Goniometria per il TOL - Guida e formulario

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1 Goniometria per il TOL - Guida e formulario Luca Talenti Gli argomenti più complessi del TOL sono probabilmente la goniometria e la trigonometria. Se non si arriva dal liceo scientifico, spesso questi due argomenti non sono stati ancora trattati al momento in cui ci si prepara al test o, più spesso, non si ha abbastanza dimestichezza con essi. Questa breve guida non è solo una breve introduzione alla goniometria ma anche un formulario utile per affrontare i quesiti. 1 La circonferenza goniometrica In goniometria, tutto è creato a partire dalla circonferenza goniometrica. Quest ultima non è altro che una circonferenza di raggio pari a 1 e con centro nell origine degli assi. Si ricorda che per la geometria analitica tale circonferenza è descritta dall equazione x 2 + y 2 = 1, in quanto, per il teorema di Pitagora, ogni punto B(x B, y B ) della circonferenza deve avere x 2 B + y2 B uguale al raggio (che è 1 in questo caso). Figura 1: La circonferenza goniometria, il seno ed il coseno. 1

2 2 Gradi e radianti Figura 2: Grafici di seno e coseno Dalle elementari abbiamo sempre utilizzato i gradi per misurare gli angoli. In goniometria, più spesso vengono utilizzati i radianti. Questi ultimi misurano la lunghezza della corda sottesa (ossia formata) da un angolo di ampiezza α. Si prenda per esempio la lunghezza della circonferenza 2π r. Nel caso della circonferenza goniometrica la circonferenza è semplicemente 2π perchè il raggio è uguale a 1. Infatti 2π corrisponde a 360 in radianti, essendo la corda sottesa da un angolo di 360. Per trasformare un angolo da gradi in radianti, o viceversa, è sufficiente applicare la seguente proporzione 3 Seno e coseno 180 : π = angolo gradi : angolo radianti (1) Una volta capito cos è la circonferenza goniometrica, il coseno è l ascissa (la x) della circonferenza mentre il seno ne è l ordinata (la y). Chiamato α l angolo tra l asse delle ascisse ed il segmento che collega il centro con il punto B(x B, y B ), allora cos(α) = x B mentre sin(α) = y B (guarda la Figura 1). Come si può ben capire dal disegno, dividendo il piano nei 4 quadranti, il seno è positivo nei primi due mentre è negativo nei due inferiori (terzo e quarto). Invece il coseno è positivo nel primo e quarto quadrante e negativo nei due a sinistra. Nella tabella 4 sono riportati i valori notevoli di seno e coseno da sapere per l esame. Non basta però solo sapere i valori ma anche il grafico di seno e coseno, per costruirli basta prendere sulle x i valori degli angoli in radianti e sulle y i valori assunti da seno e coseno. Si noti che finiti i 360 (o 2π) si può ricominciare da capo (390 corrisponde a un angolo da 30 ). I grafici di seno e coseno sono riportati in figura 2. Il seno ed il coseno hanno ampiezza 1, ossia variano da 1 a 1 non superando mai tali valori. Essi hanno un periodo pari a 2π, in quanto ogni 2π (o 360 ) i loro valori si ripetono. Nel caso di seno (o coseno) nella forma 2

3 b sin(ax) con a e b numeri reali, allora l ampiezza del seno sarà pari a b ed il suo periodo pari a 2π a. 4 Il teorema fondamentale della goniometria Si nota che nella circonferenza goniometrica x 2 + y 2 = 1, ma essendo cos(α) = x e sin(α) = y, allora si può scrivere: cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1 (2) Questa uguaglianza è fondamentale in tutti i problemi di goniometria e trigonometria. Quando utilizzarla: Quando in una equazione, disequazione o espressione compaiono sia seni che coseni al quadrato, in tal caso possiamo esprimere tutto in seno o coseno. Infatti, sapendo che cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1, si può scrivere che sin 2 (α) = 1 cos 2 (α) o che cos 2 (α) = 1 sin 2 (α). Per semplificare delle espressioni, per esempio sin 2 (x)+cos 2 (x)+sin(x) può essere semplificata (sapendo che cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1) come 1 + sin(x). Sapendo quanto vale il seno (risp. il coseno) di un angolo è possibile calcolare il coseno corrispondente (risp. il seno) con la formula cos 2 (α) = 1 sin 2 (α) (risp. sin 2 (α) = 1 cos 2 (α)). 5 Tangente e cotangente La tangente e la cotangente sono delle funzioni derivate dal seno e dal coseno. Infatti la tangente è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno di un angolo, mentre la cotangente è definita come il rapporto tra il coseno ed il seno di un angolo. La tangente e la cotangente sono quindi una l inverso dell altra. Bisogna fare attenzione che comparendo il seno nel caso della cotangente e il coseno nel caso della tangente al denominatore, quando questi si annullano, esse non esistono. La tangente (e la cotangente) è positiva quando o entrambi sono positivi o entrambi sono negativi. Infatti essi sono positivi nel primo e terzo quadrante mentre sono negativi nel secondo e nel quarto. Tangente e cotangente non sono limitate tra 1 e 1 ma possono assumere tutti i valori da a +. Il loro periodo è pari a π, ossia ogni semicirconferenza i valori si ripetono. Nel caso di tangente (o cotangente) nella forma b tan(ax) con a e b numeri reali, il suo periodo è pari a π a. 3

4 Figura 3: Grafico di tangente e cotangente. 4

5 6 Formula di somma e sottrazione di seno e coseno Le formule di somma e sottrazione di seno e coseno sono fondamentali per l esame e permettono di ricavare i valori del seno di una somma di due angoli o della sottrazione di due angoli a partire dagli angoli singoli. 7 Formule di duplicazione Le formule di duplicazione o sdoppiamento del seno e del coseno permettono di calcolare il seno e/o il coseno del doppio di un certo angolo α, ossia il seno e/o il coseno di 2α. La formula di sdoppiamento del seno è: Quando utilizzare questa formula: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) (3) Quando in un espressione compare sin(α) cos(α). Infatti se sin(2α) = 2 sin(α) cos(α), allora sin(α) cos(α) = 1 2 sin(2α). Quest operazione permette di esprimere tutto in funzione del seno e non come un prodotto, più difficile da trattare. Quando non si conosce il seno di α (o il coseno di α) ma si conosce quello di 2α. Quando non si conosce il seno di 2α ma si può conoscere quello di α. La formula di sdoppiamento del coseno è: Quando utilizzare questa formula: cos(2α) = cos 2 (α) sin 2 (α) (4) Quando in un espressione compare cos 2 (α) sin 2 (α) (o sin 2 (α) cos 2 (α)). Quando non si conosce il coseno di α (o il seno di α) ma si conosce quello di 2α. Quando non si conosce il coseno di 2α ma si può conoscere quello di α. 5

6 Figura 4: Valori notevoli 6