Appunti di Matematica 3 - Ripasso - Ripasso di algebra. Equazioni. Equazioni di primo grado

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1 Ripasso di algebra Equazioni Equazioni di primo grado Un equazione di primo grado può essere sempre ridotta alla forma Se a la soluzione è Se a allora ci sono due casi: a b b e l equazione si dice determinata. a se anche b abbiamo un equazione indeterminata cioè qualsiasi valore di verifica l equazione; se invece b allora l equazione è impossibile cioè non esiste nessun valore reale di che verifichi l equazione. Ricorda Per determinare la soluzione di un equazione di primo grado nel caso in cui sia determinata si somma ad entrambi i membri b in modo da semplificare b e ottenere a b e poi si dividono b entrambi i membri per a ( a ) ottenendo la soluzione. a

2 Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può essere sempre ridotta alla forma Abbiamo tre casi a seconda del valore del a b c con a b ac : se > l equazione ha due soluzioni reali distinte se l equazione ha due soluzioni reali coincidenti se < l equazione non ha nessuna soluzione reale. Ricorda, b ± b ac ; a b, ; a Per arrivare alla formula risolutiva si sposta il termine noto e a sinistra si mette in evidenza a : b a ( ) c a b b Si completa il quadrato aggiungendo a sinistra e di conseguenza a a (perché nel primo membro c è a che moltiplica la parentesi tonda): a ( b a b a b ) c a b b ac b b ac Si ottiene: a ( ) a a a a b a a destra Se b ac potremo scrivere b a ± b ac a b ± b ac e quindi, con se a Se invece b ac < l equazione non avrà soluzioni reali. Ricorda Nel caso in cui si può facilmente verificare che b e a c a Utilizzando queste relazioni si dimostra facilmente (basta mettere in evidenza a ) che a b c a( )( )

3 Equazioni di grado superiore al secondo Vediamo solo alcuni esempi di equazioni di grado superiore al secondo risolubili mediante scomposizione o ponendo t. ) Possiamo operare un raccoglimento parziale e otteniamo ( )( ) e quindi avremo,, ± ) 5 6 In questo caso osservando che sostituendo il polinomio si annulla possiamo scomporre utilizzando il metodo di Ruffini e avremo ( )( 6) e quindi raccogliendo ( )( )( ) In conclusione le soluzioni sono, ± ) 9 Si tratta di un equazione detta biquadratica : poniamo t risolta dà t, ± e t, ± e otteniamo t 9t che

4 Equazioni contenenti il valore assoluto Vediamo alcuni esempi: ) ) ) < < Poiché il primo sistema non ha soluzione abbiamo come soluzione solo. ) Studiamo i segni degli argomenti dei due valori assoluti Quindi possiamo avere i seguenti casi: < ) ( > ) ( Risolvendo i tre sistemi si ottiene un unica soluzione (dal secondo sistema)

5 Equazioni irrazionali Un equazione ad una incognita si dice irrazionale quando contiene radicali nel cui radicando compare l incognita. Vediamo degli esempi. Equazioni irrazionali con radici quadrate ) 7 Se eleviamo al quadrato entrambi i membri dell equazione otteniamo un equazione equivalente, cioè con le stesse soluzioni? Eleviamo al quadrato entrambi i membri: ( ) ± ± 5, Verifichiamo se le soluzioni trovate sono soluzioni dell equazione di partenza. 7 ( primo membro) (secondo membro) 7 ( primo (sec ondo membro) membro) Quindi solo è soluzione dell equazione irrazionale. Per decidere se le soluzioni sono accettabili dobbiamo necessariamente fare la verifica? Il secondo membro, essendo uguale ad una radice quadrata, dovrà essere necessariamente positivo o nullo e quindi basterà mettere la condizione Quindi confrontando le soluzioni con questa condizione possiamo stabilire, anche senza eseguire la verifica con la sostituzione, che non è accettabile. In conclusione l equazione data va risolta impostando il seguente sistema misto (equazione e disequazione): ( ) 7... Che ci dà come unica soluzione accettabile. 5

6 Nota importante Infatti l equazione A ( ) B( ) non è equivalente all equazione A ( ) B ( ) perché e quindi le soluzioni di A ( ) B ( ) sono le soluzioni dell equazione A ( ) B( ) (che è l equazione di partenza A ( ) B( ) ) ma anche quelle dell equazione A ( ) B( ) Osservazione: perché non ci siamo preoccupati del campo di esistenza della radice quadrata? Nel nostro caso porre 7 sarebbe stato superfluo visto che abbiamo l equazione ) 7 ( ) 7 Per prima cosa dobbiamo isolare il radicale, e quindi abbiamo Quindi si procede come nell esempio precedente. [ A( ) B( ) ] [ A( ) B( )] A ( ) B ( ) 7 ) Risolviamo il seguente sistema misto: Risolvendo l equazione otteniamo le soluzioni che risultano entrambe accettabili (essendo verificata la condizione ). ) La concordanza di segno tra i due membri in questo caso è automaticamente soddisfatta poiché la radice quadrata (positiva) ha sempre lo stesso segno di (numero positivo). In conclusione in questo caso basta elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere: 5) In questo caso non c è concordanza di segno tra i due membri e quindi non c è nessuna soluzione. 6

7 6) In questo caso la concordanza del segno tra i due membri è automaticamente verificata ma in questo caso dobbiamo porre la condizione di esistenza dei due radicali. Elevando al quadrato entrambi i membri otteniamo Quindi la soluzione non è accettabile e l equazione non ha nessuna soluzione. 7) Le condizioni da imporre sarebbero piuttosto complesse (esistenza dei radicali e la concordanza del segno dei due membri) e quindi in questo caso conviene semplicemente verificare con la sostituzione se le soluzione ottenute elevando al quadrato entrambi i membri sono o meno accettabili. Verifichiamo se è soluzione dell equazione data: ( primo membro) (secondo Quindi è soluzione dell equazione data. membro) NOTA Tutto quello che abbiamo detto per le radici quadrate vale per qualsiasi radice di indice pari, cioè per risolvere l equazione irrazionale n A( ) B( ) impostiamo il sistema misto: A( ) B B( ) n ( ) 7

8 Equazioni irrazionali con radici cubiche Esempio Consideriamo l equazione Eleviamo entrambi i membri al cubo in modo da eliminare la radice. Abbiamo: ( ).. Dobbiamo verificare se le soluzioni sono accettabili? No, perché elevando al cubo entrambi i membri otteniamo un equazione equivalente (cioè con le stesse soluzioni). Infatti: [ A( ) B( ) ] [ A ( ) A( ) B( ) B ( )] A ( ) B ( ) A ( ) B ( ) e per la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni sono date dalla soluzione di A ( ) B( ) (che è l equazione iniziale) e di A ( ) A( ) B( ) B ( ) che ha come uniche soluzioni A ( ) B( ). Dobbiamo porre condizioni di esistenza del radicale? No, perché per la radice cubica il radicando può essere sia negativo che positivo o nullo. In conclusione quindi per risolvere l equazione irrazionale data basta elevare al cubo entrambi i membri dell equazione. NOTA Questo vale in generale per tutte le equazioni con radicali di indice dispari del tipo n A( ) B( ) che si risolvono semplicemente elevando a n entrambi i membri dell equazione. 8

9 Disequazioni Disequazioni di primo grado Esempi. >. > > < Infatti possiamo spostare a destra il termine ottenendo > e quindi ricavare oppure spostare ottenendo > e ricordare che dividendo per un numero negativo (-) dobbiamo invertire il verso della diseguaglianza. Nelle disequazioni è importante ricordare che se si moltiplica o si divide per un numero negativo dobbiamo invertire il verso della diseguaglianza. ( per esempio: è vero che 5 > ma moltiplicando per - abbiamo 5 < ) Possiamo sempre ricondurci ad una disequazione in cui il coefficiente della sia positivo moltiplicando tutto per - ma naturalmente cambiando di verso alla diseguaglianza. Nell esempio infatti avremo anche potuto scrivere: < < 9

10 Disequazioni di secondo grado Esempi ) 5 6 > Determiniamo le soluzioni dell equazione associata: 6 5 Quindi scomponendo avremo: ( )( ) > Studiamo il segno dei fattori ed indichiamo con una linea continua il segno positivo e con una linea tratteggiata il segno negativo: Segno di - Segno di - Quindi per la regola dei segni avremo il prodotto positivo per < > cioè per i valori esterni alle soluzioni dell equazione associata. Nota: se consideriamo la parabola associata all equazione 5 6 abbiamo una parabola rivolta verso l alto che interseca l asse nei punti di ascissa, e quindi i punti del grafico che si trovano sopra all asse delle ascisse si hanno per < >.

11 ) Se avessimo dovuto risolvere 5 6 < avremmo avuto, considerando lo studio del segno dei fattori ( ) ( ) valori interni alle soluzioni. Analogamente con il metodo della parabola abbiamo che i punti che si trovano sotto all asse delle ascisse si hanno per < <., < < cioè i ) > Se mettiamo in evidenza la e studiamo il segno dei fattori: ( ) > Otteniamo quindi : < < Nota: se consideriamo la parabola associata abbiamo una parabola rivolta verso il basso in cui i punti che si trovano sopra all asse delle ascisse si hanno per < <. Nota Quando il coefficiente di è negativo si può anche moltiplicare per - ed invertire il verso della diseguaglianza: abbiamo < che per quanto detto nel precedente esempio ha come soluzione: < <

12 ) > Poiché in questo caso l equazione associata ha due soluzioni coincidenti (si tratta infatti di un quadrato) avremo ( ) > R { } cioè le soluzioni della disequazione sono tutti i valori reali di diversi da. Se consideriamo la parabola associata abbiamo una parabola rivolta verso l alto tangente all asse delle ascisse e quindi i punti che si trovano sopra all asse delle ascisse sono tutti eccetto (punto in cui ). Naturalmente se dobbiamo invece risolvere < non c è nessuna soluzione (reale). Nota: è chiaro che : R

13 5) In questo caso l equazione associata non ha soluzioni reali poiché < e quindi la parabola associata, rivolta in questo caso verso l alto, non interseca l asse delle ascisse e tutti i suoi punti si trovano sopra all asse. Quindi la soluzione della disequazione è R. Nota: anche algebricamente si può dimostrare che il trinomio ha lo stesso segno del coefficiente di ( a ): nel nostro caso, per esempio, abbiamo Se completiamo il quadrato: cioè e poiché un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo, questa disequazione ha come soluzione tutti i numeri reali cioè è verificata R. 6) > Anche in questo caso l equazione associata non ha soluzioni reali ed essendo il coefficiente di negativo la parabola associata è rivolta verso il basso e non ha intersezioni con l asse : quindi tutti i suoi punti si trovano sotto all asse delle ascisse e ( è negativo R La nostra disequazione non ha perciò nessuna soluzione reale. ) Infatti anche algebricamente vediamo che: < < cioè ( ) < e quindi non c è nessuna soluzione reale poiché un quadrato non può mai essere minore di un numero negativo.

14 Disequazioni di grado superiore al secondo Esempi ) > Mettendo in evidenza e studiando il segno dei fattori: ( ) > Segno di - Segno di - < < > ) Mettendo in evidenza abbiamo: ( ) Il fattore è sempre positivo o nullo e nello studio del segno possiamo trascurarlo perché non fa cambiare niente. Possiamo quindi limitarci a risolvere solo : Allo stesso risultato saremmo arrivati anche studiando il segno dei due fattori: Segno di Segno di - -

15 Disequazioni fratte Esempi ) > Dobbiamo studiare il segno del numeratore e il segno del denominatore: N: > > D: > > Riportiamo la situazione in un grafico: D N Se dobbiamo risolvere > prenderemo < >. Nota: se avessimo dovuto risolvere < il procedimento sarebbe stato lo stesso, ma alla fine avremo preso come soluzione la zona che risulta con segno negativo cioè < <. D N ) < N D - Quindi : < < <. 5

16 Disequazioni contenenti valori assoluti Esempi ) < < < ) < < < cioè < < )* > < > )* > < > cioè < > ) < Dobbiamo distinguere due casi: se allora e quindi abbiamo < se allora e quindi abbiamo < Quindi < < < > < > ) < < < e in conclusione: >. Studiamo i segni degli argomenti dei due valori assoluti (vedi equazioni contenenti il valore assoluto) e distinguiamo i vari casi: ( ) < < ( ) < > ( ) < ecc. 6

17 Disequazioni irrazionali Esempi ) 9 > Osserviamo che potrebbe essere sia negativo che positivo. Se dobbiamo elevare al quadrato entrambi i membri (non importa porre 9 poiché se 9 > ( ) sicuramente avremo 9 positivo). Se < la radice quadrata 9 (positiva) sarà sicuramente maggiore di un numero negativo purché esista cioè quando 9. Quindi per risolvere questa disequazione dovremo impostare l unione di due sistemi di disequazioni: 9 > ( ) < < 5 < 9 < < < 5 nessuna soluzione Quindi la soluzione della disequazione è: < < 5 7

18 ) 9 < In questo caso non può essere negativo, perché deve essere maggiore di una radice quadrata (positiva, quando esiste). Quindi per risolvere questa disequazione dobbiamo impostare un solo sistema, ma con tre disequazioni: > > 9 9 < ( ) < > 5 5 Quindi la soluzione della disequazione è: ) > < 5 < In questo caso dobbiamo confrontare la radice quadrata con un numero. Poiché il numero è positivo dobbiamo elevare semplicemente al quadrato entrambi i membri della disequazione (è inutile porre anche poiché > è una richiesta più forte): > 5 > < 5 > 5 ) < In questo caso oltre ad elevare al quadrato è necessario anche mettere la condizione di esistenza del radicando: < 5 < < 5 5 < <

19 9 Sistemi Sistemi di equazioni Sistemi di due equazioni in due incognite Sistemi di primo grado Esempio Ci sono vari metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione ). Ripassiamo solo il metodo di sostituzione: ricaviamo un incognita da una equazione e sostituiamola nell altra. Trovata la torniamo a sostituirla per determinare : Nota Non è detto che il sistema dato abbia sempre una soluzione: può essere impossibile (nessuna soluzione reale) o indeterminato (infinite soluzioni). Per esempio: è impossibile è indeterminato

20 Sistemi di secondo grado (il grado si ottiene moltiplicando i gradi delle equazioni che compongono il sistema) Esempio Anche in questo caso ripassiamo solo il metodo di risoluzione per sostituzione: ricaviamo un incognita dall equazione di grado e sostituiamo nell altra: ± Quindi avremo due soluzioni, ), ) : ( ( Nota Un sistema di due equazioni in due incognite di secondo grado può avere anche due soluzioni coincidenti o nessuna soluzione. Per esempio ha due soluzioni coincidenti (, ;, ) mentre non ha nessuna soluzione reale.

21 Sistemi di tre equazioni in tre incognite di primo grado Esempio 8 z z Ricaviamo un incognita da una equazione e sostituiamo nelle altre due: 8 8 z z z Ricaviamo un altra incognita (tra la seconda e la terza equazione) e sostituiamo: z e sostituendo avremo: z La soluzione è quindi la terna ) ; ; ( Nota Naturalmente posso avere sistemi con infinite soluzioni (indeterminati) o nessuna soluzione (impossibili). Per esempio: z è impossibile mentre z ha infinite soluzioni del tipo (; - ; )

22 Sistemi di disequazioni Esempi ) > < Risolviamo le due disequazioni e intersechiamo i risultati: > < < > < sol. seconda dis. sol. prima dis. - Quindi la soluzione del sistema è: < < < Attenzione Non ha alcun senso mettere il tratteggio nel grafico conclusivo! Infatti il tratteggio si usa per indicare un segno negativo quando dobbiamo studiare il segno di numeratore e denominatore in una disequazione fratta o il segno dei fattori in un prodotto. Se dovessimo risolvere per esempio ( ) ( ) > oppure > utilizzare il tratteggio. allora dovremmo ) < nessuna soluzione > < > nessuna soluzione

23 Esercizi di ricapitolazione I) Risolvi le seguenti equazioni ) [ ] ) 5 6 [ ; ] ) [ ; ] ) [nessuna soluzione reale ] 5) 9 [, ± ;, ± ] 6) [ ] 5 7) [ ; 5 ] 8) 6 5 [ ] 9) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) 7 6 [ 5] 5 ) 5) 5 [ 9] 6) 6 [ ]

24 7) [ ] 8) [ 6] 5 9) ] [ ) [ ] ) 5 [ ] ) 5 [ impossibil e] ) 6 [ ] ) 8 [ ] 5) 8 [ ] 6) [ ] 5 5 7) [ ±] 8) 5 [ ] 9) [ ] ) 7 [ ]

25 II) Risolvi le seguenti disequazioni ) > [ < < ] ) > [ R ] ) 9 [ ] ) < [nessuna sol. reale] 5) > [ < < ] 6) < [nessuna sol. reale ] 7) > 5 6 8) < 9) > 5 [ < < < < ] [ < > ] [ < 5 > 5 ] ) < [ < < ] ) > [ < ] ) 6 > [ ] ) > [ < ] ) 8 > [ > ] 5

26 5) > [ < < ] 6) > [ > 6] 7) > [ ] 8) 6 < [ < ] 9) 8 > [ < > ] ) < [ < ] 7 ) > [ < > 7 ] ) 9 9 > [ ] ) < [ < < ] 5 ) > ( ) ( ) [ < ] 5) 6 6 < ( ) [ impossibil e] 6) 6 [ ] 5 7) [ ] 6

27 7 III) Risolvi i seguenti sistemi ) 8 7 [( -; -)] ) 5 [ (; ) (; ) ] ) z z z [ (-; ; ) ] ) 8 ) ( [ ( ; 8 ) ( ; ) ] 5) < < 6 7 [ 9 < < ] 6) > < 6 5 [ < < ] 7) > > [ < < ] 8) ) )( ( [ < ]

28 Ripasso di geometria Gli argomenti essenziali da tenere presenti sono: Triangoli Criteri di congruenza e di similitudine di triangoli Punti notevoli di un triangolo (baricentro, incentro, circocentro e ortocentro) Somma degli angoli interni di un triangolo e di un poligono Teoremi di Euclide e Pitagora Quadrilateri Parallelogramma, rettangolo, rombo e quadrato e loro proprietà Trapezio Somma degli angoli interni in un quadrilatero Circonferenza Angoli al centro e angoli alla circonferenza Quadrilateri inscritti e circoscritti ad una circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 8

29 Problemi di geometria ) Dato un triangolo equilatero ABC di lato l, determina la lunghezza del segmento MN parallelo al lato AB tale che area ( MNC) area( ABC). 9 l [ MN ] ) Dato un triangolo equilatero parallelo al lato AB tale che area ( MNBA) area( MNC). ABC di lato l, determina la lunghezza del segmento MN l [ MN ] ) Dato il triangolo rettangolo ABC di cateti AC a e CB a, determina sul cateto AC un punto P tale che, detto H il piede della perpendicolare tracciata da P ad AB, si abbia area ( APH ) area( ABC). 5 [ AP a ] ) Data una semicirconferenza di diametro AB r, determina su essa un punto P tale che, condotta la corda PQ parallela ad AB, sia abbia p( ABQP) 5r. [ AP PQ QB r ] 5) Dato il triangolo isoscele ABC con base AB a e lati obliqui AC CB a, determina sul lato AC un punto P tale che, tracciata per P la parallela alla base AB e detto Q il suo punto di intersezione con BC, sia abbia area ( ABQP) area( ABC). [ PQ 5 a ] 6) Considera un rombo ABCD avente perimetro p a e area diagonali del rombo e il raggio r della circonferenza inscritta. A a. Determina le [ 6 a ; 8 a ; r a ] 5 9

30 7) Data una semicirconferenza di diametro AB r, determina un punto P sul prolungamento del diametro dalla parte di B tale che, condotta da P la tangente alla semicirconferenza e detto T il punto di tangenza, si abbia semicirconferenza. area ( OPT ) r dove O è il centro della [ OP 5r ] 8) Data una circonferenza di diametro AB r, determina sul diametro AB un punto P tale che, tracciata per P la corda CD perpendicolare al diametro AB, si abbia area ( ACBD) r. r [posto AP si ha, r ] 9) Dato un triangolo rettangolo ABC con cateti AC a e AB a, determina sul cateto AC un punto P tale che, tracciato il segmento PQ parallelo ad AB (con Q appartenente all ipotenusa) e il segmento QR perpendicolare ad AB ( R su AB) si abbia area ( PQRA) a. [ CP a ] ) Considera il triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di diametro r. Determina un punto P sul lato AB tale che area ( APC) area( PBC). [ AP r ] ) Considera un trapezio rettangolo ABCD avente altezza AD a e base minore CD a. Sapendo che la diagonale minore AC risulta perpendicolare al lato obliquo BC, determina sul lato obliquo un punto P tale che, tracciato il segmento PQ parallelo ad AC (Q su AB) si abbia area ( PQB) area( AQPC). [ PB a ]

31 ESERCITAZIONE Risolvi le seguenti equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni: ) 5 ) ) ( ) ) 5 5) < 6 5 6) > 5 7) > 6 6 8) > 9) 6 ) z z z Problema Dato un triangolo rettangolo ABC avente cateti AB a e AC a, determina su AB un punto P tale che, detta Q la proiezione ortogonale di P su BC, si abbia area ( PBQ) area( APQC). Problema Un triangolo isoscele ABC di base AB è inscritto in una circonferenza di raggio r. Sapendo che la base AB è uguale all altezza CH relativa alla base, determina la lunghezza della base AB e dei lati obliqui.