di due lati opposti sono rispettivamente 23 cm e 4 cm, mentre gli altri due lati opposti sono l'uno il triplo dell'altro. Calcola la misura dei lati mancanti.
4 4 I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS AB ˆ 23 cm CD ˆ 4 cm BC ˆ 3 AD Incognite AD BC Poiche il quadrilatero ABCD eá circoscritto alla circonferenza di centro O sappiamo che: AD BC ˆ AB CD ˆ 23 4 cm ˆ 68 cm Rappresentiamo con i segmenti il rapporto esistente tra i lati AD e BC: pertanto: AD ˆ 68 : 4 cm ˆ 17 cm e BC ˆ 17 3 cm ˆ 1 cm 20 Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O tale che le misure di due lati opposti sono rispettivamente 46 cm e 24 cm, mentre gli altri due lati opposti differiscono di 10 cm. Calcola la misura dei lati mancanti. 30 cm; 40 cmš 21 Il perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza eá 160 cm. Calcola la misura dei suoi lati sapendo che le basi differiscono di 22 cm. 40 cm; 1 cm; 40 cm; 29 cmš 22 Il perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza eá 300 cm. Calcola la misura dei suoi lati sapendo che le basi sono l'una il doppio dell'altra. 7 cm; 7 cm; 100 cm; 0 cmš 23 Calcola la misura delle basi e il perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sapendo che un lato obliquo misura 3 cm e che le basi differiscono di 13 cm. 28, cm; 41, cm; 140 cmš 24 In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O un lato misura 27 cm, il suo opposto lo supera di 12 cm e gli altri due lati sono l'uno il doppio dell'altro. Calcola la misura dei lati del quadrilatero e il suo perimetro. 27 cm; 39 cm; 22 cm; 44 cm; 132 cm] 2 Esercizio Guidato Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O con due lati opposti congruenti. Calcola la misura dei lati del quadrilatero sapendo che gli altri due lati opposti differiscono di 30 cm e che l'uno supera di cm il doppio dell'altro. AB ˆ ::::::: BC AD ˆ :::::::::::: BC ˆ :::::: AD :::::: Incognite AB, BC, CD, DA Rappresentiamo con i segmenti il rapporto esistente tra i lati AD e BC : Il segmento HC essendo la differenza dei due lati misura... Quindi AD ˆ HC :::::: ˆ ::::::::::::::::::::: ˆ 2 cm BC ˆ AD :::::: ::::::: ˆ :::::::::::::::::::::: ˆ cm Poiche il quadrilatero ABCD eá circoscritto alla circonferenza di centro O sappiamo che: AD BC ˆ AB CD ˆ :::::::::::::::::::: cm ˆ ::::: cm AB ˆ CD ˆ AD ::::: : 2 ˆ ::::: : ::::: cm ˆ 40 cm
5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 26 Le basi di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sono l'una il doppio dell'altra e la loro differenza eá di 23 dm. Calcola le misure dei lati e il perimetro. 23 dm; 46 dm; 34, dm; 34, dm; 138 dmš 27 Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza misura 4 cm. Determina il perimetro del trapezio. 180 cmš 28 Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza misura 8 cm. Determina il perimetro e la misura delle basi sapendo che differiscono di 21 cm. 232 cm; 68, cm; 47, cmš 29 Determina la lunghezza dei lati e il perimetro di un trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza avente il raggio lungo 16 cm, sapendo che la base maggiore eá il doppio della minore e che differiscono di 24 cm. 32 cm; 24 cm; 48 cm; 40 cm; 144 cmš 30 Due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono uno 3 dell'altro e la somma delle loro misure eá 203. Calcola l'ampiezza dei quattro angoli del quadrilatero ;93 ; 116 ;64 Š 31 Due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono uno 3 dell'altro e la differenza delle loro misure eá 44. Calcola l'ampiezza dei quattro angoli del quadrilatero ; 147 ;77 ; 103 Š 32 Due lati consecutivi di un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza sono uno 1 dell'altro e la loro somma misura 336 cm. Determina la misura di ciascun lato sapendo che il perimetro eá 624 cm. 280 cm; 32 cm; 6 cm; 26 cmš 33 Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O con due lati opposti l'uno il doppio dell'altro. Calcola la misura dei lati del quadrilatero sapendo che gli altri due lati differiscono di 12 cm e che il maggiore dei due eá 18 cm in meno del doppio dell'altro. 42 cm; 30 cm; 24 cm; 48 cmš 34 Calcola il perimetro di un quadrato il cui lato eá 2 del lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza. Si sa inoltre che le basi del trapezio sono una 2 dell'altra e che la loro differenza 3 misura 14 cm. 6 cm] 3 Determina la misura dei lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sapendo che le basi sono una dell'altra e che eá isoperimetrico ad un rettangolo le cui dimensioni differiscono di 4 4 dm e sono una 2 7 dell'altra. 36 dm; 4 dm; 40, dm; 40, dmš 36 In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza la proiezione del suo lato obliquo sulla base maggiore eá 2 del lato obliquo stesso e la loro somma misura 108 cm; calcola il perimetro e la misura di 7 ciascun lato del trapezio. 336 cm; 60 cm; 84 cm; 84 cm; 108 cmš 37 Calcola il perimetro di un rombo il cui lato eá 7 del lato obliquo di un trapezio rettangolo circoscritto 10 ad una circonferenza avente il raggio lungo 18 cm. Si sa inoltre che le basi del trapezio differiscono di 48 cm e sono una 1 3 dell'altra. 168 cmš 38 Determina il perimetro di un trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza sapendo che il suo lato obliquo misura 38 cm e che il perimetro di un esagono regolare inscritto nella stessa circonferenza eá 78 cm. 128 cmš
6 6 I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I POLIGONI REGOLARI richiami della teoria n Un poligono regolare ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti; n un poligono regolare eá sempre inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza; n per calcolare il numero dei lati di un poligono regolare bisogna dividere 360 per l'ampiezza dell'angolo al centro del poligono stesso; n In un poligono regolare, per calcolare: a. l'ampiezza dell'angolo al centro bisogna dividere 360 per il numero dei lati; b. la misura di un angolo esterno bisogna dividere 360 per il numero dei lati; c. il numero dei lati conoscendo la misura dell'angolo esterno bisogna dividere 360 per l'ampiezza dell'angolo esterno; n il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero eá il doppio del raggio di quella inscritta; n l'apotema di un triangolo equilatero eá un terzo dell'altezza del triangolo stesso; n l'apotema di un quadrato eá la metaá del lato; n il lato di un esagono regolare eá congruente al raggio della circonferenza circoscritta. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 39 Indica quali fra i seguenti poligoni sono regolari: a. quadrato; b. rombo; c. triangolo isoscele; d. triangolo equilatero; e. rettangolo; f. trapezio rettangolo. 40 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false: a. un poligono regolare eá sempre inscrivibile in una circonferenza; V F b. un poligono regolare non eá sempre circoscrivibile ad una circonferenza; V F c. il centro O di un poligono regolare eá il centro sia della circonferenza circoscritta, che della circonferenza inscritta; V F d. il raggio della circonferenza circoscritta ad un poligono regolare eá l'apotema del poligono; V F e. il raggio della circonferenza inscritta in un poligono regolare eá l'apotema del poligono. V F 41 Completa le seguenti proprietaá. In un triangolo equilatero: a. il raggio della circonferenza circoscritta eá... del raggio di quella...; b. l'apotema eá... dell'altezza del triangolo. APPLICAZIONE 42 Calcola la misura del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero avente la misura dell'altezza di 27 dm. (Suggerimento: l'altezza del triangolo eá il triplo del raggio, pertanto...) 9 dmš
7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 7 43 Esercizio Guidato Calcola il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che il raggio della circonferenza inscritta misura 44 cm e che il lato supera di 20,42 cm la misura dell'altezza. OH ˆ :::::::::: AC ˆ AH ::::::: Incognita 2p ABC Poiche AH (altezza) eá tre volte OH (apotema): AH ˆ OH ::::: ˆ ::::::::: ::::::::: cm ˆ 132 cm AC ˆ AH :::::::::::::::: ˆ ::::::::: ::::::::: cm ˆ 12,42 cm 2p ABC ˆ AC ::::: ˆ ::::::::: ::::::::: cm ˆ ::::::::::: cm 44 Calcola il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che il raggio della circonferenza inscritta misura 16 cm e che il lato supera di 7,42 cm la misura dell'altezza. 166,26 cmš 4 Calcola il perimetro di un quadrato circoscritto ad una circonferenza avente il raggio lungo 14 cm. (Suggerimento: il raggio della circonferenza inscritta eá la metaá del lato, pertanto...) 112 cmš 46 Calcola il perimetro di un quadrato circoscritto ad una circonferenza avente il diametro lungo 33 cm. 132 cmš 47 Calcola la misura del raggio della circonferenza inscritta in un quadrato di perimetro 144 cm. 18 cmš 48 Calcola il perimetro di un quadrato circoscritto ad una circonferenza di raggio congruente a 1 del lato 3 di un rombo di perimetro 72 cm. 48 cmš 49 Calcola la misura del raggio della circonferenza inscritta in un quadrato il cui perimetro eá il doppio di quello di un rettangolo avente la base e l'altezza che misurano rispettivamente 21 cm e 11 cm. 16 cmš 0 Calcola il perimetro di un esagono regolare inscritto in una circonferenza avente il raggio che misura 18 cm. (Suggerimento: poicheâ il raggio eá congruente al lato dell'esagono...) 108 cmš 1 Calcola la misura del raggio della circonferenza circoscritta ad un esagono regolare di perimetro 74,4 cm. 12,4 cmš 2 Calcola la misura del raggio della circonferenza circoscritta ad un esagono regolare di perimetro 21,6 cm. 3,6 cmš 3 Calcola il perimetro di un esagono regolare inscritto in una circonferenza il cui raggio eá 1 del perimetro di un rombo avente il lato lungo 3 cm. (Suggerimento: il raggio della circonferenza circoscritta eá congruente al lato dell'esagono) 168 cmš 4 Esercizio Guidato L'angolo al centro di un poligono regolare eá la metaá del suo complementare. Calcola il numero dei lati del poligono regolare.
8 8 I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Rappresentiamo con una figura il rapporto fra l'angolo al centro del poligono regolare e il suo complementare : Poiche ˆ 90 si ha che ˆ 90 : ::::: ˆ :::::::: quindi n lati del poligono ˆ :::::::: : 30 ˆ :::::::: L'angolo al centro di un poligono regolare eá di 10 inferiore al suo complementare. Calcola il numero dei lati del poligono regolare. 9Š 6 Il perimetro di un poligono regolare eá il doppio di quello di un rombo il cui lato misura 22 cm. Sapendo che il lato del poligono eá congruente al lato di un quadrato di perimetro 44 cm, calcola l'ampiezza dell'angolo al centro del poligono regolare Š 7 Il perimetro di un poligono regolare eá il doppio di quello di un quadrato il cui lato misura 36 cm. Sapendo che il lato del poligono eá congruente alla dimensione minore di un rettangolo di perimetro 108 cm, calcola l'ampiezza dell'angolo al centro del poligono regolare, sapendo che le due dimensioni del rettangolo differiscono di 6 cm. 30 Š
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Proprietà di un triangolo
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Poligoni e triangoli
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