I TEOREMI DI EUCLIDE
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- Sebastiano Graziani
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1 I TEOREMI DI EUCLIDE
2 1 Teorema di Euclide Dato il triangolo rettangolo ABC: consideriamo i triangoli ABC e ABH simili I due triangoli sono simili perché se consideriamo gli angoli: - l'angolo A è comune a tutti e due (è quindi lo stesso); - i due triangoli hanno entrambi un altro angolo che è retto (l'angolo in B per il primo triangolo e l'angolo in H per il secondo triangolo; - visto che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180, il terzo angolo dovrà per forza essere congruente (l'angolo in C del primo triangolo e l'angolo in B del secondo)
3 Stabilito che i due triangoli rettangoli sono simili, vediamo adesso quali sono i lati corrispondenti: triangolo ABC triangolo ABH ipotenusa AC AB cateto minore AB AH cateto maggiore BC BH ALLORA POSSIAMO SCRIVERE LA PROPORZIONE: in parole: AC : AB = AB : AH in un triangolo rettangolo un cateto (AB) è medio proporzionale tra l'ipotenusa (AC) e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa (AH)
4 Per il triangolo ABC allora, possiamo scrivere le proporzioni: AC : AB = AB : AH e AC : BC = BC : HC () noti due dei tre elementi, le proporzioni possono essere utilizzate per calcolare: - l'ipotenusa AC = AH AB 2 AC = BC2 HC - un cateto AB = AC x AH BC = AC x HC - la proiezione del cateto sull'ipotenusa AH = AB2 AC HC = BC2 AC () si ricava dal confronto tra i triangoli simili ABC e BCH
5 Problema Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo in cui il cateto minore è lungo 6 cm e la sua DATI AB = 6 cm AH = 3,6 cm INCOGNITA 2p =? 6 cm 3,6 cm RISOLUZIONE per calcolare il perimetro, devo prima calcolare i lati mancanti: 2 2 AB 6 36 (applicando il 1 teor. di AC = = = = 10 cm Euclide) AH 3,6 3,6 (applicando il teor. di Pitagora) BC = AC - AB = 10-6 = = 64 = 8 cm 2p = AC + AB + BC = = 24 cm
6 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL 1 TEOREMA DI EUCLIDE "In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sul cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa" Infatti da: deriva: AC : AB = AB : AH 2 AB = AH x AC area del quadrato costruito sul cateto area del rettangolo AHJL poiché AJ = AC e da: AC : BC = BC : HC deriva: area del quadrato costruito sul cateto 2 BC = HC x AC area del rettangolo HCKL poiché CK = AC
7 2 Teorema di Euclide Dato il triangolo rettangolo ABC: consideriamo i triangoli ABH e BHC simili I due triangoli sono simili perché se consideriamo gli angoli: - l'angolo in H è retto in entrambi i triangoli; - gli angoli ABH e BCH sono congruenti poiché: - gli angoli HBC e BAH sono congruenti poiché: [ [ ABH + HBC = 90 BCH + HBC = 90 HBC + ABH = 90 BAH + ABH = 90
8 Stabilito che i due triangoli rettangoli sono simili, vediamo adesso quali sono i lati corrispondenti: triangolo ABH triangolo BCH ipotenusa AB BC cateto minore AH BH cateto maggiore BH HC ALLORA POSSIAMO SCRIVERE LA PROPORZIONE: in parole: AH : BH = BH : HC in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa (BH) è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (AH e HC)
9 Per il 2 teorema di Euclide allora, possiamo scrivere: AH : BH = BH : HC e dalla proporzione possiamo ricavare: - l'altezza del triangolo: BH = AH x HC - la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa: - la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa: AH = BH 2 HC HC = BH 2 AH
10 problema L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 7,2 cm e la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa 5,4 cm. Calcola il perimetro DATI BH = 7,2 cm AH = 5,4 cm INCOGNITA 2p =? 5,4 cm 7,2 cm () RISOLUZIONE calcolo la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (HC) utilizzando il 2 teor. di Euclide: (AH : BH = BH : HC) 2 2 BH 7,2 51,84 HC = = = = 9,6 cm AH 5,4 5,4 adesso posso trovare il valore dell'ipotenusa AC: AC = AH + HC = 5,4 + 9,6 = 15 cm possiamo calcolare i due cateti del triangolo ABC applicando invece il 1 teor. di Euclide: [ (AC : AB = AB : AH) AB = AC x AH = 15 x 5,4 = 81 = 9 cm (AC : BC = BC : HC) BC = AC x HC = 15 x 9,6 = 144 = 12 cm e infine il perimetro: 2p = AC + AB + BC = = 36 cm () possono essere calcolati anche applicando il teor di Pitagora ai triangoli rettangoli ABH e BCH
11 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL 2 TEOREMA DI EUCLIDE "In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti l'ipotenusa stessa" 2 HB = AH x HC
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