Complementi di algebra

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1 Complementi di algebra Equazioni di grado superiore al secondo Come per le equazioni di grado, esistono formule risolutive anche per le equazioni di e grado ma non le studieremo perché sono troppo complesse,mentre si può dimostrare che non ci sono formule risolutive generali per le equazioni di grado superiore al quarto. Noi consideriamo solo alcuni tipi particolari di equazioni di grado superiore al secondo che possono essere risolte attraverso la scomposizione in fattori. Esempio : Per risolvere questa equazione basta raccogliere ( ) (per la legge di annullamento del prodotto) : Quindi L equazione data ha quindi soluzioni reali di cui due coincidenti. Esempio : Possiamo effettuare un raccoglimento parziale: ( ) ( ) ( )( ) Quindi avrò solo la soluzione reale poiché non ha soluzioni reali. Esempio : Proviamo a cercare un valore di che annulla P ( ) Vediamo che P ( ) e quindi è divisibile per ed effettuando la divisione abbiamo che ( )( ) Allora le soluzioni sono e, ± 5

2 Nota: ricordiamo che se il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio P () (a coefficienti interi) è uguale a, il valore che eventualmente annulla P() va ricercato tra i divisori del termine noto (nel nostro esempio potevamo provare solo e -). Se invece il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da si provano le frazioni del tipo divisore del termine noto divisore del termine di grado massimo Esempio : In questo caso il valore che eventualmente annulla il polinomio va ricercato tra divisori di divisori di Proviamo a sostituire P 8 // // // // Quindi: ( ) Poiché non ha soluzioni reali ( < ), l equazione ha solo la soluzione reale

3 Esempio 5 (equazioni binomie ) a) Come si risolve? Le soluzioni sono, ±, ± poiché sia che elevati alla quarta danno Come si risolve? È chiaro che questa equazione è impossibile in campo reale cioè non ha nessuna soluzione reale. Quindi se ho n a con n pari avrò : se a due soluzioni opposte ± se a < nessuna soluzione reale n a b) Come si risolve 5? La soluzione è 5 cioè poiché 5. 5 Come si risolve? 5 5 In questo caso la soluzione è Quindi la soluzione dell equazione negativo): n a con n dispari è sempre (sia per a positivo che n a

4 Esempio 6 (equazioni trinomie ) Considera l equazione 5 6 Se poniamo z e sostituiamo, otteniamo un equazione di grado z 5z 6 z z Quindi ±,, ± Considera l equazione 6 Se poniamo z abbiamo z z z z Quindi In generale se l equazione si presenta nella forma possiamo porre n n a b c ( n intero positivo, a ) n z e risolvere l equazione di grado in z a z b z c n n risolvendo infine z z (se z, z esistono) Nota: nel caso di n l equazione viene anche chiamata biquadratica.

5 Esercizi Risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al secondo: ) ) 5 [ ; ± [ ; ± ) 6 [ ; ) ; ± 5) 6 5 6) 8 6 7) 8) 7 7 ; ; ± ; ± ; ) 7 6 [ ; ; ) 7 5 [ ; ) 6 7 ) 5 6 ) 7 ) 5) 75 ; ; [ ; ; [ [ 5 7 6) [

6 7) ( 5) 6 8) ( ) 8 7 ; [ ; ± ) [ ± ; ± ) [ ± ) 6 6 [ ; ) [ ; ) 8 [ ± ; ± ) 6 [ ± ; ± 5) 7 [ ± 6) 5 6 [impossibile 7) ± ; ± 8) 5 [ ± ) [ ± ; ± ) ± ; ±

7 5 Sistemi di secondo grado di equazioni in incognite Esempio Consideriamo il sistema Poiché il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni del sistema, si tratta di un sistema di grado. Per risolverlo possiamo ricavare un incognita dall equazione di grado e sostituire nell altra equazione. ( ) ) ( Abbiamo trovato quindi due soluzioni ( ) ( ) ; ; Esempio ( ) ( ),, In questo caso abbiamo solo una soluzione (è in realtà una soluzione doppia, cioè sono due soluzioni coincidenti) cioè ; Esempio ( ) Poiché non ha soluzioni reali ( ) < il sistema non ha soluzione.

8 6 Problema: consideriamo la parabola P : e la retta r :. Come si determinano i loro punti di intersezione? P : r : Disegniamo la parabola (completiamo il quadrato ed individuiamo il vertice ) ( ) ( ) ; V Le sue intersezioni con l asse sono ( ) ( ) ; ; Disegniamo la retta r : Si vede facilmente che un punto di intersezione tra P e r è ( ) ; ma come possiamo determinare le coordinate dell altro punto di intersezione? Basterà risolvere il sistema formato dall equazione di P e di r Si tratta di un sistema di grado (in cui l incognita è già ricavata e basterà sostituire nell equazione di P) ( ) Quindi i punti di intersezione tra P e r sono ( ) ; ; P O Nota: se la retta r è tangente alla parabola P otteniamo solo una soluzione (in realtà due coincidenti) mentre se r è esterna alla parabola P non ci sono punti di intersezione e il sistema è impossibile. Anche se r è parallela all asse e P è con asse parallelo ad asse, c è un solo punto di intersezione.

9 Esercizi sui sistemi di secondo grado I) Determina i punti di intersezione tra retta e parabola e disegnane il grafico a) b) c) d) [nessuna intersezione [( ;) [( ;5) ; ( ;5) [( ;) ; ( ; 8) II) Risolvi i seguenti sistemi di secondo grado in incognite a) b) c) d) e) f) 8 7 ( ) [( ; ) [( ; ) ; ( 6; ) [( ; ) ; ( ; ) [( ;) ; ( ;) [( ;) ; ( ;) [( ;) ; ( ; ) g) ; ; ; 7

10 III) Problemi risolubili con sistemi di secondo grado ) Un rettangolo ha l area di m e il perimetro di m. Determina la lunghezza dei suoi lati. [ m; m ) In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura m e il perimetro m. Determina la lunghezza dei cateti. [ 6 m; 8m ) In un triangolo rettangolo l area è 6 cm e la somma dei cateti è 8 cm. Determina la lunghezza dei cateti. [ cm; 6cm ) In un cerchio di raggio 5 cm è inscritto un rettangolo il cui perimetro è cm. Calcola l area del rettangolo. [ cm 5) Un triangolo isoscele ha il perimetro di 6 cm e l altezza di cm. Determina la lunghezza dei lati. [ 6 cm; 5cm; 5cm 6) In un rombo l area misura 6 l e la somma delle diagonali è 8 l. Determina il lato del rombo. 7) Un rettangolo ha il perimetro che misura 8 r. Sapendo che il raggio della circonferenza circoscritta misura 5 r, determina i lati del rettangolo. [ l [ 6 r; 8r 8