TRIANGOLI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI. Def: Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli.

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1 TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI SCALENO: tutti i lati sono diversi tra loro AB BC AC ISOSCELE: ha due lati congruenti BC AC 1

2 EQUILATERO: ha tutti i lati congruenti. AB BC AC RISPETTO AGLI ANGOLI OTTUSANGOLO: ha un angolo maggiore di 90 0 e minore di < A < 180 RETTANGOLO: ha un angolo retto, ovvero di 90 0 ACUTANGOLO: ha tutti gli angoli acuti, ovvero minori di

3 TRIANGOLI PARTICOLARI a) ISOSCELE AC BC LATI OBLIQUI A B ANGOLI DI BASE C ANGOLO AL VERTICE AB BASE Proprietà: un triangolo isoscele ha sempre i LATI OBLIQUI CONGRUENTI e gli ANGOLI DI BASE CONGRUENTI. b) EQUILATERO Proprietà: un triangolo equilatero ha sempre tutti i LATI CONGRUENTI e tutti gli ANGOLI CONGRUENTI c) RETTANGOLO C = 90 0 ANGOLO RETTO AB IPOTENUSA (opposta all angolo retto) AC CATETO BC CATETO 3

4 Proprietà: un triangolo rettangolo ha sempre un ANGOLO RETTO (90 0 ). I lati che formano l angolo retto si chiamano CATETI; il lato opposto all angolo retto si chiama IPOTENUSA. Osservazione: dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 0, poiché C = 90 0 A + B = 90 0 ALTEZZA di un triangolo si dice ALTEZZA di un triangolo RELATIVA ad un LATO il segmento perpendicolare al lato e passante per il vertice opposto. Il lato si dice allora BASE dell altezza e il punto d intersezione tra l altezza e il lato si dice PIEDE dell ALTEZZA. TRIANGOLO ACUTANGOLO SCALENO Le 3 altezze sono: CH, AK, BT e si incontrano nel punto O, detto ORTOCENTRO, interno al triangolo. 4

5 TRIANGOLO OTTUSANGOLO Le tre altezze sono AH, BT, CK e si incontrano nel punto O esterno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO Le tre altezze sono: CH relativa all ipotenusa, AC e BC, che sono i cateti. Le tre altezze si incontrano nel punto C, che è il vertice dell angolo RETTO e l ortocentro. 5

6 MEDIANA di un triangolo si dice MEDIANA di un triangolo, relativa ad un lato, il segmento che unisce il VERTICE con il PUNTO MEDIO del lato opposto. TRIANGOLO ACUTANGOLO Si devono trovare i punti medi di ogni segmento: M, N, P Si deve unire ogni vertice con il punto medio opposto: CM, AN, BP sono le tre MEDIANE Il loro punto d incontro è il BARICENTRO, G. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Le tre mediane sono: AN, CM, BP. Si incontrano nel punto G, interno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO Le tre mediane sono AN, CM, BP. Si incontrano nel punto G interno al triangolo. 6

7 Proprietà: il BARICENTRO divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell altra; ovvero il segmento che va dal VERTICE al baricentro è il DOPPIO del segmento che va dal baricentro al PUNTO MEDIO. AG = 2 GN CG = 2 GM BG = 2 GP BISETTRICE di un triangolo Si dice BISETTRICE di un triangolo relativa ad un angolo il segmento che divide a metà l angolo e incontra il lato opposto. Le tre BISETTRICI sono CR, BT, AS. Si incontrano sempre all interno di qualsiasi triangolo, nel punto I, detto INCENTRO. Proprietà: in ogni triangolo l INCENTRO è EQUIDISTANTE dai lati, ovvero la distanza di I dai lati è uguale per ogni lato. ID = IE = IF 7

8 ASSE di un triangolo l ASSE di un segmento è la retta PERPENDICOLARE al segmento passante nel PUNTO MEDIO. TRIANGOLO ACUTANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, interno al triangolo. TRIANGOLO OTTUSANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, esterno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, sull ipotenusa e coincidente con il punto medio M. i tre assi del triangolo si incontrano nel punto detto CIRCOCENTRO. 8

9 PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO ORTOCENTRO BARICENTRO INCENTRO Acutangolo interno Ottusangolo esterno ALTEZZE Rettangolo coincidente con il vertice dell angolo retto MEDIANE Sempre interno BISETTRICI Sempre interno CIRCOCENTRO ASSI Acutangolo interno Ottusangolo esterno Rettangolo nel punto medio dell IPOTENUSA 9

10 CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI un movimento RIGIDO in geometria è uno spostamento che NON deforma la figura. due triangoli sono CONGRUENTI se è possibile con un MOVIMENTO RIGIDO sovrapporli in modo da farli coincidere. con uno spostamento coincidono Due triangoli AB C e A B C sono CONGRUENTI e hanno gli stessi angoli e gli stessi lati: A A B B C C AB A B BC B C AC A C Primo criterio di congruenza (LAL) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l angolo compreso. AB A B AC A C A A I due triangoli sono congruenti 10

11 Secondo criterio di congruenza (ALA) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti. AB A B A A B B I due triangoli sono congruenti Terzo criterio di congruenza (LLL) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti tre lati. AB A B AC A C BC B C I due triangoli sono congruenti 11

12 Triangolo rettangolo Tutti i triangoli rettangoli hanno un angolo sempre congruente, quello retto, quindi i criteri si riducono: 1. CATETO CATETO Sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti AB A B AC A C Per il 1^ Criterio (LAL) i triangoli rettangoli sono congruenti 2. ANGOLO CATETO Sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto e l angolo acuto adiacente. AB A B B B Per il 2^ Criterio (ALA) i triangoli rettangoli sono congruenti 12

13 3. ANGOLO IPOTENUSA Se hanno rispettivamente congruenti l ipotenusa e un angolo acuto adiacente. BC B C B B Di conseguenza anche C C Per il 2^ Criterio (ALA) i triangoli rettangoli sono congruenti 4. CATETO IPOTENUSA BC B C I triangoli rettangoli sono congruenti (dimostrazione: potenziamento) AB A B 13