Trigonometria angoli e misure

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1 Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico R. Folgieri

2 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si indicano con le lettere minuscole) si dicono lati dell angolo. L angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati, concavo nel caso contrario. concavo a A b B convesso L angolo si indica con ab ^ ppure con AB ^ se prendiamo due punti A e B sulle semirette. Quando le due semirette coincidono, l angolo convesso si dice angolo nullo, mentre l altro si dice angolo giro. Si dice allora che l angolo dato dalla 36ma parte di un angolo giro misura 1 grado. angolo giro a b angolo nullo R. Folgieri

3 Angoli notevoli Angolo piatto (18 ) Angolo 45 Angolo retto (9 ) Angolo 3 Angolo 6 R. Folgieri

4 Angoli e radianti E utile avere una visione dinamica degli angoli. Se immaginiamo che una delle due semirette si muova verso l altra, questa descrive l angolo e quindi l angolo si può dire orientato. Un angolo è orientato positivamente se la rotazione della semiretta avviene in senso antiorario, negativamente se la rotazione è in senso orario. B B r A r A C è dunque l esigenza di misurare gli angoli tenendo conto dei loro versi e del numero di giri A parità di angolo, la lunghezza di un percorso lungo una circonferenza dipende dal raggio (tale percorso avrà lunghezze diverse a seconda della circonferenza che consideriamo). Di contro, il rapporto tra la misura della lunghezza di questo cammino e quella del corrispondente raggio resta costante. Con riferimento alla figura, si ha, cioè: l( AB) l( A' B') = r r' l ( AB) Si dice misura in radianti dell angolo il rapporto preso con segno positivo r se l angolo è orientato positivamente, o con segno negativo se è orientato negativamente. R. Folgieri

5 l ( AB) I radianti Il rapporto r è un numero puro (non ha unità di misura) e non dipende dal raggio. Si introduce allora il concetto di circonferenza goniometrica, di raggio unitario (=1) Se consideriamo il calcolo della lunghezza di una circonferenza (cioè 2πr), si ha che il rapporto con l angolo fornisce il valore 2 π, che corrisponde quindi alla misura in radianti dell angolo giro. La lunghezza di un angolo piatto orientato positivamente sarà allora π. Grazie al rapporto trovato e alla misura dell angolo piatto, siamo in grado di passare sempre velocemente dalla misura in gradi a quella in radianti di un angolo, tenendo presente la formula: ρ = gr π 18 Gradi Radianti π/6 π/4 π/3 π/2 2/3π 5/6 π π R. Folgieri

6 Sin, cos e tg di un angolo acuto I due triangoli descritti in figura dai punti sulle semirette e dalla loro origine sono simili, perché sono due triangoli rettangoli e hanno l angolo nell origine in comune. o Per questo motivo hanno lati proporzionali a coppie. ipot opp α adiac I rapporti tra i lati definiscono i seguenti valori: opp il rapporto tra la misura del cateto opposto all angolo α nell origine e ipot la misura dell ipotenusa si dice seno dell angolo α e si indica con sin α (oppure sen α) adiac il rapporto tra la misura del cateto adiacente all angolo α e quella ipot dell ipotenusa si dice coseno e si indica con cos α opp il rapporto tra la misura del cateto opposto e quella del cateto adiac adiacente all angolo α si dice tangente e si indica con tan α (oppure con tg α) opp adiac opp ipot ipot adiac Siccome = = si ha che tan α = sinα cos α R. Folgieri

7 sservazioni Guardando la figura, si può osservare che c β B a opp( α) a adiac( β ) sin α = = = = ipot c ipot cos β A α b C Quindi, siccome α e β sono angoli complementari, si vede che: il coseno di un angolo coincide con il seno del suo complementare (da qui nasce il nome co-seno = seno del co-mplementare) In geometria analitica, la tangente è interpretata come il coefficiente angolare m dell angolo α formato dalla retta con l asse. Infatti, se consideriamo la retta di equazione =m + q con coefficiente angolare m positivo e due punti sulla retta A=(, ) e B=(, ) si vede che m = '' ' '' ' A Del resto A, B e C costituiscono un triangolo rettangolo in C e quindi: α '' ' = tan( BAC ˆ ) '' ' R. Folgieri β - B -

8 Sin, cos e tg di un angolo orientato D ora in poi indicheremo ogni angolo con la sua misura (positiva o negativa in radianti. Tracciamo una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di raggio unitario) centrata nell origine e pensiamo come P P semiretta origine di tutti gli angoli il semiasse positivo delle ascisse, che interseca in A la H A (1,) circonferenza. Se α è la misura in radianti di un angolo individuato da un punto P sulla circonferenza, si ha che: Sin α è l ordinata del punto P Cos α è l ascissa del punto P Tg α è l ordinata del punto P e cioè dell intersezione della retta che passa per P e per l origine con la retta tangente alla circonferenza nel punto A. Possiamo a questo punto fare alcune osservazioni: 1)Siccome P è un punto della circonferenza goniometriche che ha raggio 1, avremo sempre che -1 sin α 1 e si ha che -1 cos α 1 2)Se applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo HP, troviamo quella che viene chiamata identità fondamentale, ovvero: sin 2 α+cos 2 α = 1 3)Per la similitudine dei triangoli rettangoli HP e AP, si ha anche che: tgα = sinα cos α se π α + kπ 2 R. Folgieri

9 Altre osservazioni Sempre guardando la circonferenza goniometrica disegnata, notiamo anche che: 1) sin α è positiva quando P è sulla parte di circonferenza al di sopra dell asse. In caso contrario è negativo. 2) cos α è positivo quando il punto P è sulla parte di circonferenza a destra dell asse, ed è negativo quando si trova su quella di sinistra 3) tg α può assumere qualsiasi valore reale ed è positiva quando P è nel primo o nel terzo quadrante, negativa negli altri due casi. P P P H A (1,) H A (1,) P P H A (1,) H A (1,) P P P R. Folgieri

10 Altre osservazioni Tutte le osservazioni fatte ci permettono di trovare seno coseno e tangente di alcuni angoli particolari in modo molto veloce (guardate la tabella qui sotto e provate a ragionarci un po ) α π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2 π 2 π sin α 1/2 2/2 3/2 1-1 cos α 1 3/2 2/2 1/2-1 1 tg α 3/3 1 3 Non definita Non definita R. Folgieri

11 Proprietà di sin, cos e tg - 1 Vediamo ora come calcolare seno, coseno e tangente di angoli negativi o maggiori di 2π Se sulla circonferenza la posizione P è raggiunta dopo aver percorso un certo numero di giri in senso antiorario (oppure orario) la misura in radianti tiene conto anche del numero di giri, ma non la posizione di P, allora si ha: sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ)=cosα (con α R e intendendo con k il numero di giri, k Z) tg (α + kπ) = tgα ( α π/2 + kπ, k Z) Come si vede dal disegno, dalla definizione di seno, coseno e tangente deriva che: sin(- α) = - sin α cos(- α) = cos α tg(- α) = - tg α α - α P Q P H A (1,) R. Folgieri

12 Proprietà di sin, cos e tg - 2 Sappiamo che i valori di seno e coseno si scambiano tra loro passando da un angolo acuto α al suo complementare β= π/2 α Questa relazione vale per qualunque coppia di angoli tali che α+β=π/2 Si hanno allora le uguaglianze: π π cos α = sinα sin α = cosα Se consideriamo le figure qui sotto 2 2 sservandole possiamo ottenere altre relazioni che possono servire per calcolare valori di seno e coseno, e cioè: π π sin α + = cosα cos α = sinα sin( π + α ) = sinα cos( π + α ) = cosα ( π α ) sinα cos( π α ) = cosα sin( 2π α ) = sinα cos ( 2π α ) = cosα sin = In realtà non è necessario memorizzare queste espressioni, ma basta abituarsi a visualizzare la posizione del punto P in corrispondenza dell angolo di cui si voliono calcolare seno e coseno e poi, con considerazioni geometriche, ricondursi ad angoli compresi tra e π/2. R. Folgieri

13 Formule di addizione, duplicazione e bisezione Formule di addizione: sin ( α β ) = sinα cos β + cosα sin β cos( α + β ) = cosα cos β sinα sin β tgα + tgβ tg( α + β ) = 1 tgα tgβ Formule di duplicazione: sin ( 2α ) cos(2α ) = cos = 2sinα cosα 2tgα tg(2α ) = 2 1 tg α 2 α sin 2 α Considerando che α = dalla formula di duplicazione del coseno e dall identità fondamentale, deriviamo anche le formule di bisezione: α sin = ± 2 1 cosα 2 2 α 2 α 1+ cosα cos = ± 2 2 α 1 tg = ± 2 1+ cosα cosα Le formule di addizione e di duplicazione sono utili quando gli angoli sono variabili. Le formule di bisezione si usano invece quando non sono noti i segni che devono assumere il seno il coseno e la tangente. R. Folgieri