Il Teorema di Pitagora
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- Alessandra Vitali
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1 Il Teorema di Pitagora I Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. II Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo l area del quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. 1
2 APPLICAZIONE: Quindi per l enunciato del Teorema di Pitagora: da cui si ottengono le formule inverse: Estraendo la radice quadrata si ottiene: Esempio: Dato un triangolo rettangolo con l ipotenusa di 25 cm e un cateto di 20 cm, calcolare l altro cateto. i=25cm C=20cm c=? 2
3 Def: Si dice TERNA PITAGORICA un insieme di tre numeri tali che la somma dei quadrati dei due numeri minori è uguale al quadrato del numero maggiore: Esempio: formano una terna pitagorica, infatti: 5, 12, 13 OSSERVAZIONE: le terne pitagoriche possono essere utilizzate sfruttando la proprietà invariantiva, ovvero moltiplicando i tre numeri per uno stesso fattore: (moltiplico tutti i numeri per 2): 6, 8, = 100 (moltiplico per 3) 9, 12, = 225 Proprietà: in un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa si calcola nel seguente modo: oppure Uguagliando le due formule: Semplifichiamo i denominatori: 3
4 Per la formula inversa: oppure Applicazioni del Teorema di Pitagora Quindi: La diagonale del rettangolo individua due TRIANGOLI RETTANGOLI: DIAGONALE = ipotenusa del triangolo rettangolo BASE e ALTEZZA = cateti del triangolo rettangolo Formule inverse: La diagonale divide il quadrato in due TRIANGOLI RETTANGOLI ISOSCELI: Diagonale = ipotenusa Lato = cateto FORMULA INVERSA 4
5 La radice al denominatore non si lascia, si deve RAZIONALIZZARE: moltiplicare numeratore e denominatore per Il lato si trova facendo: Esempio: l=? Esempio: l = 15 cm d =? Il triangolo rettangolo isoscele è esattamente la metà di un quadrato: IPOTENUSA = diagonale del quadrato CATETI = lato del quadrato Quindi, se Se allora allora 5
6 Dividendo a metà un triangolo EQUILATERO, si trovano due triangoli RETTANGOLI con un angolo di e uno di : IPOTENUSA = lato del triangolo Equilatero CATETO MAGGIORE = altezza del triangolo Equilatero CATETO MINORE = metà del lato Per trovare l ALTEZZA del triangolo Equilatero: Dove: e Allora: ( ) ( ) In un triangolo equilatero l altezza si calcola: 6
7 Esempio: triangolo equilatero di lato = 20 cm, calcolare l altezza. FORMULA INVERSA: Si deve razionalizzare il denominatore, moltiplicando per : In un triangolo equilatero il lato si calcola: Esempio: triangolo equilatero, con h=27 cm. Calcolare il perimetro e l area. h=27 cm P=? A=? 7
8 L altezza del triangolo isoscele è anche MEDIANA: divide a metà la base. Il triangolo HBC è rettangolo, con: ipotenusa = lato del triangolo isoscele cateto = cateto = altezza del triangolo isoscele Quindi: e ( ) Formule inverse: ( ) 8
9 Riepilogo sul Teorema di Pitagora applicato ai triangoli È LA META DI UN QUADRATO È LA META DI UN TRIANGOLO EQUILATERO 9
10 Le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli congruenti: ipotenusa = lato del rombo cateto = (diagonale maggiore diviso 2) cateto = (diagonale minore diviso 2) ( ) ( ) ( ) Ci sono tre casi possibili: a) L altezza CH individua un triangolo rettangolo CHB: ipotenusa = lato obliquo cateto = h (altezza) cateto = (B - b) (proiezione del lato sulla base maggiore) 10
11 b) La diagonale maggiore individua un triangolo rettangolo ABD: Ipotenusa = D (diagonale maggiore) Cateto = h Cateto =B (base maggiore) c) la diagonale minore individua il triangolo ACD: Ipotenusa = d (diagonale minore) Cateto = h Cateto = b Le altezze individuano due triangoli rettangoli congruenti: Ipotenusa = lato obliquo del trapezio Cateto = h Cateto = (proiezione del lato obliquo sulla base maggiore) Per calcolare il LATO OBLIQUO del TRAPEZIO: ( ) 11
12 La diagonale e l altezza individuano il triangolo rettangolo ACH, costituito da: Cateto = h Cateto = ( ) Ipotenusa = d 12
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