Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD.
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- Mariangela Ferrari
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1 Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 2a In uno stesso piano cartesiano disegna: A un triangolo ABC, i cui vertici sono un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché? Esercizio 1b Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 2b In uno stesso piano cartesiano disegna: B un triangolo ABC, i cui vertici sono un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?
2 Esercizio 1c Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 2c In uno stesso piano cartesiano disegna: C un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché? Esercizio 1d Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 2d In uno stesso piano cartesiano disegna: D un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?
3 A Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue. Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un deltoide. Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo dimostrare che ABCD è un deltoide.
4 E posso dimostrarlo in diversi modi. 1 modo) Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati. Q P Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi cartesiani, posso contare le unità. Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il righello per misurare, devo trovare dei triangoli rettangoli comodi (cioè di cui posso sapere il valore dei cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato incognito, generalmente, è l ipotenusa. I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso nostro.
5 I due triangoli PBC e QDC sono congruenti, dal momento che sono rettangoli ( ) ed i cateti sono congruenti, in particolare: Così risulta: Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due coppie di lati consecutivi congruenti, posso affermare con certezza che il poligono è un deltoide. 2 modo) Faccio valutazioni sulle diagonali (non importa calcolare la loro lunghezza). O B
6 Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza diversa e si incontrano nel punto O; il punto O coincide con il punto medio della diagonale minore BD: Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di diagonale dell unità quadrata. Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali perpendicolari, e che una si biseca, ma non l altra, posso affermare con certezza che il poligono è un deltoide. Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi deltoide. ha due coppie di lati consecutivi congruenti ha una coppia di angoli opposti congruenti ha le diagonali perpendicolari una delle due diagonali (quella che unisce i vertici degli angoli congruenti) si biseca una delle due diagonali (quella che unisce i vertici degli angoli non congruenti) è bisettrice degli angoli ha un asse di simmetria, che coincide con la diagonale bisettrice Passo, ora, a calcolare il perimetro e l area del quadrilatero, come richiesto. Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.
7 Per quanto riguarda l area di ABCD, devo calcolare la lunghezza delle diagonali per applicare la formula dell area oppure ragionare in altro modo. Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli comodi per poter applicare il teorema di Pitagora. Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la diagonale minore, ed il triangolo evidenziato in azzurro, per calcolare la diagonale maggiore. Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo
8 anche utilizzare la formuletta. P Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo utilizzare anche in questo caso la formuletta. Oppure potevo calcolare il valore dell area facendo altre considerazioni. Riprendiamo in esame un disegno già visto.
9 Q P Il quadrilatero APCQ è un quadrato formato dal deltoide e due triangoli rettangoli congruenti. Posso, dunque, calcolare l area del quadrato, l area di un triangolo e per differenza calcolare l area del deltoide.
10 Esercizio 2a In uno stesso piano cartesiano disegna: un triangolo ABC, i cui vertici sono un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché? Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue, dove in viola è evidenziata l intersezione. Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed, in particolare, è un trapezio, perché ha una coppia di lati opposti paralleli (dal momento che sono parte di una coppia di lati opposti del rettangolo, le basi).
11 Esercizio 1b Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. B Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue. Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele.
12 Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo dimostrare che ABCD è un trapezio isoscele. Ecco come posso dimostrarlo. Faccio valutazioni sui lati. I due lati opposti AB e CD, ovviamente di lunghezza diversa, sono paralleli, in quanto coincidenti con le diagonali dell unità quadrata, aventi la stessa direzione. I due lati opposti AD e BC hanno direzioni diverse. Questo è sufficiente a dire che il quadrilatero è un trapezio: i lati AB e CD costituiscono le sue basi (in quanto si definiscono basi i lati paralleli del poligono), così i lati AD e BC (cioè la coppia di lati non paralleli) costituiscono i lati obliqui. Trovo il valore della lunghezza dei lati obliqui del trapezio. Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi cartesiani, posso contare le unità. Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha una coppia di lati opposti paralleli e che gli altri lati (non paralleli) sono congruenti, posso affermare con certezza che il poligono è un trapezio isoscele.
13 Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi trapezio isoscele. ha una coppia di lati opposti paralleli (che costituiscono le basi del trapezio) i lati opposti non paralleli (i lati obliqui) sono congruenti ha gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi congruenti (due angoli congruenti sono acuti e due angoli congruenti ottusi) gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono supplementari ha le diagonali congruenti ha un asse di simmetria, che passa per i punti medi delle basi Passo, ora, a calcolare il perimetro e l area del quadrilatero, come richiesto. Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, devo calcolare la lunghezza delle basi, mentre conosco già la lunghezza dei lati obliqui, riportata qui di seguito: Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il righello per misurare, devo trovare dei triangoli rettangoli comodi (cioè di cui posso sapere il valore dei cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato incognito, generalmente, è l ipotenusa. Per calcolare la lunghezza della base minore individuo il triangolo evidenziato in verde, mentre per calcolare la
14 lunghezza della base maggiore individuo il triangolo evidenziato in azzurro. Q P Il triangolo DCQ è rettangolo ( congruenti, in particolare: ) e ha i cateti Così risulta: Notando che il triangolo DCQ è metà quadrato, potevo anche utilizzare la formuletta.
15 Il triangolo PAB è rettangolo ( congruenti, in particolare: ) e ha i cateti Così risulta: Notando che il triangolo PAB è metà quadrato, potevo utilizzare, anche in questo caso, la formuletta. Per quanto riguarda l area di ABCD, devo calcolare la lunghezza dell altezza per applicare la formula dell area oppure ragionare in altro modo. H K
16 Come in precedenza, per calcolare la lunghezza della altezza devo trovare dei triangoli rettangoli comodi per poter applicare il teorema di Pitagora. Lo è il triangolo evidenziato in rosso (ma anche quello evidenziato in giallo). H R K Il triangolo evidenziato in rosso ADR e rettangolo ( ) e ha i cateti congruenti, in particolare: Così risulta:
17 Altrimenti, notando che il triangolo CBK evidenziato in giallo è metà quadrato, potevo utilizzare la formuletta. Oppure potevo calcolare il valore dell area facendo altre considerazioni. R L
18 Come evidenziato in figura, il trapezio ABCD è composto dal triangolo rettangolo ADR e dal parallelogramma DRBC (di cui RL è l altezza). Posso, dunque, calcolare l area del triangolo e l area del parallelogramma e sommarle per calcolare l area del trapezio:
19 Esercizio 2b In uno stesso piano cartesiano disegna: un triangolo ABC, i cui vertici sono un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché? Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue, dove in viola è evidenziata l intersezione.
20 Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed, in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una coppia di lati opposti del rettangolo, le altezze), rettangolo perché un lato è perpendicolare ai lati paralleli.
21 Esercizio 1c C Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue. Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rombo o un parallelogramma.
22 Ma non posso fare affermazioni senza prove, devo dimostrare che ABCD è un rombo o un parallelogramma. E posso dimostrarlo in diversi modi. 1 modo) Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati. R S Q P Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi cartesiani, posso contare le unità. Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il righello per misurare, devo trovare dei triangoli rettangoli comodi (cioè di cui posso sapere il valore dei
23 cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato incognito, generalmente, è l ipotenusa. I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso nostro. I quattro triangoli ASB, BPC, CQD e ARD sono congruenti, dal momento che sono rettangoli ( ) ed i cateti sono congruenti, in particolare: Così risulta: Se un quadrilatero ha tutti i lati congruenti o è un quadrato o è un rombo. Allora esamino gli angoli. Si vede chiaramente che gli angoli non sono tutti congruenti: due angoli opposti sono ottusi e due angoli opposti sono acuti. Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha i lati congruenti e che gli angoli non sono congruenti, posso affermare con certezza che il poligono è un rombo. 2 modo) Faccio valutazioni sulle diagonali (non importa calcolare la loro lunghezza).
24 O Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza diversa e si incontrano nel punto O. Il punto O coincide con il punto medio della diagonale minore AC e della diagonale maggiore BD: Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di diagonale dell unità quadrata.
25 Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali perpendicolari, che si bisecano, posso affermare con certezza che il poligono è un rombo. Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi rombo. ha due coppie di lati opposti paralleli ha i tutti i lati congruenti ha due coppie di angoli opposti congruenti (due angoli congruenti sono acuti e due angoli congruenti ottusi) gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati sono supplementari ha le diagonali perpendicolari le diagonali si bisecano le diagonali sono bisettrici degli angoli ha due assi di simmetria, che coincidono con le diagonali ha un centro di simmetria, che coincide con il punto d incontro delle diagonali Passo, ora, a calcolare il perimetro e l area del quadrilatero, come richiesto. Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.
26 Per quanto riguarda l area di ABCD, devo calcolare la lunghezza delle diagonali per applicare la formula dell area oppure ragionare in altro modo. Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli comodi per poter applicare il teorema di Pitagora. Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la diagonale maggiore, ed il triangolo evidenziato in azzurro, per calcolare la diagonale minore. M Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo anche utilizzare la formuletta.
27 K Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo utilizzare anche in questo caso la formuletta. Oppure potevo calcolare il valore dell area facendo altre considerazioni. Riprendiamo in esame un disegno già visto, con l aggiunta di due oggetti.
28 N R S Q P M Il quadrilatero BMDN è un quadrato formato dal rombo, da quattro triangoli rettangoli congruenti e da due quadratini congruenti. Posso, dunque, calcolare l area del quadrato, l area di un triangolo, l area di un quadratino e per differenza calcolare l area del rombo:
29 Esercizio 2c In uno stesso piano cartesiano disegna: un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché? Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue, dove in viola è evidenziata l intersezione. Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed, in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una coppia di lati opposti del parallelogramma, le basi), rettangolo perché un lato è perpendicolare ai lati paralleli.
30 D Esercizio 1d Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche? Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue. Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rettangolo.
31 Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo dimostrare che ABCD è un rettangolo. Ecco come posso dimostrarlo. Faccio valutazioni sui lati. Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi cartesiani, posso contare le unità. I due lati opposti AB e CD sono paralleli, così come lo sono i lati opposti BC e AD. Se un quadrilatero ha i lati opposti paralleli e congruenti o è un rettangolo o è un parallelogramma. Allora esamino gli angoli. Si vede chiaramente che gli angoli sono tutti congruenti. Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha i lati opposti paralleli e congruenti e che gli angoli sono tutti retti, posso affermare con certezza che il poligono è un rettangolo.
32 Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi rettangolo. ha due coppie di lati opposti paralleli e congruenti ha tutti gli angoli congruenti (retti) ha le diagonali congruenti le diagonali si bisecano ha due assi di simmetria, che passano per i punti medi dei lati opposti ha un centro di simmetria, che coincide con il punto d incontro delle diagonali Passo, ora, a calcolare il perimetro e l area del quadrilatero, come richiesto. Per quanto riguarda il perimetro e l area di ABCD, sfrutto i calcoli precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.
33 Esercizio 2d In uno stesso piano cartesiano disegna: un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure. Che tipo di poligono è l intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché? Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli nell ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella figura che segue, dove in viola è evidenziata l intersezione. Il poligono ottenuto per intersezione è un triangolo ed, in particolare, è un triangolo isoscele, perché ha una coppia di lati congruenti (entrambi ipotenusa di triangoli rettangoli congruenti; l altezza divide a metà la base).
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