I QUADRILATERI. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2. d tot. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S I = 360 S E 1. IL TRAPEZIO

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1 I QUADRILATERI Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati. Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro variandone le proprietà fondamentali. Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA : 1. TEOREMA DELLA FORMA - il quadrilatero è una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono tutti i quadrilateri conosciuti; 2. TEOREMA DELLE DIAGONALI - il quadrilatero ha due diagonali; d tot = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2 3. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella degli angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 360 ; S I = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S E = IL TRAPEZIO E un quadrilatero con 2 lati paralleli. AH = proiezione del lato obliquo 2 lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore) 2 lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI) 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari 4 angoli differenti tra loro TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari. Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione: Â + ˆD = ˆB + Ĉ = 180 trapezio RETTANGOLO trapezio ISOSCELE - un lato è perpendicolare alle basi (AD) - i lati obliqui sono congruenti (AD = BC) - le diagonali sono congruenti (AC = BD) - gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (A = B) e (D = C) - le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)

2 PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI ES 1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di 72 cm e il lati obliqui che misurano ciascuna 12 cm. Sapendo che la base maggiore è 5 3 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore. ES 2 : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 20 cm. Sapendo che la base maggiore supera la minore di 8 cm e che una è 1 3 dell altra, calcola l altezza del trapezio. PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI ES : Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 5 dell altro. 3

3 2. IL PARALLELOGRAMMA E un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli. AH = altezza del lato DC AK = altezza del lato CB 2 lati paralleli uguali dette BASI altri 2 lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari angoli opposti uguali TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari. Â + ˆD = ˆD + Ĉ = ˆB + Ĉ = Â + ˆB = 180 PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI ES 1 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5 3 del suo consecutivo, calcola la misura dei lati del parallelogramma. PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI ES : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 2 dell altro. 7

4 3. IL RETTANGOLO E un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli. I lati consecutivi sono perpendicolari 2 lati paralleli e uguali sono detti BASI 2 lati paralleli e uguali sono dette ALTEZZE 2 diagonali uguali tra loro e non perpendicolari 4 angoli uguali di 90 PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI ES 1 : Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm. Sapendo che la base è 5 7 dell altezza, calcola la misura dei lati del rettangolo. ES 1 : Un rettangolo ha il perimetro di 112 cm. Sapendo che la differenza della base e dell altezza misura 35 cm, calcola le dimensioni del rettangolo.

5 4. IL ROMBO E un quadrilatero equilatero con gli angoli a due a due opposti uguali. 4 lati uguali a due a due paralleli 2 diagonali differenti, ma perpendicolari gli angoli opposti uguali TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari. Â + ˆD = ˆD + Ĉ = ˆB + Ĉ = Â + ˆB = 180 TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60 ciascuno, allora la diagonale minore è congruente al lato TEOREMA DELL ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l altezza perpendicolare al lato. PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI ES 1 : Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i 2 7 dell altro.

6 ES 2 : Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60 ciascuno e sapendo che la somma della diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è 1 dell altra IL QUADRATO E un quadrilatero equilatero ed equiangolo 4 lati uguali i lati opposti uguali e paralleli 2 diagonali uguali tra loro e perpendicolari 4 angoli uguali di 90