Repetitorium trigonometriae - per immagini

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1 Repetitorium trigonometriae - per immagini Regole di base Ipotenusa Opposto Adiacente Tenendo a mente la seguente nomenclatura di un triangolo rettangolo si ha: sin = Opposto Ipotenusa cos = Adiacente Ipotenusa tan = Opposto Adiacente cot= Adiacente Opposto Angoli particolari

2 Triangoli qualunque C γ b a A c β B Osservando la seguente nomenclatura per un triangolo qualsiasi si ha il teorema dei seni (r è il raggio del cerchio circoscritto): a = b = c = r sin sin β sin γ e il teorema dei coseni (o teorema di Pitagora generale, infatti se è 90...) a = b +c b c cos Angoli a) Sistema di misura sessagesimale L unità di misura è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell angolo giro. Sottounità: grado si suddivide in 60 primi e un primo si suddivide in sessanta secondi = 60 = 60 = 3600 Ad esempio l ampiezza di 3 gradi, 4 primi e,6 secondi si indica: 3 4,6 A volte si usano sottounità decimali del grado: 3 4, 6 = , = 3.73 b) Sistema di misura circolare (radianti) I gradi sessagesimali usati soprattutto per calcoli trigonometrici elementari sono sostituiti dai radianti per applicazioni più complesse. Come unità di misura si assume il radiante. Un radiante è l angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Quanto misura l angolo giro in radianti? La circonferenza di raggio r misura πr l angolo giro π = 360 Quindi π = 360 Sia un angolo espresso in radianti e un angolo espresso in gradi, abbiamo che vale: 360 π = Oss: in generale la misura in radianti è un numero irrazionale, quindi quando è possibile la si indica come multiplo o frazione di π.

3 Esercizi - primo blocco Esercizi sugli angoli Completa la seguente tabella Sessagesimali Sessagesimali con frazione decimale Radianti , 0 89, 0 3, 894 π 6 3 π 8 π

4 Triangoli qualunque Trova tutti gli elementi mancanti dei seguenti triangoli qualunque, considerando che la nomenclatura di angoli e lati corrisponde a quella indicata nel disegno di sopra; teoricamente dovresti eseguire questo primo esercizio senza la calcolatrice! a = 6 3 = 60 β = 4 [b =6 ; c = 3 ( 3 +); γ = 7 ] a = c = 6 = 7 [b =; β = 7 ; γ = 30 ] 3 b =3 β = 0 = 4 [a = ; c =3 3; γ = ] 4 a = 6 b = 6 = 30 [c = 4 6 ; γ = 90 ; β = 60 /c = 6 ; γ = 30 ; β = 0 ] a = 6 + b = c = 3 [ = 7 ; β = 4 ; γ = 60 ] 6 a = 3 b = 3 3 c =3 [ = 4 ; β = ; γ = 0 ] 7 a = 3 +3 b = 3 = 7 [c = (3 + 3); β = ; γ = 90 ] 8 a = 3 = 60 β = 0 [b = ( 3 + ); c = ( 3 ); γ = ] Idem come sopra ma con la calcolatrice: 9 a = 3, 4 b = 00, 86 c = 76, 44 [ = 47, 443 ; β = ; γ = ] 0 a = 76, 4 β = γ = [b=, 78; c = 86, 67; = ] a = 90, 84 b = 46, 39 β = [c = 78, 0; = 90 ; γ = ] b=8, 6 c = 73, = [a = 04, 38; β = 7 ; γ = ] Triangoli rettangoli Esercizio analogo a quello precedente, ricordando che, riferendosi al triangolo riportato sopra, è l angolo retto e senza l uso della calcolatrice. a = 0 β = 60 [γ = 30 ; b= 3 ; c = ] b=0 a = 0 [c = 0; β = γ = 4 ] 3 b=0 β = 30 [γ = 60 ; a= 40; c= 0 3 ] 4 a = 4 β = 30 [γ = 60 ; b=7; c =7 3 ] b=9 γ = 4 [β = 4 ; a = 9 ; c = 9] 6 c = γ = 60 [β = 30 ; a = 4 3 ; b= 3 ] c =6 3 b =6 [β = 30 ; γ = 60 ; a = ] 8 a = 40 b = 0 [β = 30 ; γ = 60 ; c = 0 3 ] 9 a = 0 c = 3 [b = ; β = 30 ; γ = 60 ] 0 a = β = arc cos 3 [γ = arc sin 3 ; b =4; c = 3] b=4 γ = arc tan 4 [c = 3; a = 40; β = arc tan 3 ] 3 4 a = 3 γ = arc tan [b = ; c = ; β = arc sin ] 3 Idem con la calcolatrice: 3 c = 77, 7 β = [a= 068, ; b = 79, 3] 4 b=0, 86 c = 7, 6 [a= 7, 8; β = 43, 83 ] a =, b = 8, [c= 4, 8; β = 33, 3 ] 6 a = 7, 8 γ = 46, 7 [β = 43, 878 ; b = 0, 86; c = 7, 6] 7 b=7, 4 β = 36, 337 [γ = 3, 66 ; c= 98, 6; a =, 4] 4

5 Problemi sul triangolo rettangolo Senza calcolatrice! Problema. Il cateto AC di un triangolo ABC, rettangolo in A, misura b e cos γ =. Determinare la 3 misura del perimetro del triangolo. [ b ] Problema. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB è di 4 cm e il seno dell angolo a esso opposto è 4 ; determinare il perimetro del triangolo [7 cm] Problema 3. Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che un cateto è di 4 cm e la sua proiezione sull ipotenusa di cm. Problema 4. Determinare l altezza relativa all ipotenusa di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30 e il cateto adiacente a esso di 3 cm. Determinare inoltre il perimetro e l area del triangolo. [6 3 cm; ( 3 + 3) cm; 7 3 cm ] Problema. Del triangolo rettangolo ABC (Â = = 90 ) si conosce sin ACB = sin γ = 3 e AC=0 cm; sia AH l altezza relativa all ipotenusa BC. Determinare la lunghezza dei segmenti AH e HB e l area del triangolo AHC. [ cm; 9 cm; 96 cm ] Problema 6. Nel rettangolo ABCD la diagonale BD=0 cm forma con il lato AB l angolo ABD = di cui si conosce tan = 4 3. Determinare perimetro e area del rettangolo. [40 cm; 00 cm ] Problema 7. Determinare il perimetro del triangolo rettangolo ABC sapendo che, detta H la proiezione sull ipotenusa BC del vertice A, è AH=80 cm e che è cos ACB =. [70 cm] 3 Problema 8. Di un triangolo isoscele si conoscono il perimetro 7( + ) cm e la base 7 cm. Determinare l ampiezza degli angoli. [=90 ; β = γ = 4 ] Problema 9. Determinare il perimetro di un triangolo isoscele ABC di cui si conosce l altezza AH, di cm, relativa alla base BC e il cui angolo al vertice, BAC è di 0. [4(+ 3 ) cm] Problema 0. La base minore DC di un trapezio rettangolo ABCD misura 6a e la base maggiore AB misura 30a; si sa inoltre che l angolo acuto ABC = ha la tangente goniometrica uguale a 7. Determinare le 4 misure del perimetro e dell area del trapezio ABCD. [68a; 6a ] Con calcolatrice Problema. La proiezione ortogonale di un segmento AB sopra una retta r è lunga 8,64 cm; trovare la misura del segmento AB sapendo che esso forma con la retta r un angolo di 68, 336. [8, 8 cm] Problema. Risolvere un triangolo isoscele nota la base, di,76cm, e l angolo al vertice =6, 33. [3, cm] Problema 3. Risolvere un triangolo isoscele ABC nota la sua base BC=8,6 cm e l angolo ABC = 47,3 [3, 7 cm] Problema 4. Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che un angolo acuto è 8 e l altezza relativa all ipotenusa è lunga,84 cm. Problema. Calcolare l angolo formato dalle due tangenti condotte da uno stesso punto a una circonferenza il cui raggio è 8,6 cm, sapendo che la corda che unisce i punti di contatto è lunga 4,76 cm.

6 Funzioni trigonometriche e cerchio trigonometrico B (cos ; sin ) β O Α O H A sin(360 + )=sin() sin(80 )=sin() sin(360 )= sin() sin( )= sin() sin(80 +)= sin() cos(360 + ) = cos() cos( )=cos() cos(80 ) = cos() cos(80+)= cos() cos(360 ) = cos() tan(80 +)=tan() tan( )= tan() tan(80 )= tan() tan(80 +)=tan() tan(360 )= tan() Funzioni trigonometriche in gradi sessagesimali Funzioni =sin() =cos()

7 Funzioni trigonometriche in gradi sessagesimali 8 6 Funzioni =tan() =cot() Angoli complementari B B O H H A sin() = cos (90 ) sin(90+)=cos() sin(70 ) = cos() sin(70+)= cos() cos()=sin (90 ) cos(90 +)= sin() cos(70 )= sin() cos(70 +)=sin() tan(90 ) = cot() tan(90+)= cot() tan(70 ) = cot() tan(70+)= cot() 7

8 Funzioni trigonometriche inverse Funzioni trigonometriche inverse in gradi sessagesimali 0 Funzioni =arc sin() =arccos() Funzioni trigonometriche inverse in gradi sessagesimali 0 Funzioni =arc tan() =arc cot() Funzione Dominio D f Immagini I f = sin() ] ; + [ [ ; ] = cos() ] ; + [ [ ; ] = tan() R k , kǫz ] ; + [ = cot() R k 80, kǫz ] ; + [ = arc sin() [ ; ] [ 90; 90] = arc cos () [ ; ] [0; 80] = arc tan() ] ; + [ [ 90; 90] = arc cot() ] ; + [ [0; 80] 8

9 Esercizi - secondo blocco Semplifica le seguenti espressioni senza l uso della calcolatrice: 4 cos (80) +4sin (90)+3sin (80)=[0] 3 cos (90) 3 cos (0)+cos (80)=[ 8] tan (40) 3 sin (70)+cot(90)=[3] cos(70) 3sin (80) +4tan(80)=[0] cos(0) 4(sin (90) +3cos (80))=[3] sin( 3 π) cos (π)+tan (π)=[] 3 cos π sin3π + 3 tan 0 =[] sin π 4(sinπ 4cosπ)+cos3 π sin π =[ 4] (a b )cos 3 π + ab cos 6π a + b sin 3 π =[(a + b) ] m sin 3 π (m n) sin 7 π + mn = [n ] sin π Disegna le seguenti funzioni trigonometriche su un grafico cartesiano = sin() = cos( ) = tan(+90) = sin( + 80) = 3 cos () = tan( ) 9