TRIANGOLI, CIRCONFERENZE E PUNTI NOTEVOLI

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1 TRINGOLI, IRONFERENZE E UNTI NOTEVOLI Mazza Lorenzo - Liceo Scientifico io XII (Roma) Incontri Olimpici - etraro, 9-2 ottobre 20 L'universo non potrà essere letto finché non avremo imparato il linguaggio ed avremo familiarizzato con i caratteri con cui è scritto E' scritto in linguaggio matematico, e le lettere sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza le quali è umanamente impossibile comprendere una singola parola ( ) Galileo Galilei Legenda: Tranne quando diversamente specificato, si farà sempre riferimento alle notazioni standard usate nei triangoli, vale a dire: i vertici sono,, e e con si indica l intero triangolo; le lunghezze dei lati sono a (lunghezza di ), b (lunghezza di ) e c (lunghezza di ); il circocentro è O, l'ortocentro è H e il baricentro è G; il raggio della circonferenza circoscritta è R Ricordando etraro 200 Teorema di Simson ( ) 2 : le proiezioni di un punto sui lati di un triangolo sono allineate se e solo se appartiene alla circonferenza circoscritta ad ( 3 ) La retta sulla quale giacciono le proiezioni del punto prende il nome di retta di Simson o retta pedale G Galilei, Il saggiatore, pag 7

2 2 Dal momento che i piedi delle altezze, e sono allineati, saranno anche allineati i simmetrici 2, 2 e 2 del punto rispetto ai tre lati del triangolo asta infatti applicare un omotetia di centro e rapporto 2 la quale manda in 2, in H 2 2 e in 2 e ricordare che ogni omotetia è una collineazione ( ) 4 Inoltre, dal momento che le omotetie mandano rette in rette parallele, la retta passante per 2, 2 e 2 sarà parallela alla retta di Simson Infine è possibile dimostrare che la retta sulla quale giacciono 2, 2 e 2 passa per l ortocentro H del triangolo 2 ( 5 ) Da ciò ne consegue che la retta di Simson biseca il segmento H Se il punto non dovesse appartenere alla circonferenza circoscritta al triangolo, i piedi delle altezze, e condotti da sui lati di non saranno più allineati Il triangolo prende il nome di triangolo pedale e il punto sarà il punto pedale di Si consideri il quadrilatero Esso è inscrivibile in una circonferenza in quanto ˆ ˆ o = = 90 e ne è un diametro pplicando il teorema della corda ad risulta α = sen (ove ˆ = α ) nalogamente risulta 2 α = R sen Dividendo membro a membro si ottiene = 2R 2 Tale teorema è noto anche come Teorema di Simson-Wallace essendo stato il matematico William Wallace il primo a scoprirlo e dimostrarlo nel er la dimostrazione visionare la lezione di Geometria della rofssa Tedeschi e la relativa esercitazione pomeridiana a cura di S di Marino e F Lo ianco presenti sul sito 4 Una collineazione è una trasformazione geometrica tale che a punti allineati fa corrispondere punti allineati Un omotetia è una collineazione Infatti siano, e tre punti allineati (con compreso fra e ); essi pertanto verificano l uguaglianza + = er le loro immagini si ha + = k + k = k( + ) = k = ; quindi anche, e sono allineati 5 er la dimostrazione consultare il testo di Honsberger R Episodes in Nineteenth and Twentieth entury Euclidean Geometry, The Mathematical ssociation of merica 37, 995 2

3 rocedendo con lo stesso ragionamento per gli altri lati del triangolo pedale, si giunge a scrivere le seguenti relazioni: a b ; c = = ; = 2R 2R 2R Esse valgono indipendentemente dalla posizione di ertanto se appartiene alla circonferenza circoscritta ad (e quindi il quadrilatero è ciclico) i punti, e sono allineati per quanto visto in precedenza e, supponendo che sia compreso fra e, risulta verificata la relazione = + ; moltiplicando entrambi i membri per 2R si ottiene b = c + a o equivalentemente = + il quale altro non è che il Teorema di Tolomeo per quadrilateri ciclici Nel caso in cui non dovesse appartenere alla circonferenza circoscritta ad, e quindi il quadrilatero non dovesse essere ciclico, per il triangolo pedale varrebbe la relazione < +, da cui discende che b < c + a o equivalentemente < + ( ) 6 Se dovesse coincidere con il circoncentro O di, allora = = = R, pertanto O R risulterebbe = = = (e così analogamente per gli altri due lati) Il triangolo 2R 2R 2 tr mediale prende il nome di triangolo mediale in quanto, e sono i punti medi dei lati di lcune considerazioni: Il triangolo mediale è simile al triangolo in un rapporto di a 2 I triangoli,, e sono uguali fra loro e hanno lo stesso baricentro Infatti si consideri la mediana di Il quadrilatero è un parallelogramma e pertanto ha le diagonali che si incontrano nel punto medio, in particolare M è uguale a M Ne M G G consegue che M è una mediana di (discorso analogo per e ) 6 Il teorema di Tolomeo può anche essere dimostrato sfruttando la similitudine fra triangoli riguardo, si veda la lezione di Geometria della rofssa Serre presente sul sito 3

4 Il circocentro di coincide con l ortocentro di iò discende dal fatto che gli assi dei lati di sono le altezze di visto il parallelismo fra i lati del triangolo mediale e di ( 7 ) Se dovesse coincidere con l ortocentro H di, il triangolo prende il nome di triangolo ortico In questo caso, oltre ai quadrilateri ciclici H, H e H, sono ciclici anche i quadrilateri, e Il triangolo ortico di un triangolo è interamente H contenuto nel triangolo dato se e solo se quest ultimo non è ottusangolo Nel caso di triangolo rettangolo, il suo triangolo ortico si riduce all altezza relativa all ipotenusa er ogni triangolo è possibile dimostrare il seguente teorema: L ortocentro H di un triangolo coincide con l incentro del triangolo ortico Essendo H ciclico, risulta ˆ H = ˆ ˆ H = Essendo H ciclico, risulta Hˆ = H ˆ ˆ = Infine essendo ciclico, risulta ˆ ˆ = ertanto ˆ ˆ H = H, quindi è bisettrice dell angolo ˆ nalogamente si dimostra che e sono bisettrici degli angoli ˆ e ˆ, da cui ne segue la tesi onsideriamo nuovamente il caso in cui sia un generico punto, stavolta scelto necessariamente all interno di ostruito il triangolo pedale, è possibile utilizzare lo stesso punto per costruire il triangolo pedale di (che chiameremo secondo triangolo pedale ) e così via Risulta: Il terzo triangolo pedale è simile al triangolo di partenza ( 8 ) 7 Indicato con H l ortocentro di e con O l ortocentro di, risulta H = 2 O visto il rapporto di similitudine fra e Inoltre G = 2 G e, poiché H e O sono entrambi perpendicolari a, saranno paralleli fra loro Ne discende che i triangoli HG e OG sono simili per il secondo criterio di similitudine, pertanto i tre punti sono allineati e HG = 2OG La retta passante per H, G e O prende il nome di Retta di Eulero Sullo stesso argomento si può consultare la lezione di Geometria della rofssa rofssa Tedeschi presente sul sito 8 La dimostrazione compare nella sesta edizione del libro di John asey, Sequel to the First Six ooks of the Elements of Euclid, 892 Nel 940 il matematico M Stewart ha dimostrato, più in generale, che l n-simo poligono 4

5 L TR EDLE er la dimostrazione bisogna innanzi tutto osservare che il punto appartiene alle circonferenze circoscritte ai triangoli, 2 2, , 2 2 e Ricordandosi che angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali, 2 3 risulta: ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ così come ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ Quindi ˆ = ˆ + ˆ = ˆ ˆ ˆ = 3 e in maniera analoga si dimostra che sono uguali le altre coppie di angoli, pertanto i triangoli e sono simili per il criterio di similitudine Una volta fissato il punto, è anche possibile calcolare la somma delle distanze di tale punto dai piedi delle sue altezze iò è particolarmente semplice nel caso di un triangolo equilatero; in particolare sussiste il seguente teorema (noto con il nome di Teorema di Viviani ( 9 ) ): Dato un punto interno o sui lati di un triangolo equilatero, la somma delle distanze dai lati è uguale all altezza del triangolo on riferimento alla figura a lato, si può osservare come l area del triangolo sia uguale alla somma delle aree dei triangoli, e Indicata con l la lunghezza dei lati del triangolo e con h l altezza, risulta: l h = l + l + l = l ( ) da cui h = + + K pedale di un qualsiasi poligono di n lati è simile al poligono originario (cfr m Math Monthly, vol 47, ug-sept 940, pp ) 9 Vincenzo Viviani ( ) Fu matematico e astronomo, allievo di Torricelli e discepolo di G Galieli 5

6 Il teorema di Viviani può essere generalizzato al caso di triangoli h qualunque ( ) 0 reso un punto interno o sui lati di un triangolo, indicate con, e le distanze di dai lati (o dai loro prolungamenti) del triangolo e con h, h 2 e h 3 le altezze del triangolo rispettivamente parallele a, e, sussiste l uguaglianza + + = h h h 2 3 Difatti in maniera analoga a quanto visto prima l area S di è pari alla somma delle aree di, e, cioè S = Dividendo primo e secondo membro per S si ottiene = + + e quindi la 2S 2S 2S tesi a meno di osservare che h2 h3 =, = e = 2S h 2S h 2S h 2 3 Sia dato un triangolo Indichiamo con, e i punti medi dei lati del triangolo, con D, E e F i piedi delle altezze F K H E e con K, L e M i punti medi dei segmenti H, H e H ( ) L M D 0 Il teorema di Viviani può anche essere generalizzato al caso di poligoni regolari di n lati: dato un punto interno o sui lati di un poligono regolare di n lati, indicata con a l apotema del poligono e con p, p 2,, p n le distanze del punto dai lati, allora risulta p + p p = n a n K, L e M, punti medi dei segmenti H, H e H, prendono il nome di punti di Eulero e il triangolo KLM prende il nome di triangolo di Eulero Un interessante proprietà, che non dimostriamo (cfr Thébault V roblem 4328 mer Math Monthly 56, 39-40, 949 e Thébault V; Ramler O J and Goormaghtigh R Solution to roblem 4328: Euler Lines, mer Math Monthly 58, 45, 95), riguarda le rette di Eulero dei triangoli FE, DF e ED: esse concorrono in un punto che giace sulla circonferenza dei nove punti e ciascuna di esse passa per un punto di Eulero Il triangolo di Eulero, inoltre, è uguale al triangolo mediale (cfr Kimberling Triangle enters and entral Triangles, ongr Numer 29, -295, 998) 6

7 Il segmento è parallelo a in quanto unisce i punti medi dei lati e del triangolo nalogamente, con riferimento al triangolo H, anche LM è parallelo a, pertanto LM e sono paralleli fra loro on lo stesso ragionamento sui triangoli H e H si osserva che segmenti L e M sono paralleli tra loro, pertanto LM è un parallelogramma Inoltre la perpendicolarità fra e H implica che LM è un rettangolo nalogamente è possibile dimostrare che KL e MK sono rettangoli Dal momento che fra loro hanno in comune due vertici opposti, a due a due hanno in comune anche una diagonale (ad es LM e MK hanno in comune la diagonale M); i segmenti K, L e M possono pertanto essere visti come diametri di un unica circonferenza passante per K, L, M,, e Dalla perpendicolarità degli angoli ˆ DK, MF ˆ e LE ˆ discende che anche D, E e F passano per la stessa circonferenza, la quale prende il nome di circonferenza dei nove punti, conosciuta come circonferenza di Eulero o circonferenza di Feuerbach ( ) 2 ppare chiaro come essa sia la circonferenza circoscritta al triangolo mediale e al triangolo ortico DEF Il suo raggio è pari alla metà del raggio R della circonferenza circoscritta ad Nel triangolo risulta che HG = 2GO (vedi nota 7); nel triangolo mediale, indicati con H, G e O l ortocentro, il baricentro e il circoncentro, per quanto detto in precedenza avremo O H e G G ; risulterà che H G = 2G O con O centro della circonferenza circoscritta al triangolo mediale (quindi centro della circonferenza dei nove punti) nonché punto medio di OH H O G G O H i limitiamo infine ad enunciare, senza dimostrare, il teorema di Feuerbach: La circonferenza dei nove punti di un triangolo è tangente alla circonferenza inscritta e alle tre circonferenze ex-inscritte ad ( 3 ) 2 dispetto del nome dato alla circonferenza, la dimostrazione completa di questo teorema non è da attribuirsi ad Eulero ma a JV oncelet, il quale la pubblicò nel 82 Eulero, nel 765, era comunque riuscito a provare che triangolo ortico e triangolo mediale hanno la stessa circonferenza circoscritta (cfr oxeter HSM and Greitzer SL Geometry Revisited, The Mathematical ssociation of merica 9, 967) 3 er la dimostrazione del teorema: oxeter HSM and Greitzer SL Geometry Revisited, The Mathematical ssociation of merica 9, 967 Ricordiamo che una circonferenza si dice ex-inscritta quando è tangente ad un lato di un triangolo e al prolungamento degli altri due I tre centri di tali circonferenze prendono il nome di excentri 7

8 Esercizi roblema : Trovare un punto tale che i piedi delle quattro perpendicolari condotte da esso sui lati di un quadrilatero D siano allineati Si prolungano i lati opposti e D fino ad incontrarsi in E e i lati e D in F I triangoli E e F Q E contengono entrambi i lati e, oltre a contenere rispettivamente i lati D e D del quadrilatero D N Le circonferenze circoscritte ai due triangoli si D M incontrano in e in un punto er il Teorema di Simson i piedi delle altezze L, N, Q sui lati del triangolo E sono allineati, così come sono allineati i piedi F L delle altezze L, M e Q sui lati del triangolo F Le due rette, avendo due punti in comune, coincidono; pertanto rappresenta il punto richiesto roblema 2: E dato un triangolo e un suo punto interno Le retta, e intersecano la circonferenza circoscritta al triangolo rispettivamente nei punti 2, 2 e 2 Dimostra che il triangolo pedale è simile a I quadrilateri e sono banalmente ciclici, pertanto ne risulta ˆ ˆ ˆ = = e ˆ ˆ =, da cui ne consegue che ˆ = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ = ˆ nalogamente si dimostra l uguaglianza delle altre coppie di angoli; i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine fra triangoli 2 roblema 3: E dato un triangolo di area S Indicato con p il semiperimetro del triangolo ortico, dimostrare che S = p R ( ) 4 4 E anche possibile dimostrare che il triangolo ortico è, fra tutti i triangoli inscrivibili in un dato triangolo, quello con perimetro minimo (problema di Fagnano) 8

9 Dimostriamo dapprima che i tre raggi O, O e O sono perpendicolari ai lati del triangolo ortico Infatti poiché O ˆ = 2α (essendo angolo al centro che insiste sullo stesso arco di ˆ = α ) H O e poiché il triangolo O è isoscele sulla base, risulta che O ˆ = 90 o α Inoltre essendo con i segmenti e ciclico, ˆ + ˆ 80 = o, pertanto ˆ = α Ne consegue che è perpendicolare a O nalogamente è possibile dimostrare la perpendicolarità dei raggi O e O rispettivamente Il triangolo può essere scomposto in tre quadrilateri (O, O e O ), ciascuno con le diagonali perpendicolari ertanto le loro aree possono essere calcolate effettuando il semiprodotto delle diagonali Risulta: S = O + O + O = R ( + + ) = R 2 p = R p roblema 4: Sia l intersezione dell altezza relativa al lato con la circonferenza circoscritta ad un triangolo Dimostrare che la distanza del centro O della circonferenza dei nove punti dal lato è pari a 4 on riferimento alla figura, essendo HD e O paralleli fra loro, il quadrilatero HD O è un trapezio con O punto medio di OH ertanto, indicata con Q = + 2 la sua proiezione su, risulta O Q ( O HD ) Ora O = H e 2 HD = 2 H cerchio 9 punti ( 5 ), pertanto H D Q O O O Q = H + H = ( H + H ) = er quest ultima relazione si faccia riferimento alla lezione di Geometria del rof arsanti presente sul sito problema n 9 9

10 roblema 5: E dato un triangolo isoscele Dimostrare che, preso un punto sulla base, la somma delle sue distanze e dai lati obliqui è pari all altezza h 2 relativa ai lati obliqui er il teorema di Viviani sappiamo che + + = ove è la distanza del punto h h h 2 3 dalla base, h l altezza relativa alla base e h 2, h 3 le altezze relative ai lati obliqui e Dal momento che = 0 e h2 h3 =, si ottiene che h + =, h 2 2 quindi + = h2 roblema 6 (IMO 2003 n 4): Sia D un quadrilatero ciclico Siano, Q e R i piedi delle perpendicolari condotte da D rispettivamente sui lati, e Dimostrare che Q e solo se le bisettrici di ˆ e ˆ D si incontrano su = QR se er il teorema di Simson, i punti, Q e R sono allineati Dal momento che D ˆ = DQ ˆ = 90 o, il quadrilatero risulta: D Q QR D D DR QR = = = D D Q D Q R DQ è ciclico e pertanto D ˆ = DQ ˆ = DR ˆ ; anche il quadrilatero DQR è ciclico e quindi D ˆ = DR ˆ Ne consegue che i triangoli D e DR sono simili nalogamente si dimostra che sono simili i triangoli D e DQ così come D e DRQ ertanto Ne consegue che Q = QR se e soltanto se D D e = ove quest ultima relazione è del tutto equivalente a chiedere che le bisettrici di ˆ ˆ D si incontrino su a meno di ricordare il teorema della bisettrice 0