1 Funzioni trigonometriche

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1 1 Funzioni trigonometriche 1 1 Funzioni trigonometriche Definizione 1.1. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza centrata nell origine di un piano cartesiano e raggio unitario. L equazione di tale circonferenza è = 1. Una volta disegnata tale circonferenza, si prenda un punto su di essa e si disegni il segmento che va dall origine fino a. Chiamiamo l angolo che tale segmento, ossia il raggio della circonferenza, forma con l asse delle. La freccia che compare in figura indica l orientazione dell angolo: in altre parole, per convenzione si considera positivo l angolo misurato in senso antiorario, negativo quello misurato in senso orario. L unità di misura degli angoli è, in generale, il grado, ma spesso è più conveniente usare il radiante. Definizione 1.2. Il radiante è la misura corrispondente al rapporto tra la lunghezza l dell arco sotteso da un angolo e il raggio r della circonferenza: = l r. r l Definiamo ora le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Consideriamo una circonferenza trigonometrica, un punto su di essa e l angolo individuato dall asse e dalla semiretta congiungente l origine con. Al variare dell angolo si vede che variano anche le coordinate di, per cui sono funzioni dell angolo. cos sin 1

2 1 Funzioni trigonometriche 2 Definizione 1.3. Definiamo coseno di un angolo (cos l ascissa del punto associato ad, mentre definiamo seno di (sin l ordinata di associato ad. Siccome appartiene alla circonferenza trigonometrica, le sue coordinate devono soddisfare l equazione di questa circonferenza, ossia sin 2 + cos 2 = 1, da cui segue che seno e coseno sono funzioni limitate, ossia dato un angolo il seno e il coseno di tale angolo sono numeri reali che appartengono a un certo intervallo: 1 sin 1 1 cos 1. Consideriamo le figure seguenti: N E dove è il punto individuato dall intersezione tra la semiretta per l origine e la circonferenza goniometrica. Conduciamo dai punti E (1, 0 e N (0, 1 le tangenti alla circonferenza (in arancio a sinistra e in celeste a destra e indichiamo con il punto di intersezione tra queste e la semiretta per O e. Tralasciando le costruzioni geometriche, diamo le seguenti definizioni: Definizione 1.4. Si definisce tangente di l ordinata del punto, ossia tan = sin cos cos, mentre l ascissa di è chiamata cotangente di : cot = sin. Valgono le seguenti relazioni per angoli associati: sin 2 = cos cos 2 = sin sin (π = sin cos (π = cos sin (π + = sin cos (π + = cos sin (2π = sin cos (2π = cos sin ( = sin cos ( = cos 2

3 1 Funzioni trigonometriche 3 K O π 2 H Figura 1: sin 2 = cos e cos 2 = sin. π O HK Figura 2: sin (π = sin e cos (π = cos. 3

4 1 Funzioni trigonometriche 4 Siccome la trigonometria ha lo scopo di stabilire delle relazioni metriche tra i lati e gli angoli di un triangolo, possiamo sfruttare le funzioni appena definite per determinare, noti tre elementi del triangolo tra lati e angoli (di cui almeno un lato, gli elementi rimanenti di tale triangolo. Se AB = a, BC = b e CA = c, essendo l angolo in C retto, si hanno le seguenti B β C γ A semplici relazioni: b = a sin = a cos β c = a sin β = a cos b = c tan c = b cot β Bisogna tenere sempre a mente che: la somma degli angoli interni di un triangolo è + β + γ = 180 ; in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza; in un triangolo la stessa relazione, di uguaglianza e disuguaglianza, che intercede fra due lati intercede pure fra gli angoli rispettivamente opposti. 4

5 2 Esercizi (non solo trigonometria 2 Esercizi (non solo trigonometria ESERCIZIO 1. Considera gli angoli e β in figura, quale tra le seguenti relazioni è corretta? O β 1 B A 1 2 A. tan β < cos B. sin β < cos C. cos β > cos D. tan β > tan E. tan β < sin Si vede che la retta interseca l asse nel punto = 2 e l asse nel punto = 1. Il coefficiente angolare della retta è dunque m = 1 2. È evidente che si tratta di un triangolo rettangolo: AB =, OA = 2 e OB = 1. Risolvendo il triangolo, otteniamo che Inoltre OA = AB sin β = sin β = 2 OB = AB sin = sin = tan = 1 2, tan β = 2 = cos β = = cos = 2 Da qui segue che la risposta corretta è la D. ESERCIZIO 2. Un rettangolo di perimetro 18 cm viene ottenuto piegando a metà un quadrato. Calcolare l area del quadrato iniziale. Traccia: l area di un quadrato di lato a è A = a 2, mentre il perimetro di un rettangolo ottenuto piegando a metà il quadrato è = 3a, per cui nello specifico abbiamo a = 6. Si ottiene quindi che l area richiesta è 36 cm 2. ESERCIZIO 3. Dato il triangolo di vertici A ( 3, 1, B (6, 7 e C ( 3, 6, calcolarne l area. Traccia: sia a, b e c la misura di ciascun lato e 2p il perimetro del triangolo. Vale la formula di Erone: A = p (p a (p b (p c Nel nostro caso, A = 22.. ESERCIZIO 4. In un cerchio di raggio r, quanto è lunga una corda che dista dal centro un terzo di r? Traccia: per definizione, una corda di un cerchio è un segmento che congiunge due punti qualunque della circonferenza. Unendo questi due punti con il centro, si ottengono due segmenti di lunghezza pari a r. Nel complesso, si ottiene un triangolo isoscele, la cui altezza (che divide il triangolo in due triangoli rettangoli misura r 3. La corda quindi misura r.

6 2 Esercizi (non solo trigonometria 6 ESERCIZIO. ual è l area di un quadrato che ha i vertici su una circonferenza di raggio 4 cm? Traccia: si verifica immediatamente che la diagonale del quadrato misura 8 cm. Di conseguenza, l area del quadrato vale 32 cm 2. 6