Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

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1 Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo (definizione) Si dice angolo ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, semirette incluse. Segmenti consecutivi (definizione) Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune. Segmenti adiacenti (definizione) Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. Angoli consecutivi (definizione) Due angoli si dicono consecutivi quando hanno il vertice e un lato in comune. Angoli adiacenti (definizione) Due angoli si dicono adiacenti quando sono consecutivi e i lati non in comune appartengono alla stessa retta. Punto medio di un segmento (definizione) Si dice punto medio di un segmento il punto, interno al segmento, che lo divide in due segmenti congruenti. Bisettrice di un angolo (definizione) Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha per origine il vertice dell angolo, interna all angolo, che lo divide in due angoli congruenti. Angoli complementari di uno stesso angolo (o di angoli congruenti) sono congruenti. Angoli opposti al vertice sono congruenti. Ovvero: angoli supplementari di uno stesso angolo (o di angoli congruenti) sono congruenti.

2 Bisettrice di un triangolo (definizione) In un triangolo ABC, si dice bisettrice relativa al vertice C il segmento giacente sulla bisettrice dell angolo C che congiunge il vertice C con il lato opposto. Mediana di un triangolo (definizione) In un triangolo ABC, si dice mediana relativa al lato AB il segmento che ha per estremi il punto medio di AB e il vertice C opposto a quel lato. Altezza di un triangolo (definizione) In un triangolo ABC, si dice altezza relativa al lato AB il segmento che, partendo dal vertice C opposto al lato, incontra il lato stesso (o il suo prolungamento) formando con esso due angoli retti. Primo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l angolo tra essi compreso, allora sono congruenti. Secondo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti, allora sono congruenti. Terzo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora sono congruenti. Teorema del triangolo isoscele Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti. Teorema del triangolo equilatero Un triangolo è equilatero se e solo se tutti i suoi angoli sono congruenti. In un triangolo isoscele, coincidono: la bisettrice dell angolo al vertice, l altezza relativa alla base, la mediana relativa alla base.

3 In un triangolo, all angolo maggiore si oppone il lato maggiore e viceversa. Disuguaglianza triangolare In un triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due. In un triangolo, ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due. AB < BC + CA BC < CA + AB CA < AB + BC AB > CA - BC BC > AB - CA CA > AB - BC Rette perpendicolari (definizione) Due rette si dicono perpendicolari se si incontrano formando quattro angoli retti. Per un punto esterno ad una retta r, passa una e una sola perpendicolare ad r. Segmento di distanza di un punto da una retta (definizione) Si dice segmento di distanza di un punto P da una retta r quel segmento che ha per estremi il punto P e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta. Rette parallele (definizione) Due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune, oppure coincidono. Quinto postulato di Euclide Per un punto esterno ad una retta r, passa una e una sola parallela ad r. Teorema delle rette parallele Due rette parallele tagliate da una trasversale individuano: coppie di angoli alterni (interni o esterni) congruenti; coppie di angoli corrispondenti congruenti; coppie di angoli coniugati (interni o esterni) supplementari. 1 e 8, oppure 2 e 7 si dicono alterni esterni 3 e 6, oppure 4 e 5 si dicono alterni interni 1 e 5, oppure 2 e 6, oppure 3 e 7, oppure 4 e 8 si dicono corrispondenti 1 e 7, oppure 2 e 8 si dicono coniugati esterni 3 e 5, oppure 4 e 6 si dicono coniugati interni

4 Teorema inverso delle rette parallele Due rette, tagliate da una terza, sono parallele se individuano almeno una delle seguenti: una coppia di angoli alterni (interni o esterni) congruenti; una coppie di angoli corrispondenti congruenti; una coppia di angoli coniugati (interni o esterni) supplementari. Angolo esterno di un triangolo (definizione) Si dice angolo esterno di un triangolo ciascuno dei due angoli adiacenti ad ogni angolo interno del triangolo. Teorema dell angolo esterno In un triangolo, ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli non adiacenti ad esso. In un triangolo, la somma degli angoli interni è congruente ad un angolo piatto. In un poligono di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n-2) angoli piatti. In un triangolo equilatero, ogni angolo è congruente alla terza parte di un angolo piatto. In un triangolo rettangolo, gli angoli acuti sono complementari. Quarto criterio di congruenza dei triangoli (o secondo generalizzato) Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, allora sono congruenti. Criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti, oltre all angolo retto, due lati oppure un lato e un angolo. In un triangolo rettangolo, la mediana relativa all ipotenusa è congruente a metà dell ipotenusa stessa. Asse di un segmento (definizione) Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

5 Luogo geometrico (definizione) Si dice luogo geometrico l insieme di tutti e solo i punti che godono di una data proprietà. Il luogo dei punti di un piano equidistanti da due punti dati è l asse del segmento che ha per estremi quei due punti. Il luogo dei punti di un piano equidistanti dai lati di un angolo è la bisettrice di quell angolo. Parallelogramma (definizione) Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. Proprietà dei parallelogrammi In ogni parallelogramma: i lati opposti sono congruenti; gli angoli opposti sono congruenti e gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari; le diagonali si dimezzano scambievolmente a metà. Criteri per stabilire quando un quadrilatero è un parallelogramma Un quadrilatero è un parallelogramma se vale almeno uno dei seguenti: ha due coppie di lati opposti congruenti; ha due coppie di angoli opposti congruenti; ha due coppie di angoli adiacenti allo stesso lato supplementari; ha le diagonali che si dimezzano scambievolmente a metà; ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti. Rettangolo (definizione) Si dice rettangolo un parallelogramma avente i quattro angoli retti. Proprietà dei rettangoli In ogni rettangolo le diagonali sono congruenti. Criteri per stabilire quando un parallelogramma è un rettangolo Un parallelogramma è un rettangolo se ha le diagonali congruenti.

6 Rombo (definizione) Si dice rombo un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. Proprietà dei rombi In ogni rombo: le diagonali sono perpendicolari tra loro; le diagonali sono bisettrici dei vertici. Criteri per stabilire quando un parallelogramma è un rombo Un parallelogramma è un rombo se vale almeno uno dei seguenti: ha le diagonali perpendicolari tra loro; ha almeno un angolo che ha per bisettrice una diagonale. Quadrato (definizione) Si dice quadrato un parallelogramma che è sia rettangolo che rombo. Trapezio (definizione) Si dice trapezio un quadrilatero avente due lati opposti paralleli. Trapezio isoscele (definizione) Un trapezio si dice isoscele se ha i lati obliqui congruenti. Proprietà dei trapezi isosceli In ogni trapezio isoscele: gli angoli alla base sono congruenti e gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono supplementari; le diagonali sono congruenti. Criteri per stabilire quando un trapezio è isoscele Un trapezio è isoscele se vale almeno uno dei seguenti: ha gli angoli alla base congruenti; ha gli angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari; ha le diagonali congruenti. Diagramma dei quadrilateri QUADRILATERI TRAPEZI PARALLELOGRAMMI ROMBI QUADRATI RETTANGOLI

7 Corrispondenza di Talete In un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti dell una corrispondono segmenti congruenti dell altra. AB CD A B C D Corrispondenza di Talete - Corollario Se per il punto medio di un lato di un triangolo qualunque si traccia la parallela ad un altro lato, questa dimezza il terzo lato. Viceversa, in un triangolo qualunque il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. Circonferenza (definizione) Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza assegnata (detta raggio) da un punto (detto centro). Arco di una circonferenza (definizione) Si dice arco di una circonferenza la parte di circonferenza delimitata da due suoi punti, detti estremi dell arco. Corda di una circonferenza (definizione) Si dice corda di una circonferenza il segmento che unisce due suoi punti. Diametro (definizione) Si dice diametro ogni corda che passa per il centro. Retta esterna, tangente e secante (definizione) Una retta si dice: esterna ad una circonferenza se tutti i suoi punti sono esterni alla circonferenza. tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa e tutti gli altri suoi punti sono esterni alla circonferenza. secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza. La retta tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza.

8 Proprietà della corda In una circonferenza: La retta passante per il centro e perpendicolare ad una corda è asse della corda. La retta passante per il centro e per il punto medio di una corda è asse della corda. L asse di una corda passa per il centro. Angolo al centro (definizione) Si dice angolo al centro ogni angolo avente il vertice nel centro della circonferenza. Angolo alla circonferenza (definizione) Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo avente il vertice sulla circonferenza ed i lati o entrambi secanti oppure uno secante e l altro tangente alla circonferenza. L angolo al centro corrispondente è quell angolo al centro che insiste sullo stesso arco dell angolo alla circonferenza. Teorema dell angolo al centro Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro. Teorema dell angolo al centro - Corollario 1 Angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono congruenti. Teorema dell angolo al centro - Corollario 2 Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Corde particolari (esagono) (quadrato) (triangolo equilatero) Teorema del punto esterno Sia P un punto esterno ad una circonferenza, e si conducano da esso le rette tangenti alla circonferenza. Indicati con A e B i punti di tangenza: AP BP PO è bisettrice di APB. PO è asse di AB.

9 Poligono inscritto (definizione) Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza (la circonferenza si dice a sua volta circoscritta al poligono). Poligono circoscritto (definizione) Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza (la circonferenza si dice a sua volta inscritta al poligono). Un triangolo è sempre inscrittibile e circoscrittibile ad una circonferenza. Punti notevoli di un triangolo - Le altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro. - Le mediane si incontrano in un unico punto, detto baricentro. - Le bisettrici si incontrano in un unico punto, detto incentro (che è il centro della circonferenza inscritta al triangolo). - Gli assi si incontrano in un unico punto, detto circocentro (che è il centro della circonferenza circoscritta). Criterio di circoscrittibilità di un quadrilatero Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se le somme dei suoi lati opposti sono congruenti. Criterio di inscrittibilità di un quadrilatero Un quadrilatero è inscrittibile ad una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari. Due triangoli rettangoli con ipotenusa in comune individuano un quadrilatero inscrittibile in una circonferenza.

10 Grandezze in proporzione (definizione) Quattro grandezze A, B, C e D (di cui le prime due omogenee tra loro e le seconde due omogenee tra loro) si dicono in proporzione se A : B = C : D Proprietà delle proporzioni Data la proporzione numerica A : B = C : D si ha che: - Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. BC = AD - Proprietà dell invertire: scambiando ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione. B : A = D : C - Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi (o gli estremi) si ottiene ancora una proporzione. A : C = B : D oppure D : B = C : A - Proprietà del comporre: (A + B) : A = (C + D) : C oppure (A + B) : B = (C + D) : D - Proprietà dello scomporre: (A - B) : A = (C - D) : C oppure (A - B) : B = (C - D) : D Teorema di Talete Un fascio di rette tagliato da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti in proporzione. AB : A B = CD : C D Teorema inverso di Talete Se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti sono parallele, allora anche le altre rette sono parallele alle prime due. Teorema di Talete - Corollario Una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali. AD : DB = AE : EC Viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo dividendoli in parti proporzionali, allora essa è parallela al terzo lato. Teorema della Bisettrice La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. CA : AD = CB : BD Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull ipotenusa. q(ac) + q(ab) q(bc) oppure BC 2 = AB 2 + AC 2

11 Primo Teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull ipotenusa. q(ab) r(bc,bh) oppure BH : AB = AB : BC Secondo Teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. q(ah) r(bh,ch) oppure BH : AH = AH : CH Triangoli simili (definizione) Due triangoli si dicono simili se: - hanno i tre angoli ordinatamente congruenti (α α, β β, γ γ ) - hanno i tre lati ordinatamente in proporzione (AB : A B = BC : B C = CA : C A ) Primo Criterio di Similitudine Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti. Secondo Criterio di Similitudine Due triangoli sono simili se due lati ordinatamente in proporzione e l angolo tra essi compreso congruente. Terzo Criterio di Similitudine Due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente in proporzione. Se due triangoli sono simili, detti l e l due lati corrispondenti e S e S le loro superfici, (l) 2 : (l ) 2 = S : S Teorema delle corde Se in una circonferenza due corde si intersecano, PA : PC = PD : PB Teorema delle secanti Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano due secanti, PB : PD = PC : PA Teorema della secante e della tangente Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, PB : PT = PT : PA