GEOMETRIA SOLIDA PIRAMIDE. Prof.ssa M. Rosa Casparriello

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1 GEOMETRIA SOLIDA PIRAMIDE Prof.ssa M. Rosa Casparriello Scuola media di Cervinara 2007/2008

2 DEFINIZIONE La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono, aventi tutti un vertice in comune.

3 ELEMENTI DI UNA PIRAMIDE V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base M

4 PIRAMIDE Elementi della piramide faccia laterale

5 PIRAMIDE Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE

6 Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE

7 Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale?. 6 Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?.. isoscele

8 PIRAMIDE RETTA abbiamo detto che se nel poligono di base si può inscrivere una circonferenza e se l altezza della piramide cade al centro di questa circonferenza, allora abbiamo una piramide retta. Le facce laterali sono tutti triangoli diversi, ma aventi tutti la stessa altezza: è l ipotenusa dei triangoli rettangoli con cateto pari al raggio e altro cateto pari all altezza. CIASCUNA DI QUESTE ALTEZZE PRENDE IL NOME DI APOTEMA DELLA PIRAMIDE

9 PIRAMIDE INDICANDO CON A L APOTEMA, CON R IL RAGGIO E CON H L ALTEZZA, ALLORA APPLICANDO IL TEOREMA DI PITAGORA POSSIAMO SCRIVERE: a= h^2+ r^2 h= a^2- r^2 r= a^2- h^2

10 PIRAMIDE RETTA Abbiamo detto che una piramide retta avente per base un poligono regolare è detta piramide regolare. In una piramide regolare: tutti gli spigoli sono congruenti; Tutti i triangoli che formano le facce laterali sono isosceli e congruenti.

11 PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VHB: l ipotenusa vb è lo spigolo laterale, vh è l apotema, bh= ½ l Quindi: s= a^2+ (l/2)^2 a= s^2- (l/2)^2 l/2= s^2- a^2

12 PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VKB: l ipotenusa vb è lo spigolo laterale, vk è l altezza, kb è il raggio della circonferenza circoscritta Quindi: s= h^2+ r^2 h= s^2- r^2 r= s^2- h^2

13 PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VKH: l ipotenusa vh è l apotema, il cateto vk è l altezza, il cateto vh è il raggio della circonferenza inscritta Quindi: a= h^2+ r^2 h= a^2- r^2 r= a^2- h^2

14 Superficie della piramide Riprendiamo l immagine che abbiamo visto in precedenza relativa allo sviluppo sul piano di una piramide Notiamo che lo sviluppo è costituito dal poligono di base e da tanti triangoli aventi per altezza l apotema della piramide e per base gli spigoli di base.

15 Superficie della piramide L area della superficie laterale è data dalla somma delle aree di questi triangoli. Ricordiamo perché lo abbiamo già visto (Raffaele) che la somma di più triangoli aventi la stessa altezza è equivalente ad un unico triangolo avente per base la somma delle basi e per altezza la stessa altezza. Quindi indicando con Al l area della superficie laterale, con P il perimetro di base (o se volete con 2p), e con a l apotema, avremo: Al=P a/2 Da cui le formule inverse

16 Superficie della piramide Regola: l area della superficie laterale di una piramide retta si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell apotema e dividendo per 2 il prodotto ottenuto. Regola: l area della superficie totale di una piramide retta si calcola addizionando l area del poligono di base all area della superficie laterale

17 Volume della piramide retta Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la base equivalente e l altezza congruente a quella della piramide. V= Ab h/3 Regola: il volume di una piramide si calcola moltiplicando l area di base per l altezza e dividendo il prodotto per 3.