Formule goniometriche

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1 Appunti di Matematica Formule goniometriche Come possiamo calcolare ( + β )? E chiaro che non può risultare ( β ) + β + : se infatti fosse così e per esempio β avremo + + +! Dobbiamo ricavare delle relazioni che ci permetteranno di calcolare il o, il coo e la tangente di una somma o di una differenza di angoli. Formule di addizione e sottrazione ) Cominciamo con questa osservazione: se riportiamo su una circonferenza goniometrica due angoli e β, per esempio con > β come in figura, possiamo considerare l angolo β e riportarlo con il primo lato sul semiasse positivo delle x. Avremo quindi: P Q T A ( cos; ) ( cos β; β ) ( cos( β ); ( β )) ( ;0 ) Poiché AOT QOP β allora avremo anche PQ AT e possiamo scrivere: e sviluppando abbiamo: ( cos cos β ) + ( β ) [ cos( β ) ] + ( β ) 7

2 Appunti di Matematica cos cos cos β + cos Quindi poiché : β + β + + cos, β + cos β β cos β + β, ( ) cos ( ) ( β ) cos( β ) + + ( β ) avremo: + cos cos β β + cos ( β ) e quindi cos ( β ) cos cos β + β Quindi abbiamo ricavato la formula di sottrazione per il coo. Esempio ( 0 ) cos cos ( ) cos cos + Da questa formula possiamo anche ricavare cos ( + β ): basta infatti scrivere β ( β ) +. Quindi avremo, poiché cos ( β ) cos β mentre ( β ) β : cos ( + β ) cos[ ( β )] cos cos( β ) + ( β ) cos cos β β Quindi cos ( + β ) cos cos β β Esempio ( + 0 ) cos cos0 0 ( ) cos 7 cos 8

3 Appunti di Matematica ) Come si possono ricavare ( β ) e ( + β )? Ricordando che il o di un angolo è uguale al coo dell angolo complementare possiamo scrivere: ( β ) cos ( β ) cos + β cos cos β β cos β cos β Quindi ( β ) cos β cos β Allora + β β cos β cos β cos β + cos ( ) [ ( )] ( ) ( ) β ( + β ) cos β + cos β Esempio ( ) ( 0 ) cos0 cos 0 ( ) ) E come si calcola ( β ) e ( + β )? ( β ) cos ( β ) cos β cos seβ ( β ) cos cos β + β Se dividiamo numeratore e denominatore per Allora ( a + β ) [ ( β )] cos cos β otteniamo: ( β ) + ( + β ) β + β ( β ) + β ( β ) β + β β Esempio ( ) ( 0 )

4 Appunti di Matematica Problema Dato il triangolo ABC, acutangolo, sappiamo che A e B. Se AC l possiamo risolvere il triangolo, cioè determinare tutti gli altri suoi elementi? cos ( è acuto) β β AH 7 l l CH l l HB CH l AB l CB CH l C ( β ) + C e ( ( + β )) ( + β ) Angolo formato tra due rette 7 cos β + cos β + Ricordando che il coefficiente angolare di una retta, nel piano cartesiano, è uguale alla tangente dell angolo formato dalla retta con il semiasse positivo delle x, possiamo ricavare l angolo (o la tangente dell angolo) formato da due rette di equazione assegnata? Per semplicità disegniamo due rette per l origine. r : y m x m s : y m' x β m' Se e β sono angoli acuti (come in figura), cioè m e m sono positivi con m ' > m, l angolo acuto γ formato da r e s avrà tangente γ ( β ) β m' m + β + m m' 0

5 Appunti di Matematica Esempio Considera le rette di equazione : r : y x m s : y x m ' ( ) γ β γ + Naturalmente abbiamo anche γ ' γ Esempio Dato il triangolo di vertici O ( 0;0), A ( 6;) ( ;) angoli. B, determina le tangenti goniometriche dei suoi r r OA OB : y x : y x AOB γ AOB + r AB m La tangente di β non può essere calcolata perché r OB è perpendicolare a r AB e quindi 6 γ + 6 Infatti OAB è un triangolo rettangolo isoscele. β.

6 Appunti di Matematica Formule di duplicazione Come possiamo calcolare il o, il coo e la tangente dell angolo? Utilizzando le formule di addizione abbiamo: ( + ) cos + cos cos cos ( + ) cos cos cos cos cos cos cos + ( + ) Esempio: dato un triangolo isoscele ABC di base AB, se sappiamo che, con l angolo adiacente alla base, possiamo determinare le funzioni goniometriche dell angolo al vertice C? cos C C ( ) 9 cos Conoscendo C possiamo poi determinare anche coo e tangente. Osservazione: cos può essere sviluppato in due modi diversi utilizzando la relazione + cos. cos cos cos ( cos ) cos

7 Appunti di Matematica Formule di bisezione Come possiamo calcolare il o, il coo e la tangente dell angolo? Osserviamo che a) Se sostituiamo. Proviamo a sviluppare cos cos cos cos abbiamo: cos cos b) Se sostituiamo cos abbiamo: cos cos + cos cos Ricaviamo infine una formula per calcolare : cos * ** + cos + cos cos cos *Nota: moltiplico numeratore e denominatore per cos + cos **Nota: cos cos Se avessimo moltiplicato per avremmo ottenuto invece: cos cos cos cos cos Osserviamo che le due espressioni sono equivalenti poiché: cos ( cos )( + cos ) cos + cos + cos + cos ( ) ( ) ( ) + cos

8 Appunti di Matematica Esempio : dato un triangolo isoscele acutangolo e il lato BC l, possiamo risolvere il triangolo? ABC di base AB, se conosciamo C Ponendo C γ è chiaro che per risolvere il triangolo abbiamo bisogno delle funzioni goniometriche dell angolo γ γ cosγ 6 (poiché il triangolo è acutangolo il coo è positivo ) Quindi 7 γ 9 γ Allora 6 HB l AB l e A γ B Esempio : dato un triangolo isoscele ABC di base AB, se conosciamo ( angolo adiacente alla base) e il raggio r della circonferenza inscritta, possiamo risolvere il triangolo? cos ( è acuto) ;cos OH r r HB r AB r HB r HB 9 CB r cos 0 ( ) cos C C

9 Appunti di Matematica Approfondimenti ) Proviamo a ricavare e cos in funzione della formule parametriche ). ( si otterranno le cosiddette cos Possiamo a questo punto dividere per e ricordare che può essere pensato anche come + cos : cos e quindi + cos + a + (abbiamo diviso numeratore e denominatore per Analogamente : cos ) cos cos cos cos e quindi + cos + cos a + ) Possiamo trovare delle formule per calcolare, per esempio, cos β oppure + β oppure cos + cos β? + + cos Partiamo da questa osservazione: ( β ) ( β ) β Quindi: cos β [ ( + β ) + ( β )] (Analogamente se voglio ricavare D altra parte se poniamo p + q + β p e quindi β q p q β cos cos β posso partire da.). p + q p q p + q cos

10 Appunti di Matematica ) Determina il lato dell ottagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. Poiché dovrò calcolare 8 ( 8 AH r l8 r ). 8 8 cos 8 8 ) Determina il lato del dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. Poiché dovrò calcolare ( AH r l r ). 6 cos 6 6

11 Appunti di Matematica ) Determina il lato l del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. Possiamo determinare il lato l del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r utilizzando il teorema della corda e abbiamo l r Ma come possiamo calcolare il? Possiamo svilupparlo così: cos Il problema è quindi calcolare il. 0 Poiché si dimostra, con l uso della similitudine, che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r l 0 è la sezione aurea del raggio, abbiamo r ± r r : l0 l0 : ( r l0 ) l0 r r l0 0 l0 + r l0 r 0 l0 l0 ( ) r Ma per il teorema della corda, abbiamo : l 0 r e quindi 0 0 In conclusione: l r r r cos r ( ) ( cos ) ( ) 0 + r 7

12 Appunti di Matematica Problemi Triangolo rettangolo e formule goniometriche ) In un triangolo ABC il lato AC l, triangolo e γ., cos β. Determina gli altri lati del [ AB l, CB l, γ ] ) In un triangolo isoscele ABC di base AB, cos, AC BC l. Determina perimetro e area del triangolo e le funzioni goniometriche dell angolo al vertice C γ. 8 7 [ p l, A l, γ, cosγ, γ ] ) In un triangolo isoscele ABC di base AB, il lato obliquo misura l e cos C. Determina perimetro e area del triangolo. 6 [ p l ; A l ] ) Un triangolo isoscele ABC di base AB e avente cos C è inscritto in una circonferenza di raggio r. Determina i lati del triangolo e le funzioni goniometriche dell angolo alla base. [ AB r ; AC r ; ABC,..] ) In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB 6, il lato obliquo BC 0 e 7 cos ABC. Determina base minore e altezza del trapezio. Dopo aver verificato che il trapezio è circoscrivibile ad una circonferenza, detto O il suo centro, calcola COD. 7 [ DC ; AD 8 ; COD ] 6) Considera una semicirconferenza di raggio r e centro O e sia ABCD un trapezio rettangolo ad essa circoscritto. Sapendo che cos ABC (AB base maggiore del trapezio ), determina i lati del trapezio e calcola OCB. [ AB r + r ; CB r ; r DC r + ; AD r OCB ] 8

13 Appunti di Matematica 7) Considera il trapezio isoscele ABCD, circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r e centro O, avente ABC ( AB base maggiore del trapezio, BC lato obliquo ). Determina i lati del trapezio e OCB. [ CB AD r ; AB r ; DC r ; OCB ] 8) Un trapezio rettangolo ABCD (base maggiore AB ) è circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r e cos ABC ( ABC angolo adiacente alla base maggiore ). Determina i lati del trapezio e OCB. [ CB r ; AD r ; DC r ; AB r ; OCB ] 6 9) Determina la tangente goniometrica dell angolo γ acuto formato dalle rette di equazione r : y x, s : y x. Disegna le due rette e l angolo γ. Utilizzando la calcolatrice determina il valore approssimato di γ. [ γ, γ 6, 87 ] 0) Determina la tangente goniometrica dell angolo γ acuto formato dalle rette di equazione r : y x, s : y x. Disegna le due rette e l angolo γ. Utilizzando la calcolatrice determina il valore approssimato di γ. [ γ, γ, ] 9