Applicazioni dell algebra alla geometria
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- Romeo Conti
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1 Risoluzione guidata Problema. Il triangolo isoscele ABC ha l angolo al vertice Ĉ che misura 120 e la base AB lunga 24 cm. Da un punto P sul lato AC si tracci la parallela al lato CB che incontra AB in K. Determinare AP in modo che il perimetro del trapezio PKBC sia pari a cm. Analisi del testo Traduzione analitica 1. Esaminare i dati del problema: PROPRIETÀ DELLA FIGURA RELAZIONI TRA GRANDEZZE 1.a Triangolo isoscele ABC 1 AC...; AM... AB 1.b Angolo al vertice 1 AĈB... AĈM... ; MĈB... CÂM... ; CBˆM... 1.c Lunghezza del lato 1 AB... AC...; AM... CM... 1.d Condizione di parallelismo 1 CB... 1.e Tradurre la condizione del testo: perimetro del trapezio PKBC S Individuare ulteriori proprietà della figura: PROPRIETÀ DELLA FIGURA RELAZIONI TRA GRANDEZZE 2.a Triangoli rettangoli 1... Triangoli simili c Triangoli uguali Definire l incognita e imporre le condizioni geometriche sull incognita scelta: 3.a... x 3.b... x
2 3.c Disegnare le figure corrispondenti ai valori limite per l incognita e calcolare il perimetro del trapezio in corrispondenza dei due valori limite. Risoluzione algebrica 4. Impostare e risolvere algebricamente il problema: 4.a Determinare in funzione di x le altre grandezze geometriche che compaiono nella condizione 1.e: b Scrivere l equazione risolvente e trovarne la soluzione:... SOLUZIONE x... 4.c re le condizioni di accettabilità della soluzione. 4.d Disegnare la figura in corrispondenza della soluzione del problema. Problema 5. Facoltativo. Con riferimento alla figura e ai dati dell esercizio precedente, risolvere questo nuovo problema in cui la condizione diventa la seguente: Determinare AP affinché il trapezio PKBC sia circoscrittibile a una circonferenza. 235
3 Problemi di secondo grado Problema. In un trapezio rettangolo ABCD di area 169 pari a si vuole inscrivere una circonferenza 81 m2 di raggio R 2. 3 m Determinare le distanze del punto P di tangenza della circonferenza con il lato obliquo dagli estremi del lato obliquo stesso (PC, PB). Determinare, inoltre, il perimetro del trapezio. Analisi del testo Proprietà della figura Traduzione analitica Risoluzione algebrica 1.a Esaminare i dati del problema. 2. Individuare alcune proprietà della figura: 2.a Dimostrare che tutti i trapezi rettangoli sono circoscrittibili a una circonferenza. Individuare (giustificando la risposta) tutti i segmenti congruenti in figura. 2.c Che tipo di quadrilateri sono EOGD e EOAF? 2.d Dimostrare che il triangolo formato dal centro della circonferenza inscritta e dagli estremi del lato obliquo è rettangolo. 3.a Scegliere la/le incognita/e e imporre le condizioni geometriche. 3.b Disegnare la figura nelle condizioni limite. 4.a Formalizzare il problema in funzione delle incognite e trovare la soluzione. 4.b Disegnare la figura in corrispondenza della soluzione. 236
4 Capitolo Circonferenze inscritte e circoscritte Problema. Del triangolo ABC si conoscono le misure dei lati: AB 42 cm AC 21 cm BC 33 cm Area Circonferenza inscritta Circonferenza circoscritta 1.a Calcolare l area del triangolo ABC. 2.a Calcolare il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo. Calcolare la distanza dei punti di tangenza della circonferenza inscritta dai vertici del triangolo ABC. 2.c Calcolare la distanza del centro della circonferenza inscritta dai vertici del triangolo ABC. 3.a Calcolare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. 237
5 Risoluzione guidata: verifica [Conoscere le proprietà del triangolo isoscele] [Riconoscere triangoli simili] [Riconoscere triangoli uguali] Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di primo grado Problemi di secondo grado: verifica 1; 2 2.c 1; 2; 3; 4; 5 3.b; 3.c; 4.c 3.b; 3.c; 4.c 1.e 3.a 3.b 4.a 4.b 5 PK KB BC CP AP x 0 x 823 PC 823 x AP 4 cm AP cm Soluzioni esercizi cm verifica: PK x tempo previsto: 60 min KB 24 x23 BC 823 tempo previsto: 60 min [Conoscere le proprietà del trapezio rettangolo] [Applicare i teoremi di Euclide] [Applicare il teorema delle tangenti] Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di secondo grado 3.a 3.c CP x PB y x 8 y 3 ; perimetro m Circonferenze inscritte e circoscritte: verifica 2.a; 4.a 3.a; 3.b; 4.a 3.a; 3.b 3.a; 3.b tempo previsto: 60 min Calcolare l area di un triangolo tramite la formula di Erone e le lunghezze degli elementi di un triangolo Calcolare il raggio delle circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli [Conoscere le proprietà delle circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli] Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di primo grado 1.a 2.a 2.c 3.a 1.a 2.a; 3.a 3.a; 2.a tempo previsto: 30 min S cm 2 r cm 27 cm; 6 cm; 15 cm OC cm R 210 cm 80 OA cm 4 OB cm 4
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