Prerequisiti di Matematica Trigonometria

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1 Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope

2 Angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli α e β.

3 Angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli α e β. Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato. Intendiamo così l angolo spazzato dal primo lato per sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso antiorario (angolo positivamente orientato)

4 Angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli α e β. Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato. Intendiamo così l angolo spazzato dal primo lato per sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso antiorario (angolo positivamente orientato)

5 Misura dell angolo in radianti Fissiamo nel piano un riferimento cartesiano e tracciamo la circonferenza unitaria. Riportiamo l angolo in modo che il vertice coincida con l origine ed il primo lato con la semiretta delle x positive. La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettato. misura positiva = angolo orientato in senso antiorario, misura negativa = angolo orientato in senso orario.

6 Misura dell angolo in radianti Fissiamo nel piano un riferimento cartesiano e tracciamo la circonferenza unitaria. Riportiamo l angolo in modo che il vertice coincida con l origine ed il primo lato con la semiretta delle x positive. La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettato. misura positiva = angolo orientato in senso antiorario, misura negativa = angolo orientato in senso orario.

7 Angoli: radianti e gradi La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettatto. In tal modo, l angolo giro corrisponde alla lunghezza della circonferenza, cioè π. Poiché l angolo giro misura 360 o, possiamo impostare il rapporto α g : 360 = α r : π da cui le equivalenze α r = π 180 α g o α g = 180 π α r

8 Riportiamo in un diagramma le misure degli angoli più usati: 0 = 0 30 = π/6 45 = π/4 60 = π/3 90 = π/ 10 = π/3 135 = 3π/4 150 = 5π/6 180 = π 70 = 3π/ 360 = π

9 Nel riferimento cartesiano si puó assegnare un angolo α indicando le coordinate del punto P = (x, y) intercettato dal secondo lato sulla circonferenza unitaria.

10 Definizione Il coseno di un angolo α (cos α) è l ascissa x di P. Il seno di un angolo α (sin α) è l ordinata y di P.

11 Seno e coseno Valori di coseno e seno da ricordare: cos 0 = 1 sin 0 = 0 cos π 6 = 3 sin π 6 = 1 cos π 4 = sin π 4 = cos π 3 = 1 sin π 3 = 3 cos π = 0 sin π = 1

12 Seno e coseno Per simmetria si ricava: cos 0 = 1 sin 0 = 0 cos π = 0 sin π = 1 cos π = 1 sin π = 0 cos 3π = 0 sin 3π = 1 cos π = 1 sin π = 0

13 Seno e coseno Per simmetria si ricava: cos π 4 = sin π 4 = cos 3π 4 = sin 3π 4 = cos 5π 4 = sin 5π 4 = cos 7π 4 = sin 7π 4 =

14 Seno e coseno Per simmetria si ricava: cos π 6 = 3 sin π 6 = 1 cos 5π 6 = 3 sin 5π 6 = 1 cos 7π 6 = 3 sin 7π 6 = 1 cos 11π 6 = 3 sin 11π 6 = 1

15 Seno e coseno Per simmetria si ricava: cos π 3 = 1 sin π 3 = 3 cos π 3 = 1 sin π 3 = 3 cos 4π 3 = 1 sin 4π 3 = 3 cos 5π 3 = 1 sin 5π 3 = 3

16 Percorrendo la circonferenza (in senso antiorario o orario), dopo un angolo π ci ritroviamo al punto iniziale. Gli angoli α, α + π, α π,... α + kπ con k Z rappresentano lo stesso punto sulla circonferenza. sin(α + kπ) = sin α k Z cos(α + kπ) = cos α k Z Diremo che seno e coseno hanno periodo π.

17 Proprietà di seno e coseno: 1 sin α 1 1 cos α 1 sin α + cos α = 1 Simmetrie sin( α) = sin α cos( α) = cos α

18 Simmetrie cos(π + α) = cos α sin(π + α) = sin α cos(π α) = cos α sin(π α) = sin α

19 Simmetrie cos(π/ + α) = sin α sin(π/ + α) = cos α cos(π/ α) = sin α sin(π/ α) = cos α

20 Definizione La tangente di α (tgα) è il rapporto fra seno e coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta verticale x = 1. È definita per α π/ + kπ con k Z. Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα k Z

21 Simmetrie tg( α) = tgα tg(π α) = tgα

22 Simmetrie tg( π α) = 1 tgα tg( π + α) = 1 tgα

23 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β tgα + tgβ tg(α + β) = 1 tgα tgβ Da queste si ricavano (β = α): Formule di duplicazione sin(α) = sin α cos α cos(α) = cos α sin α tg(α) = tgα 1 tg α

24 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β tgα + tgβ tg(α + β) = 1 tgα tgβ Da queste si ricavano (β β): Formule di sottrazione sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β tgα tgβ tg(α β) = 1 + tgα tgβ

25 Esercizio (Calcolare) sin 5π cos 7π/ sin 9π/ sin 15π/4 cos 19π/6 cos π/3 tg(π/3) tg( π/4) tg(5π/6) Esercizio (Determinare tutti i valori dell angolo α per cui risulta) sin α = 0 cos α = 0 sin α = 1 cos α = 1/ sin α = / cos α = / tg(α) = 1 tg(α) = 3 tg(α) = 1/ 3

26 Esercizio (Equazioni trigonometriche) sin x = 1 sin x + cos x = 0 sin x sin x = 0 sin x = cos x + 1 cos x + 3 sin x 3 = 0 tg x tgx = 0 Esercizio (Disequazioni trigonometriche) sin x > / cos x < 1/ cos x < 1/ sin 1/ cos x 1 sin x sin x Esercizio (Disequazioni trigonometriche) sin x < cos x nell intervallo 0 x π 3 tg x 0 nell intervallo π/ < x < π/