INDICE. 4. TRIGONOMETRIA 4.1. Relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Teoremi in un triangolo qualsiasi. 21

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1 ISTITUTO B. PASCAL

2 INDICE 1. FUNZIONI ESPONENZIALI 1.1. Richiami sulle potenze Il grafico della funzione esponenziale Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali..7. FUNZIONE LOGARITMICA.1. Definizione e proprietà 8.. Il grafico della funzione logaritmica 9.3. Equazioni logaritmiche 1.4. Disequazioni logaritmiche 1 3. GONIOMETRIA 3.1. La misura degli angoli La circonferenza goniometrica I grafici delle funzioni goniometriche Formule fondamentali Angoli associati Formule goniometriche TRIGONOMETRIA 4.1. Relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Teoremi in un triangolo qualsiasi CALCOLO COMBINATORIO 5.1. Permutazioni 5.. Disposizioni Combinazioni 4

3 1. FUNZIONI ESPONENZIALI 1.1 Richiami sulle potenze Il concetto di potenza, che inizialmente è stato introdotto nel caso in cui l esponente è un numero naturale e poi ampliato agli esponenti interi negativi si può estendere anche agli esponenti razionali e successivamente agli esponenti irrazionali. Nel caso di potenze ad esponente intero e razionale, valgono le regole di seguito indicate: - Potenze ad esponente intero negativo a n = 1 a n (1 a ) n = a n ( a b ) n = ( b a )n con a R 0, b 0, n N - Potenze ad esponente razionale a m n n = a m a m n = 1 n a m con a R >0, m N, n N0 E importante osservare che nella definizione di potenza ad esponente razionale, la base deve essere un numero positivo. Per quanto riguarda le potenze ad esponente irrazionale, è necessario osservare che un qualunque numero irrazionale, pur non potendo essere espresso da una frazione, può essere approssimato sia per eccesso che per difetto mediante numeri razionali. Ciò consente di dare un significato alle potenze con base positiva ed esponente irrazionale. La potenza 3 per esempio, ha significato se si considerano le potenze di 3 con esponenti razionali uguali ad approssimazioni della. Le approssimazioni razionali di per esempio, rappresentate da numeri decimali con 1,, 3, cifre decimali sono: 1,4 = < < 1,5 = ,41 = < < 1,4 = ,414 = < < 1,415 = ,4 e 3 1,5 sono approssimazioni per difetto e per eccesso di 3 cioè: 3 1,4 = 4,65 <3 < 5,19 = 3 1,5 e, considerando approssimazioni migliori 3 1,41 e 3 1,4 si ha 3 1,41 =4,70 < 3 < 4,75 =3 1,4. Continuando con approssimazioni sempre migliori si possono determinare quante cifre dopo la virgola si vogliono ed individuare così il numero 3. 3

4 In sintesi: una potenza con base positiva ha significato sia se l esponente è un numero razionale che irrazionale e quindi, si può considerare una potenza con base positiva ed esponente reale qualsiasi. Le proprietà delle potenze esponente reale già viste negli anni precedenti, valgono anche per le potenze ad a α a β = a α+β a α : a β = a α-β (a α ) β = a α β a α b α = (a b) α a α : b α = (a:b) α con b 0 1. Il grafico della funzione esponenziale La funzione esponenziale costituisce il modello matematico di numerosi fenomeni di varia natura (fisici, chimici, biologici, economici ) nei quali al crescere indefinitamente, in valore assoluto della variabile indipendente x corrisponde un rapido aumento o un rapido avvicinarsi allo zero della variabile dipendente y. Si parla, rispettivamente di crescita esponenziale o di decadimento esponenziale. Definizione: Se a è un numero reale positivo, esiste per qualsiasi valore di x R il numero a x ed è definita la funzione f: x a x di equazione y=a x Nel caso particolare di a=1 si ha y=1 x = 1 che è l equazione di una funzione costante per qualsiasi valore di x R ; escluso questo caso particolare, si ha che: y=a x con a>0 e a 1 è l equazione della funzione esponenziale di base a Escludendo il caso a=1, relativamente ai valori della base a, possono presentarsi due casi: a>1 0<a<1 che corrispondono a due diversi grafici per la funzione esponenziale Consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base a>1: y= x e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate nella tabella sottostante 4

5 x y= x P (x; y) 0 0 =1 A(0;1) 1 1 = B(1;) -1-1 =1/ C (-1;1/) =4 D(;4) - - =1/4 E(-;1/4) Riportando nel piano cartesiano i punti A, B, C.ottenuti, si ottiene il grafico caratteristico della funzione esponenziale, nel caso in cui la base è >1 E y= x C A B Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base a>1: la funzione è definita per tutti i valori dell asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è crescente (al crescere dei valori della x crescono anche i valori della y) Analogamente a quanto fatto per la base >1, consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base 0<a<1, y = (1/) x, riportiamo in tabella e poi nel piano cartesiano alcuni punti: D 5

6 x y= ( 1 )x P (x; y) 0 ( 1 ) 0 = 1 A(0;1) 1 ( 1 1 ) = 1 B(1; 1 ) -1 ( 1 ) 1 = C (-1;) ( 1 ) = 1 4 D(; 1 4 ) - ( 1 ) =4 E(-;4) E 4 y = (1/)x C 3 1 A B D Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base 0<a<1: la funzione è definita per tutti i valori dell asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è decrescente (al crescere dei valori della x decrescono i valori della y) NOTA: La funzione esponenziale più importante è quella che ha per base il numero irrazionale e, detto numero di Nepero e=, Poiché risulta e>1 la funzione esponenziale y= e x è crescente. Un altra funzione molto utilizzata è y= e -x =(1/e) x che è decrescente. 6

7 1.3. Equazioni esponenziali Definizione : si definisce equazione esponenziale un equazione in cui l incognita figura nell esponente di almeno una potenza. La forma canonica di un equazione esponenziale è la seguente: a f(x) = a g(x) con a > 0 e a 1 da cui è possibile dedurre che i due membri risulteranno uguali quando, avendo basi uguali, sono uguali gli esponenti, quindi: l uguaglianza si riconduce ad una uguaglianza tra gli esponenti: Esempi: f(x) = g(x) 3 x = 1 7 3x = 3 3 x = 3 ( 1 ) 3x+5 = 4 x 3x 5 = x 3x 5 = x 5x = 5 x = Disequazioni esponenziali Definizione: si definisce disequazione esponenziale una disequazione in cui l incognita figura nell esponente di almeno una potenza. Una disequazione esponenziale si presenta nelle forme canoniche di seguito riportate. La risoluzione di ciascuna di esse viene ricondotta ad una disuguaglianza tra gli esponenti, (in seguito all andamento del grafico della funzione) come a fianco indicato a f(x) < a g(x) con a > 1 f(x) < g(x) a f(x) > a g(x) con a > 1 f(x) > g(x) a f(x) < a g(x) con 0 < a < 1 f(x) > g(x) a f(x) > a g(x) con 0 < a < 1 f(x) < g(x) Esempi: 5 x < 5 x < x > 3 x > 3 7

8 ( 1 x 3 ) < ( 1 3 ) ( 1 x 4 ) > ( ) x > x < 3. FUNZIONE LOGARITMICA.1 Definizione e proprietà Definizione: si definisce logaritmo in base a del numero b (detto argomento) e si scrive logab, l esponente da attribuire alla base a per ottenere l argomento b: loga b=x a x =b con a>0 e 1; b>0 In particolare: log a 1 = 0 poichè a 0 = 1 log a a = 1 poichè a 1 = a Si definisce logaritmo decimale il logaritmo in base 10 e si scrive: log 10 x o più semplicemente, sottintendendo la base, log x Si definisce logaritmo naturale il logaritmo la cui base è il numero di Nepero e, si scrive log e x o più frequentemente ln x Dalla definizione, si può dedurre che valgono le seguenti proprietà fondamentali log a a c = c a log a b = b con a > 0 e 1; b > 0 Inoltre è possibile dimostrare le seguenti: - Il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è la somma dei logaritmi dei singoli fattori log a (b c) = log a b + log a c con a > 0 e 1; b > 0; c > 0 - Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è la differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore log a ( b c ) = log a b log a c con a > 0 e 1; b > 0; c > 0 - Il logaritmo della potenza di un numero positivo è il prodotto tra l esponente e il logaritmo della base della potenza log a b c = c log a b con a > 0 e 1; b > 0; c R 8

9 - Formula per il cambiamento di base log a b = log c b log c a con a > 0 e 1; b > 0; c > 0 e 1. Il grafico della funzione logaritmica La funzione logaritmica in base a : y=logax con a>0 e a 1 è la funzione inversa della funzione esponenziale di base a. Si può quindi comprendere come, analogamente alla funzione esponenziale anche per la funzione logaritmica si presentano i due casi: a>1 e 0<a<1 Consideriamo un caso particolare di funzione logaritmica con base a>1: y=logx e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate nella tabella sottostante x y= logx P (x; y) 1/16-4 (0.065;-4) 1/8-3 (0.15; -3) 1/4 - (0.5; -) 1/ -1 (0,5;-1) 1 0 (1; 0) 1 (;1) 4 (4;) 8 3 (8;3) 16 4 (16; 4) 9

10 (16; 4) (8; 3) (4; ) (; 1) (1; 0) (0,5; -1) (0,5; -) (0,15; -3) (0,065; -4) -5 Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base a>1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa crescente interseca l asse x nel punto (0 ; 1) non interseca mai l asse y (l asse y è asintoto verticale per valori di x vicini a 0) Ripetendo il procedimento nel caso di base 0<a<1 (in particolare log1 x) si ottiene il grafico seguente: 10

11 5 4 (0,065; 4) 3 (0,15; 3) (0,5; ) (0,5; 1) (1; 0) (; -1) (4; -) (8; -3) (16; -4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base 0<a<1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa decrescente interseca l asse x nel punto (0 ; 1) non interseca mai l asse y (l asse y è asintoto verticale per valori di x vicini allo 0) 11

12 .3 equazione logaritmiche Si definisce equazione logaritmica un equazione in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. La forma canonica è la seguente: log a f(x) = log a g(x) Da cui è possibile ricondurre l equazione di partenza logaritmi (essendo le basi uguali) quindi: ad una uguaglianza tra gli argomenti dei f(x) = g(x) N.B: nel risolvere l equazione, occorre verificare l accettabilità delle soluzioni trovate. Sono accettabili tutti i valori che rendono gli argomenti dei logaritmi positivi. Esempio: log 5 x = log 5 (x + 6) applicando la proprietà del logaritmo di una potenza, si ha log 5 x = log 5 (x + 6) x = x + 6 da cui, uguagliando gli argomenti si ha che è un equazione di II grado, scrivendola in forma canonica e risolvendola, si ottiene x x 6 = 0 x 1, = 1± 1+4 = 1±5 x 1 = ; x = 3 Condizioni di accettabilità: x > 0 { x + 6 > 0 { x > 0 x > 6 x > 0 Pertanto delle due soluzioni trovate, l unica accettabile è x=3.4 Disequazioni logaritmiche Definizione: si definisce disequazione logaritmica un equazione in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. Forme canoniche sono quello sotto indicate che vengono ricondotte alle disuguaglianze tra gli argomenti (per la tipologia del grafico) a fianco indicate: Se la base a del log è a >1 log a f(x) < log a g(x) f(x) < g(x) log a f(x) > log a g(x) f(x) > g(x) 1

13 Se la base a del log è 0<a<1 log a f(x) < log a g(x) f(x) > g(x) log a f(x) > log a g(x) f(x) < g(x) Nota: al posto del simbolo < o > può figurare anche oppure Esempio: log1(3x + 5) < 1 1 log1(3x + 5) < log1 3x + 5 > 1 6x + 10 > 1 6x > 9 x > 9 6 x > 3 Condizione di accettabilità: 3x + 5 > 0 x > 5 3 Pertanto la soluzione trovata x > 3 essendo > -5/3 è accettabile Esempio: log(3x 1) > log(7 x) 3x 1 > 7 x x > 8 x > 4 Condizioni di accettabilità: { 3x 1 > 0 7 x > 0 { x > 1 3 x < < x < 7 La soluzione della disequazione sarà pertanto 4<x<7 13

14 3. GONIOMETRIA 3.1 La misura degli angoli La goniometria è quella scienza che si occupa della misura degli angoli. Partendo dalla definizione è evidente come sia necessario per prima cosa definire cosa si intende per angolo e come si misura. Definizione: si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: si dice arco (di circonferenza) l intersezione tra una circonferenza e un angolo al centro della circonferenza stessa. Definizione: si definisce grado la 360 parte dell angolo giro. Consideriamo un angolo al centro α di due circonferenze C e C1 di raggi r e r1. Detti l e l1 gli archi corrispondenti, si ha che l: l1 = r: r1 Oltre ai gradi sessagesimali, un altra unità di misura degli angoli è il radiante che è definito come l angolo al centro di una circonferenza che corrisponde ad un arco di lunghezza uguale al raggio. Se g è la misura in gradi di un angolo e α la misura in radianti dello stesso angolo, si ha: 360 :π=g:α da cui g = 360 α π oppure α = π g 360 Nella tabella sottostante vengono riportati alcuni angoli notevoli espressi in gradi e il corrispondente valore in radianti 14

15 3. La circonferenza goniometrica E una circonferenza che ha origine nel centro degli assi cartesiani e raggio unitario e nella quale si assume come senso di rotazione positivo quello antiorario. A partire dalla circonferenza goniometrica si definiscono le funzioni goniometriche principali: seno (indicato con senα); coseno (indicato con cosα) e tangente (indicata con tgα) senα= OQ=y P cosα= OR=x P tgα= TS=y T definita per α π Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, il sen è il valore dell ordinata yp del punto P, determinato dall intersezione, sulla circonferenza goniometrica, del lato OP che delimita l angolo con la circonferenza appunto. Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, il cos è il valore dell ascissa xp del punto P determinato dall intersezione, sulla circonferenza goniometrica, del lato OS che delimita l angolo con la circonferenza appunto. Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, la tg è il valore dell ordinata yt del punto T determinato dall intersezione, tra il lato OP che delimita l angolo e la retta tangente alla circonferenza nel suo punto di ascissa 1. alle definizioni date è evidente che le funzioni -1 senα 1 e -1 cosα 1 mentre la funzione tgα può assumere un qualunque valore reale, ma non è definita per valori dell angolo pari a

16 3.3 I grafici delle funzioni goniometriche Dalla definizione data è possibile ottenere l andamento della funzione sen al variare dell'angolo e analogamente, per le funzioni cos e tg si ottiene: 16

17 La tabella sottostante, riporta i valori di sen cos e tg per alcuni angoli notevoli 3.4 formule fondamentali Riprendendo la circonferenza goniometrica, nel piano cartesiano la sua equazione è: x + y = 1 Per le definizioni date di sen e cos, è evidente che la relazione precedente può essere scritta nella forma sen a + cos α = 1 nota come prima formula fondamentale Riprendiamo ancora la figura sottostante, si può osservare che i triangoli ORP e OST sono simili, Quindi è possibile scrivere: OR:PR=OS:TS per le definizioni date di sen, cos e tg diventa cos sen =1: tg da cui tg α = senα cosα nota come seconda formula fondamentale È opportuno definire anche la funzione reciproca della tg chiamata cotangente (si indica con ctg ctg α = cos α sen α = 1 tg α 17

18 Le due equazioni fondamentali, possono essere considerate un sistema di due equazioni. Se è noto il valore di una delle funzioni goniometriche, il sistema può essere risolto considerando come incognite i valori delle due restanti: { sen a + cos α = 1 sen α tg α = cos α Vale per esempio: sen α = tg α 1+tg α cos α = 1 1+tg α 3.5 Angoli associati Nella circonferenza goniometrica consideriamo il punto B1 associato all angolo orientato di misura, avente quindi coordinate B1(cos sen Consideriamo poi i punti B, B3, B4 simmetrici di B1 rispettivamente rispetto all asse y; all origine; all asse x. B1 (cos ; sen ) B (-cos ; sen ) B3 (-cos ; -sen ) B4 (cos ; -sen ) Gli angoli: si dicono associati all angolo punti B, B3, B4 sono associati agli angoli rispettivamente agli angoli Dal confronto tra le coordinate si ottengono le seguenti relazioni: sin(π α)= sin α cos(π α)= - cos α tan(π α)= -tan α sin(π + α)= - sin α cos(π + α)= - cos α tan(π + α)= tan α sin(π α)= - sin α cos(π α)= cos α tan(π α)= tan α Considerazioni analoghe possono essere fatte considerando gli angoli: π α ; π + α; 3π α; 3π + α Si ottengono le seguenti relazioni: sin ( π α) = cos α cos ( π α) = sin α tan ( π α)= ctg α sin ( π + α) = cos α cos ( π + α) = sin α tan ( π + α)= - ctg α sin ( 3π α) = cos α sin ( 3π + α) = cos α cos ( 3π α) = sin α cos ( 3π + α) = sin α tan ( 3π + α)= ctg α tan ( 3π + α)= - ctg α 18

19 3.6 Formule goniometriche Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β tan(α + β) = tan α+tan β 1 tan α tan β con α+β,α, β, π +kπ Formule di sottrazione sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α β) = tan α tan β 1+tan α tan β con α-β,α, β, π +kπ Formule di duplicazione sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α tan α = tan α 1 tan α con α π +kπ e π 4 + k π Formule di bisezione sin α = ± 1 cos α cos α = ± 1 + cos α tan α = ± 1 cos α 1+cos α con α π +kπ Formule parametriche sin α = t 1 + t cos α = 1 t 1+t Con t=tanα e α π +kπ 19

20 4.TRIGONOMETRIA E quella parte della matematica che si occupa di risolvere i triangoli cioè determinare gli elementi incogniti quando siano noti tre elementi di cui almeno uno è un lato. 4.1 relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con a, b, c i lati e con e gli angoli opposti a tali lati, come nella figura sottostante Valgono le seguenti relazioni sinα = a c cosα = b c tanα = a b sinβ = b c cosβ = a c tanβ = b c In generale si può dire che il seno, il coseno e la tangente di un dato angolo sono dati rispettivamente dalle relazioni : sin = cateto opposto all angolo ipotenusa cos = tan = cateto adiacente all angolo ipotenusa cateto opposto all angolo cateto adiacente all angolo 0

21 4. Teoremi in un triangolo qualsiasi Consideriamo un triangolo qualsiasi e indichiamo con a, b, c i lati e con e gli angoli opposti a tali lati, come nella figura sottostante. E possibile dimostrare che valgono i teoremi sotto indicati: Teorema dei seni a sin α = b sin β = c sin γ Teorema del coseno (Carnot) a = b + c b c cosα c = a + b b a cosα b = a + c bcosγ Area del triangolo A = 1 a b senγ = 1 a c senβ = 1 b c senα 1

22 5. CALCOLO COMBINATORIO Permette di calcolare in quanti modi si possono combinare, seguendo certi criteri, gli elementi di un dato insieme. I possibili modi di raggruppare permettono di distinguere i raggruppamenti in permutazioni, disposizioni e combinazioni 5.1 Permutazioni Permutazioni semplici: dati n elementi distinti, le permutazioni semplici Pn di questi elementi sono tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l ordine secondo il quale gli n elementi si susseguono. Esempio, nella figura sottostante sono riportati i possibili raggruppamenti con tre elementi distinti A, B,C Il numero di permutazioni possibili è ottenuto dalla relazione: P n = n (n 1) (n ) 3 1 = n! Il simbolo n! è detto fattoriale del numero n" ; esso è il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n. Ad esempio 5!=5*4*3**1=10 Si ha inoltre: 0!=1!=1 Riferendosi all esempio, è evidente come le permutazioni di 3 elementi distinti sono 6, cioè sono sei i possibili raggruppamenti che possono essere realizzati a condizione che gli elementi differiscano per l ordine. Applicando la formula P3 =3! = 3 1=6

23 5. Disposizioni Disposizioni semplici: dati n elementi distinti e un numero k n, le disposizioni semplici Dn,k di n elementi di classe k, sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi dati, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro o per qualche elemento o per l ordine secondo il quale gli elementi si susseguono. L immagine sottostante rappresenta le disposizioni semplici di tre elementi, A, B e C presi a, le coppie cerchiate corrispondono ad una scelta di disposizioni dalle quali le altre differiscono per l'ordine degli oggetti (come indicato dalle frecce). Si calcolano con la relazione D n,k = n (n 1) (n ) (n k + 1) o anche, usando la forma fattoriale D n,k = n! (n k)! Applicando la relazione, riferendosi all esempio riportato, essendo n = 3 e k= si ha : D n,k = n! = 3! = 3 1 = 6 (n k)! (3 )! 1! 3

24 5.3 Combinazioni Combinazioni semplici: le combinazioni Cn,k di n elementi distinti, di classe k, con k n sono i sottoinsiemi di k elementi distinti di un dato insieme di n elementi Nella figura sottostante gli oggetti cerchiati corrispondono alle combinazioni semplici di 3 oggetti presi a. Sono calcolate attraverso la relazione: C n,k = D n,k P k = n (n 1) (n ) (n k+1) k (k 1) (k ) 3 1 equivalente alla seguente, scritta in forma fattoriale C n,k = n! (n k)! k! Applicando la formula, riferendosi all esempio, si ha: n=3; k= C n,k = n! (n k)! k! = 3! (3 )!! = = 3 4