IL TEOREMA DI PITAGORA

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1 GEOMETRIA 2 L'ENUNCIATO DEL TEOREMA DI PITAGORA richiami della teoria n Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'iotenusa eá equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti; formule: i ˆ c 2 C 2 ; C ˆ i 2 c 2 ; c ˆ i 2 C 2. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Indica quale delle seguenti affermazioni eá quella corretta. Il teorema di Pitagora mette in relazione i lati: a. di tutti i triangoli; b. dei triangoli equilateri; c. dei triangoli rettangoli; d. dei triangoli isosceli. 2 Comleta le seguenti uguaglianze relative al teorema di Pitagora (i, c, C raresentano risettivamente l'iotenusa, il cateto minore e il cateto maggiore). a. i ˆ :::::::::::::::; b. C ˆ :::::::::::::::; c. c ˆ :::::::::::::::. Data la figura a lato, una sola delle seguenti uguaglianze eá errata, individuala e correggila: a. Q ˆ Q 1 Q 2 ; b. Q 2 ˆ Q 1 Q; c. Q 1 ˆ Q Q 2. APPLICAZIONE 4 Comleta la seguente tabella relativa ad un triangolo rettangolo. cateto minore (in cm) cateto maggiore (in cm) iotenusa (in cm)

2 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 Date le misure dei due cateti di un triangolo rettangolo, calcola la misura dell'iotenusa: a. c ˆ 21 cm; C ˆ 28 cm; i ˆ ::::::::: b. c ˆ 1 cm; C ˆ 84 cm; i ˆ ::::::::: c. c ˆ 99 cm; C ˆ 12 cm; i ˆ ::::::::: d. c ˆ 21 cm; C ˆ 220 cm; i ˆ ::::::::: 6 Date le misure dell'iotenusa e di uno dei due cateti di un triangolo rettangolo, calcola la misura dell'altro cateto: a. c ˆ 18 cm; i ˆ 0 cm; C ˆ :::::::::: b. C ˆ 60 cm; i ˆ 61 cm; c ˆ ::::::::::: c. c ˆ 57 cm; i ˆ 95 cm; C ˆ :::::::::: d. C ˆ 264 cm; i ˆ 265 cm; c ˆ ::::::::::: 7 Esercizio Svolto Calcola l'area e il erimetro di un triangolo rettangolo saendo che i due cateti misurano risettivamente 42 cm e 56 cm. AB ˆ 42 cm AC ˆ 56 cm A ABC 2 ABC Calcoliamo la misura dell'iotenusa alicando il teorema di Pitagora: BC ˆ AB 2 AC 2 ˆ cm ˆ cm ˆ 4900 cm ˆ 70 cm. Calcoliamo l'area: A ABC ˆ AB AC : 2 ˆ : 2 cm 2 ˆ 1176 cm 2 Determiniamo il erimetro: 2 ABC ˆ AB BC CA ˆ cm ˆ 168 cm. 8 In un triangolo rettangolo il cateto maggiore misura 72 cm ed eá 4 del minore. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 216 cm; 1944 cm 2 Š 9 L'iotenusa di un triangolo rettangolo misura 12,5 cm ed eá di 5 cm iuá lunga del cateto minore. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 0 cm; 7,5 cm 2 Š 10 In un triangolo rettangolo avente l'area di 294 cm 2 il cateto minore misura 21 cm. Calcola il erimetro del triangolo. [84 cm] 11 La somma del cateto minore e dell'iotenusa di un triangolo rettangolo misura 128 cm e la loro differenza 98 cm. Calcola l'area e il erimetro del triangolo. 840 cm 2 ; 240 cmš 12 La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo misura 294 cm e la loro differenza 42 cm. Calcola il erimetro, l'area e la lunghezza dell'altezza relativa all'iotenusa. 504 cm; cm 2 ; 100,8 cm 1 In un triangolo rettangolo i due cateti sono uno 4 dell'altro. Calcola il erimetro e la misura dell'altezza relativa all'iotenusa saendo che l'area del triangolo eá 8664 cm cm; 91,2 cmš

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS NEI POLIGONI richiami della teoria n Un quadrato eá diviso da una diagonale in due triangoli rettangoli isosceli congruenti; n un triangolo isoscele eá diviso dall'altezza relativa alla base in due triangoli rettangoli congruenti; n un triangolo equilatero eá diviso dall'altezza relativa ad uno qualunque dei suoi lati in due triangoli rettangoli congruenti; n un rettangolo eá diviso dalla diagonale in due triangoli rettangoli congruenti; n un rombo eá diviso dalle due diagonali in quattro triangoli rettangoli congruenti; n un arallelogrammo eá diviso dall'altezza relativa ad un lato in un triangolo rettangolo e in un traezio rettangolo; n un traezio isoscele eá diviso dalle due altezze in un rettangolo e in due triangoli rettangoli congruenti; n un traezio rettangolo eá diviso dall'altezza in un rettangolo e in un triangolo rettangolo; n i oligoni regolari vengono divisi in tanti triangoli isosceli congruenti quanti sono i lati del oligono. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 14 Nelle seguenti figure metti in evidenza i triangoli rettangoli che si ottengono tracciando in modo oortuno altezze, diagonali, ecc. a. b. c. d. e. f. g. h. 15 Comleta le seguenti regole: a. la misura dell'altezza di un triangolo equilatero si ottiene moltilicando la... della misura del suo lato er la... di ; in simboli: h ˆ...; b. la misura del lato di un triangolo equilatero si ottiene dividendo il... della misura... er la... di ; in simboli: ` ˆ...; c. la misura della diagonale di un quadrato eá uguale al... della misura del suo lato er la... di 2; in simboli: d ˆ...; d. la misura del lato di un quadrato si ottiene... la misura della sua diagonale er la... di 2; in simboli: ` ˆ...; e. i oligoni regolari vengono scomosti in tanti triangoli... congruenti quanti sono i... Ogni triangolo... uoá a sua volta essere suddiviso in due...

4 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 16 Alica il teorema di Pitagora al entagono regolare della figura a lato e comleta le seguenti formule: a. r ˆ...; b. a ˆ...; ` c. 2 ˆ... APPLICAZIONE 17 Esercizio Svolto Calcola la misura della diagonale di un quadrato saendo che l'area eá 576 cm 2. Dato A ABCD ˆ 576 cm 2 Incognita AC Calcoliamo la misura del lato del quadrato: AB ˆ A ˆ 576 cm ˆ 24 cm. Alichiamo la formula er calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato: d ˆ AB 2 ˆ 24 2 cm ˆ 24 1,414 cm ˆ,96 cm. 18 Calcola il erimetro di un quadrato saendo che la diagonale misura 5,5 cm. [100 cm] 19 In un quadrato l'area eá 1024 cm 2. Calcola la misura della diagonale. [45,248 cm] 20 Calcola l'area di un quadrato saendo che la diagonale eá lunga 42,42 cm. 900 cm 2 Š 21 Esercizio Guidato In un triangolo isoscele la somma delle lunghezze della base e dell'altezza ad essa relativa misurano 540 cm e l'altezza eá 2 della base. Calcola il erimetro del triangolo. AB CH ˆ 540 cm CH ˆ 2 AB Incognita 2 ABC Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra altezza e base: Le arti uguali che comongono la base iuá l'altezza sono 5, ertanto: ::::: : 5 cm ˆ ::::: cm (segmento unitario) CH ˆ ::::: 2 cm ˆ ::::: cm; AB ˆ ::::: cm ˆ 24 cm. Determiniamo la misura della metaá della base: AH ˆ ::::: : 2 ˆ ::::: : 2 cm ˆ 162 cm.

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 Per calcolare la misura del lato obliquo AC alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo...: AC ˆ AH 2 HC 2 ˆ ::::: 2 ::::: 2 ˆ ::::: ::::: cm ˆ cm ˆ 270 cm. Calcoliamo il erimetro: 2 ABC ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: 270 ::::: cm ˆ 864 cm. 22 Un triangolo isoscele ha la base e uno dei due lati obliqui che misurano risettivamente 21 cm e 17,5 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 56 cm; 147 cm 2 2 In un triangolo isoscele la base e l'altezza misurano risettivamente 18 cm e 92 cm. Calcola il erimetro del triangolo. [68 cm] 24 In un triangolo isoscele l'area eá di cm 2. Calcola il erimetro del triangolo saendo che la base eá 8 dell'altezza. [60 cm] 25 Calcola il erimetro di un triangolo rettangolo isoscele avente un cateto lungo 40 cm. [16,56 cm] 26 Un triangolo equilatero ha l'altezza lunga 17,2 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 60 cm; 17,2 cm 2 27 Un triangolo isoscele ha l'area di 252 cm 2 e la base lunga 84 cm. Calcola: a. il erimetro del triangolo; [224 cm] b. l'area di un quadrato avente il lato congruente a 8 del erimetro del triangolo; [7 056 cm] c. l'area di un rettangolo avente il erimetro doio di quello del quadrato e altezza lunga 128 cm cm 2 Š 28 In un triangolo ABC gli angoli adiacenti alla base AB sono ami risettivamente 45 e60. Calcola il erimetro e l'area del triangolo saendo che l'altezza relativa alla base AB misura 50 cm. 207,1 cm; 1971,75 cm 2 29 Calcola il erimetro del triangolo ottusangolo ABC saendo che l'altezza CH relativa alla base AB ela base stessa misurano risettivamente 86,6 cm e 150 cm e l'angolo BAC d eá amio 120. [467,94 cm] 0 Un entagono eá formato da un quadrato e da un triangolo isoscele avente la base coincidente con un lato del quadrato. Saendo che l'area del quadrato eá 225 cm 2 e che uno dei due lati congruenti del triangolo isoscele misura 12,5 cm, calcola l'area e il erimetro del entagono. 00 cm 2 ;70cmŠ 1 Esercizio Svolto Calcola l'area di un rettangolo saendo che la base e la diagonale misurano risettivamente 124 cm e 155 cm. AB ˆ 124 cm AC ˆ 155 cm Incognita A ABCD Calcoliamo la misura dell'altezza del rettangolo alicando il teorema di Pitagora: BC ˆ AC 2 AB 2 ˆ cm ˆ cm ˆ 8649 cm ˆ 9 cm: Determiniamo l'area del rettangolo: A ABCD ˆ AB BC ˆ cm 2 ˆ 1152 cm 2.

6 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 2 Calcola il erimetro l'area di un rettangolo saendo che la diagonale e l'altezza misurano risettivamente 205 cm e 12 cm. 574 cm; cm 2 Š Calcola la misura della diagonale e l'area di un rettangolo avente il erimetro di 140 cm ed una dimensione 4 dell'altra. 50 cm; 1200 cm2š 4 Esercizio Guidato In un rettangolo l'area eá 00 cm 2 e la base eá 4 dell'altezza. Calcola il erimetro e la misura della diagonale del rettangolo. A ABCD ˆ 00 cm 2 2 ABCD AB ˆ 4 AD AC Determiniamo il numero di quadratini che comongono la figura: 4 ˆ 12 Determiniamo l'area di ciascun quadratino in colore: A ABCD : n quadratini ˆ 00 : ::::: ˆ :::: cm 2 q Determiniamo la misura del lato di ogni quadratino: AE ˆ A quadratino ˆ ::::: cm ˆ 5cm Determiniamo la lunghezza della base del rettangolo: AB ˆ 5 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo la lunghezza dell'altezza del rettangolo: AD ˆ 5 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo il erimetro del rettangolo: 2 ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ cm ˆ 70 cm. Calcoliamo la misura della diagonale alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ABC: AC ˆ AB 2 BC 2 ˆ ::::: 2 ::::: 2 cm ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm ˆ ::::: cm. 5 L'area di un rettangolo 4200 cm 2. Calcola il erimetro e la misura della diagonale saendo che la base eá 7 24 dell'altezza. [10 cm; 125 cm] 6 Un quadrato ha l'area di 2 756,25 cm 2. Calcola la misura della diagonale di un rettangolo isoerimetrico al quadrato saendo che le sue dimensioni sono una 4 dell'altra. [75 cm] 7 Il erimetro di un rettangolo eá 518 cm e le sue dimensioni sono una 4 dell'altra. Calcola: a. la misura della diagonale del rettangolo; [185 cm] b. il erimetro di un quadrato equivalente a 4 del rettangolo. [592 cm] 8 In un rettangolo ABCD la somma e la differenza delle due dimensioni misura risettivamente 20 cm e 70 cm. Si renda sul lato maggiore CD un segmento DE ari a 2 di CD. Doo aver unito il unto E 5 con gli estremi della diagonale AC, calcola l'area e il erimetro dei triangoli AED, ACE e ABC cm 2, 240 cm; 600 cm 2, 60 cm; 6000 cm 2, 400 cm 9 In un rettangolo la somma e la differenza delle misure della diagonale AC e della base maggiore AB sono risettivamente 108 cm e 12 cm. Doo aver condotto dal unto D la erendicolare DE alla diagonale AC e dal unto E la erendicolare EH al lato DC, calcola il erimetro e l'area del triangolo DEH. 69,12 cm; 199,06 cm 2

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 40 Esercizio Svolto Calcola il erimetro di un rombo saendo che le due diagonali misurano risettivamente 102 cm e 16 cm. AC ˆ 102 cm BD ˆ 16 cm Incognita 2 ABCD Calcoliamo la misura delle semidiagonali del rombo: CO ˆ AC : 2 ˆ 102 : 2 cm ˆ 51 cm; BO ˆ BD : 2 ˆ 16 : 2 cm ˆ 68 cm Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo BCO: BC ˆ CO 2 BO 2 ˆ cm ˆ cm ˆ 7225 cm ˆ 85 cm quindi: 2 ABCD ˆ 4 BC ˆ 485 cm ˆ 40 cm. 41 Calcola il erimetro di un rombo saendo che le due diagonali sono lunghe risettivamente 198 cm e 264 cm. 660 cm 2 Š 42 La diagonale maggiore di un rombo eá lunga 400 cm ed eá 40 della minore. Calcola l'area e il erimetro 9 del rombo cm 2 ; 820 cmš 4 Un rombo eá isoerimetrico ad un quadrato avente l'area di 906,25 cm 2. Calcola l'area del rombo e la misura della sua altezza saendo che la diagonale minore eá lunga 75 cm. 750 cm 2 ;60cmŠ 44 Esercizio Guidato In un rombo l'area eá 972 cm 2 e le due diagonali sono una dell'altra. Calcola il erimetro e la misura dell'altezza del 2 rombo. A ABCD ˆ 972 cm 2 2 ABCD AC ˆ DB BK 2 Raddoiamo l'area del rombo ottenendo cosõá il rettangolo EFGH in cui le dimensioni sono una 2 dell'altra e la cui area eá data da: A EFGH ˆ A ABCD 2 ˆ ::::: 2 cm 2 ˆ 1944 cm 2. Questo rettangolo eá formato da 2 ˆ 6 quadratini congruenti. Calcoliamo l'area di uno dei quadratini: A CMNF ˆ A EFGH : 6 ˆ ::::: : 6 cm 2 ˆ 24 cm 2 Determiniamo la misura del lato del quadrato: CF ˆ A CMNF ˆ ::::: cm ˆ 18 cm Calcoliamo la misura di EF che corrisonde alla diagonale...: EF ˆ ::::: cm ˆ 54 cm Calcoliamo la misura di EH che corrisonde alla diagonale...: EH ˆ 2 ::::: cm ˆ 6 cm Alichiamo il teorema di Pitagora er calcolare la misura del lato del rombo: AB ˆ ::::: 2 ::::: 2 ˆ 18 2 ::::: 2 cm ˆ ::::: 729 cm ˆ 105 cm ˆ 2,45 cm Determiniamo il erimetro: 2 ABCD ˆ AB ::::: ˆ 129,8 cm Determiniamo la misura dell'altezza: BK ˆ A ABCD : AD ˆ 972 : 2,45 cm ˆ 29,95 cm.

8 8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 45 In un rombo una diagonale eá 4 dell'altra e la loro differenza eá 112 cm. Calcola l'area di un quadrato isoerimetrico al rombo cm 2 Š 46 L'area di un rombo eá 84 cm 2. Calcola la misura della diagonale minore e il erimetro saendo che la diagonale maggiore eá lunga 2 cm. [24 cm; 80 cm] 47 Il erimetro di un rombo eá 100 cm e il suo lato eá congruente alla diagonale minore. Calcola la misura della diagonale maggiore e l'area del rombo. 4, cm 541,25 cm 2 48 In un rombo la somma e la differenza delle due diagonali misurano risettivamente 18,6 cm e 10,2 cm. Calcola l'area di un quadrato avente il erimetro doio risetto a quello del rombo. 225 cm 2 Š 49 L'iotenusa e il cateto maggiore di un triangolo rettangolo sono congruenti risettivamente alla diagonale maggiore di un rombo e al lato di un quadrato avente l'area di 92,16 cm 2. Calcola l'area del triangolo e la misura dell'altezza relativa all'iotenusa saendo che il erimetro del rombo eá 26 cm e la diagonale minore misura 7,8 cm. 19,2 cm 2 ;,69 cm 50 In un rombo la somma delle due diagonali eá lunga 552 cm ed una eá 8 dell'altra. Calcola la misura del 15 raggio del cerchio inscritto nel rombo e il erimetro di un quadrato equivalente ai 5 del rombo. 51 Esercizio Svolto [84,7 cm; 576 cm] In un traezio isoscele l'altezza e la semidifferenza delle due basi misurano risettivamente 148 cm e 111 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore eá lunga 160 cm. DH ˆ CK ˆ 148 cm AH ˆ KB ˆ 111 cm DC ˆ 160 cm 2 ABCD A ABCD Calcoliamo la misura del lato obliquo alicando il teorema di Pitagora: AD ˆ AH 2 DH 2 ˆ cm ˆ cm ˆ 4225 cm ˆ 185 cm Calcoliamo la misura della base maggiore: AB ˆ AH HK KB ˆ cm ˆ 82 cm. Determiniamo il erimetro del traezio: 2 ABCD ˆ AB BC DC DA ˆ cm ˆ 912 cm. Determiniamo l'area del traezio: A ABCD ˆ AB DC HD : 2 ˆ : 2Š cm 2 ˆ cm In un traezio isoscele il lato obliquo e l'altezza misurano risettivamente 115 cm e 69 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base maggiore misura 294 cm. 64 cm; 198 cm 2 5 In un traezio isoscele l'area eá 562 cm 2, le basi sono una 17 dell'altra e la loro differenza eá lunga 5 96 cm. Calcola il erimetro del traezio. [6 cm] 54 In un traezio isoscele il lato obliquo misura 200 cm, l'altezza eá lunga 160 cm e la base maggiore eá del lato obliquo. Calcola il erimetro e l'area del traezio. 840 cm; 5200 cm 2

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 55 Esercizio Guidato In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari ai lati obliqui e ciascuna di esse eá lunga 66 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base maggiore eá lunga 82,5 cm. AC? BC BD? AD AC ˆ BD ˆ 66 cm AB ˆ 82,5 cm 2 ABCD A ABCD Calcoliamo la misura del lato obliquo del traezio alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ABC: BC ˆ ::::: 2 ::::: 2 ˆ 82,5 2 ::::: 2 cm ˆ 6806,25 :::::::::::: cm ˆ 2450,25 cm ˆ 49,5 cm Calcoliamo l'area del triangolo rettangolo ABC : A ABC ˆ AC ::::: : ::::: ˆ ::::: 49,5 : 2 cm 2 ˆ 16,5 cm 2 Determiniamo la misura dell'altezza CH alicando la formula inversa dell'area: CH ˆ 2 A ABC : ::::: ˆ 2 ::::: : 82,5 cm ˆ 9,6 cm Determiniamo la misura della semidifferenza delle due basi alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo HBC: HB ˆ CB 2 CH 2 ˆ 49,5 2 9,6 2 cm ˆ 2450, ,16 cm ˆ 882,09 cm ˆ 29,7 cm Determiniamo la misura della base minore: DC ˆ AB 2 ::::: ˆ 82,5 2 ::::: cm ˆ 2,1 cm e quindi: 2 ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ 82,5 49,5 2,1 49,5 cm ˆ 204,6 cm A ABCD ˆ AB DC ::::: : 2 ˆ 82,5 2,1 ::::: : 2Š cm 2 ˆ 2090,88 cm In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari ai lati obliqui ognuno dei quali misura 111 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che una delle due diagonali misura 148 cm. 458,8 cm; 10 51,92 cm 2 57 In un traezio isoscele l'altezza, condotta da un estremo della base minore, eá lunga 168 cm e divide la base maggiore in due arti ognuna delle quali misura risettivamente 126 cm e 180 cm. Calcola l'area, il erimetro del traezio e le misure delle diagonali cm 2 ; 780 cm; 246,22 cmš 58 Nel traezio isoscele ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore sono ami 45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 100 cm e120cm. 779,6 cm; cm 2 59 Nel traezio ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore sono ami risettivamente 60 e45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore eá lunga 40 cm ed eá 2 del lato obliquo adiacente all'angolo di ,05 cm; 978,78 cm 2 60 La somma e la differenza delle basi del traezio isoscele ABCD misurano risettivamente 216 cm e 96 cm e l'area eá cm 2. Doo aver unito il unto medio M della base minore CD con gli estremi della base maggiore, calcola: a. il erimetro del traezio; [76 cm] b. il erimetro del triangolo AMB; [57,78 cm] c. l'area di ciascuno dei triangoli AMD e MCB. 960 cm 2 Š

10 10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 61 In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari fra loro e si dividono in arti roorzionali a 8 e 15 e ciascuna di esse misura 18 cm. Calcola l'area e il erimetro del traezio cm 2 ; 99,12 cmš 62 Esercizio Guidato In un traezio rettangolo l'angolo acuto eá amio 45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 5 cm e 25 cm. HBC d ˆ 45 DC ˆ 5 cm CH ˆ 25 cm 2 ABCD A ABCD Il triangolo HBC eá rettangolo e isoscele ertanto HB ˆ ::::: ˆ ::::: cm. Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo HBC er calcolare BC: BC ˆ ::::: 2 ˆ ::::: 1,414 cm ˆ 5,5 cm Calcoliamo la misura della base maggiore: AB ˆ AH HB ˆ 5 25 cm ˆ 60 cm Determiniamo il erimetro: 2 ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ ::::: 5,5 ::::: ::::: cm ˆ 155,5 cm Calcoliamo l'area: A ABCD ˆ AB CD ::::: : 2 ˆ 60 ::::: ::::: : 2Š cm 2 ˆ 1187,5 cm 2. 6 In un traezio rettangolo l'angolo acuto eá amio 60. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e la base maggiore misurano risettivamente 50 cm e 70 cm. 194,64 cm; 2078,4 cm 2 64 In un traezio rettangolo l'area eá 198,24 cm e l'altezza misura 8,4 cm. Calcola il erimetro del traezio saendo che la differenza delle due basi eá lunga 11,2 cm. [69,6 cm] 65 In un traezio rettangolo la diagonale minore eá erendicolare al lato obliquo e misura 74 cm, mentre il lato obliquo eá lungo 55,5 cm. Calcola l'area e il erimetro del traezio. 67,74 cm 2 ; 251,6 cm 66 Un traezio rettangolo eá formato da un rettangolo e da un triangolo rettangolo avente il cateto minore coincidente con il lato minore del rettangolo. Saendo che le dimensioni del rettangolo misurano risettivamente 66 cm e 54 cm e che l'iotenusa del triangolo rettangolo eá lunga 90 cm, calcola l'area e il erimetro del traezio cm 2 ; 48 cmš 67 Calcola l'area e il erimetro di un traezio rettangolo saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 100 cm e 80 cm e che l'angolo acuto eá amio ,4 cm 2 ; 578,56 cmš 68 In un traezio rettangolo le due basi sono una 4 dell'altra e la loro somma misura 55 cm. Calcola l'area del traezio saendo che il lato obliquo eá lungo 25 cm. 550 cm 2 7 Š 69 In un traezio rettangolo la base maggiore misura 120 cm ed eá 15 della minore. Calcola il erimetro e 1 l'area del traezio saendo che l'altezza misura 127,5 cm. 480 cm; cm 2 70 In un traezio rettangolo la somma delle misure delle due basi eá 29 cm mentre la loro differenza eá 87 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che l'altezza eá lunga 116 cm. 554 cm; cm 2

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS In un traezio rettangolo l'area eá cm 2, le due basi sono una 9 dell'altra e la loro somma misura 54 cm. Calcola il erimetro del traezio. [ cm] 72 Nel traezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC eá erendicolare al lato obliquo. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che AC, CB e AB sono roorzionali ai numeri 6, 8 e 10 e la loro somma misura 72 cm. 79,2 cm; 29,76 cm 2 7 La base minore di un traezio rettangolo ABCD eá lunga 5,4 cm e la maggiore eá 16 della minore. Doo 9 aver tracciato il unto medio M dell'altezza AD, unisci M con C econb. Calcola il erimetro del traezio ABCD e la distanza MH del unto M col lato BC saendo che DM eá medio roorzionale tra le basi del traezio. [44,4 cm; 7,2 cm] 74 In un traezio rettangolo le diagonali misurano risettivamente 51 cm e 0 cm, mentre l'altezza misura 24 cm. Calcola il erimetro del traezio e la differenza fra l'area del traezio e l'area del quadrato che ha il erimetro uguale al doio della somma della base minore con l'altezza del traezio. 12,12 cm; 15 cm 2 75 Nel traezio rettangolo ABCD la somma delle misure delle due basi eá 76,5 cm e la base minore eá 7 10 della maggiore. Saendo che il lato obliquo BC eá lungo 22,5 cm, calcola l'area del triangolo ottenuto congiungendo il unto medio dell'altezza DA con i unti medi delle due basi. 172,125 cm 2 76 Nel traezio ABCD gli angoli acuti adiacenti alla base maggiore sono ami risettivamente 45 e60. Il lato obliquo AD eá adiacente all'angolo di 60 ed eá 9 della base maggiore e la loro somma misura cm. Calcola il erimetro di un rettangolo equivalente al traezio saendo che una delle due dimensioni misura un quinto del erimetro del traezio. [8,42 cm]

12 12 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS E LA CIRCONFERENZA richiami della teoria n Un triangolo inscritto in una semicirconferenza eá un triangolo rettangolo in cui il diametro corrisonde all'iotenusa; n se in una circonferenza tracciamo una corda, il raggio assante er uno degli estremi della corda, la distanza della corda dal centro e metaá corda formano un triangolo rettangolo in cui il raggio corrisonde all'iotenusa; n il segmento di tangente di una delle due tangenti ad una circonferenza da un unto esterno, il raggio assante er il unto di tangenza e la distanza tra il unto esterno e il centro della circonferenza formano un triangolo rettangolo; n se da un unto esterno di una circonferenza tracciamo il segmento di tangente assante er uno degli estremi del diametro, il segmento di secante assante er l'altro estremo del diametro e il diametro stesso, si forma un triangolo rettangolo. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 77 Alica il teorema di Pitagora al triangolo inscritto in una semicirconferenza della figura a lato e comleta le seguenti formule: a. d ˆ...; b. C ˆ...; c. c ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo costruito con il raggio, la distanza di una corda dal centro e metaá della stessa corda (figura a lato) e comleta le seguenti formule: a. r ˆ...; b. d ˆ...; AB c. 2 ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo costruito con il segmento di tangente, il raggio e la distanza tra il unto esterno e il centro della circonferenza (figura a lato) e comleta le seguenti formule: a. OP ˆ...; b. r ˆ...; c. PA ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo della figura a lato costruito con il segmento di tangente, il diametro e il segmento di secante assante er l'altro estremo del diametro della circonferenza e comleta le seguenti formule: a. PB ˆ...; b. d ˆ...; c. PA ˆ...

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 1 APPLICAZIONE 81 Esercizio Guidato In una circonferenza di centro O e raggio lungo 46,25 cm eá inscritto un triangolo rettangolo. Calcola il erimetro e l'area del triangolo saendo che il cateto minore misura 55,5 cm. AO ˆ 46,25 cm AC ˆ 55,5 cm 2 ABC A ABC Calcoliamo la misura del diametro: AB ˆ AO 2 ˆ ::::: 2 cm ˆ 92,5 cm Alichiamo il teorema di Pitagora er determinare la misura del cateto maggiore: BC ˆ AB 2 AC 2 ˆ 92,5 2 ::::: 2 cm ˆ 8556,25 :::::::: cm ˆ :::::::::: cm ˆ 74 cm Determiniamo il erimetro: 2 ABC ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: cm ˆ 222 cm Calcoliamo l'area: A ABC ˆ AC BC : 2 ˆ ::::: ::::: : 2 cm 2 ˆ 205,5 cm La somma e la differenza dei due cateti di un triangolo inscritto in una semicirconferenza misurano risettivamente 189 cm e 27 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 24 cm; 474 cm 2 8 Il segmento di tangente PA condotto da un unto P esterno ad una circonferenza di centro O misura 156 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo PAO saendo che il diametro eá lungo 24 cm. 468 cm; 9126 cm 2 84 Da un unto P esterno ad una circonferenza di centro O sono condotte le tangenti che toccano la circonferenza nei unti A e B. Saendo che i segmenti di tangente PA e PB misurano ciascuno 56 cm e che il unto P dista dal centro 445 cm, calcola il erimetro e l'area del quadrilatero PAOB cm; cm 2 85 In una circonferenza di centro O, la somma e la differenza del segmento di tangente e quello di secante, condotti da un unto esterno P e che toccano gli estremi del diametro AB,eÁ risettivamente 189 cm e 21 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo PAB. 252 cm; 2646 cm 2 86 In una circonferenza inscritta in un traezio isoscele il raggio misura 9 cm. Calcola le misure delle due basi, il erimetro e l'area del traezio saendo che ciascun lato obliquo eá lungo 22,5 cm. 9 cm; 6 cm; 90 cm; 405 cm 2 87 In una circonferenza due corde arallele dalla stessa arte risetto al diametro distano dal centro risettivamente 25,5 cm e 4 cm. Saendo che il raggio del cerchio misura 42,5 cm, calcola il erimetro e l'area del traezio avente er basi le due corde. 14,04 cm; 505,75 cm 2