I TRIANGOLI RETTANGOLI

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1 I TRIANGOLI RETTANGOLI IN QUESTA ATTIVITÀ PARLEREMO DI TRIANGOLI RETTANGOLI, PERTANTO RICORDA CHE I LATI DI TALI TRIANGOLI HANNO NOMI PARTICOLARI: SI CHIAMANO CATETI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO ABC I DUE LATI AB E AC CHE SONO TRA LORO PERPENDICOLARI (FORMANO UN ANGOLO DI 90 ) IL TERZO LATO BC, OPPOSTO ALL ANGOLO RETTO, SI CHIAMA IPOTENUSA. RIPASSA IN ROSSO I CATETI E IN VERDE L IPOTENUSA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI DELLA FIGURA SEGUENTE.

2 LA LEGENDA DEL TEOREMA SECONDO LA LEGGENDA PITAGORA SCOPRÌ IL SUO TEOREMA MENTRE ERA IN ATTESA DI ESSERE RICEVUTO DAL TIRANNO DELLA CITTÀ GRECA DI SAMO. IL PAVIMENTO DELLA SALA DI RICEVIMENTO SI PRESENTAVA PIASTRELLATO COME IN FIGURA, DOVE IN GIALLO È EVIDENZIATO QUANTO PITAGORA OSSERVÒ, A PARTIRE DAL TRIANGOLO OTTENUTO DIVIDENDO UNA PIASTRELLA LUNGO LA SUA DIAGONALE. SCRIVI COSA OSSERVI RELATIVAMENTE AI QUADRATI COSTRUITI SUI CATETI

3 LA DIMOSTRAZIONE DI PERIGAL TRA LE TANTE DIMOSTRAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA, VI PROPONGO QUELLA DELL'AGENTE DI CAMBIO HENRY PERIGAL CON LA PASSIONE PER LA MATEMATICA. PROVIAMOCI ANCHE NOI. RITAGLIA I QUADRILATERI A, B, C, D, E INCOLLA IL TRIANGOLO E IL QUADRATO GRANDE SUL QUADERNO RIEMPI IL QUADRATO GRANDE CON I 5 QUADRILATERI

4 IN PRATICA, SI DIMOSTRA CHE: Q 1 + Q = Q 3 QUINDI LA SOMMA DI Q 1 + Q È EQUIVALENTE A Q 3 OVVERO: LA SOMMA DELLE AREE DEI QUADRATI Q 1 E Q È EQUIVALENTE ALL AREA DEL QUADRATO Q 3 FORMALIZZIAMO: Q 1 + Q = Q 3

5 OSSERVIAMO LA FIGURA INIZIALE Q 3 i C 1 Q 1 C Q CI RENDIAMO CONTO CHE: AB = C =CATETO MAGGIORE DEL TRIANGOLO = LATO DEL QUADRATO Q 1 AC= C 1 = CATETO MINORE DEL TRIANGOLO = LATO DEL QUADRATO Q BC= i = IPOTENUSA DEL TRIANGOLO = LATO DEL QUADRATO Q 3 QUINDI: Q 1 = QUADRATO COSTRUITO SUL CATETO MAGGIORE Q = QUADRATO COSTRUITO SUL CATETO MINORE Q 3 = QUADRATO COSTRUITO SULL IPOTENUSA A QUESTO PUNTO HAI TUTTI GLI ELEMENTI PER SCRIVERE L ENUNCIATO DEL TEOREMA DI PITAGORA:

6 APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA C i C 1 POICHE Q 1 = QUADRATO COSTRUITO SUL CATETO MAGGIORE C 1 Q = QUADRATO COSTRUITO SUL CATETO MINORE C Q 3 = QUADRATO COSTRUITO SULL IPOTENUSA i SAPENDO CHE L AREA DEL QUADRATO E UGUALE A: A= l POSSIAMO AFFERMARE CHE: Q 1 = C 1 Q = C Q 3 = i RICORDANDO CHE: Q 1 + Q = Q 3 POSSIAMO SCRIVERE: i = C 1 + C ABBIAMO TROVATO UNA FORMULA CHE CI PERMETTE DI TROVARE L IPOTENUSA, CONOISCENDO I CATETI. GRAZIE ALLE FORMULE INVERSE È POSSIBILE TROVARE UN CATETO. C 1 = i - C C = i - C 1

7 ESEMPIO 1 C 1 = 6 cm C = 8 cm i =? i = C 1 + C i = 6 +8 i = = 100 ATTRAVERSO QUESTO CALCOLO TROVO L IPOTENUSA AL QUADRATO; COME FARE PER TROVARE LA SOLUZIONE? SE i = 100 ALLORA i = 100 = 10 cm ESEMPIO i = 15 cm C 1 = 1 cm C =? C = i - C 1 C = 15-1 C = = 81 ANCHE IN QUESTO CASO: SE C = 81 ALLORA C = 81 9 cm

8 PER PROVARE SE HAI CAPITO ESEGUI I SEGUENTI ESERCIZI 1. Calcolo della misura della diagonale di un rettangolo. DISEGNA UN RETTANGOLO ABCD TRACCIA LA DIAGONALE AC. a. CHE TIPO DI TRIANGOLI SONO ABC E CDA?... b. COME SONO FRA LORO QUESTI TRIANGOLI?... c. CALCOLA LA MISURA DELLA DIAGONALE AC DI UN RETTANGOLO CON I LATI DI 40 CM E 30 CM. AC =... AC =.... Calcolo della misura dell altezza di un triangolo isoscele. DISEGNA UN TRIANGOLO ISOSCELE ABC. TRACCIA L ALTEZZA CH RELATIVA AL LATO AB. a. CHE TIPO DI TRIANGOLI SONO ACH E BCH?... b. COME SONO FRA LORO QUESTI TRIANGOLI?... c. CALCOLA LA MISURA DELL ALTEZZA RELATIVA ALLA BASE DI UN TRIANGOLO ISOSCELE SAPENDO CHE LA BASE MISURA 80 CM E CIASCUNO DEI LATI CONGRUENTI È 58 CM. CH = CH = 3. Applicazioni del Teorema di pitagora ai rettangoli ABCD E EFGH SONO RETTANGOLI. SAPENDO CHE: - AD = AE = 8 CM - EB = 5 CM - IL TRIANGOLO EBF E IL TRIANGOLO FCG SONO RETTANGOLI ISOSCELI CALCOLA IL PERIMETRO E L'AREA DEL RETTANGOLO EFGH.

9 4. Applicazioni del Teorema di pitagora in situazioni reali 4.1. QUANTO DOVRÀ ESSERE LUNGO IL CAVO DI ACCIAIO CHE TRATTIENE L ANTENNA TELEVISIVA? 4.. QUANTO È ALTA LA PARETE CENTRALE DEL SOLAIO? 4.3. QUANTO È LUNGO IL CORRIMANO? 4.4. A CHE ALTEZZA POGGERÀ SULLA PARETE DELLA CASA UNA SCALA LUNGA 15 M, SE IL PIEDE È A 5 M DALLA PARETE? 4.5. DI QUANTI CENTIMETRI FUORIESCE UNA CANNUCCIA LUNGA 0 CM DAL FORO DI UNA LATTINA CILINDRICA DI ALTEZZA 11 CM CON IL DIAMETRO DI BASE DI 6 CM, SE LA SI IMMERGE IL PIÙ POSSIBILE SENZA PIEGARLA?

10 4.6. LA MISURA DEL LATO DI OGNI QUADRATO DELLA GRIGLIA È DI CM, CALCOLA L AREA E IL PERIMETRO DEL POLIGONO A 4.7. UNA SCALA A PIOLI LUNGA 3 M È APPOGGIATA AL MURO LA BASE DISTA DAL MURO 1M. A QUALE ALTEZZA DAL SUOLO È APPOGGIATA L ALTRA ESTREMITÀ DELLA SCALA? 4.8. IN UNA TAVOLETTA BABILOMESE DEL 1800 A.C. SI LEGGE IL SEGUENTE QUESITO: UN BASTONE LUNGO 10 UNITÀ È APPOGGIATO AD UN MURO (FIGURA A). POI SCIVOLA DI UNITÀ (FIGURA B). DI QUANTE UNITÀ IL PIEDE DEL BASTONE SI È ALLONTANATO DALLA BASE DEL MURO? A. 6 UNITÀ B. 8 UNITÀ C. 10 UNITÀ D.1 UNITÀ

11 4.9. NEL DISEGNO VEDI UN CAMPO DA CALCETTO DI FORMA RETTANGOLARE, ROBERTO E CARLO SI SFIDANO A UNA GARA DI CORSA: PARTENDO DALL ANGOLO INDICATO CON A DEVONO ARRIVARE ALL ANGOLO B. ROBERTO CORRE LUNGO IL BORDO DEL CAMPO, INVECE CARLO CORRE LUNGO LA DIAGONALE DEL CAMPO a. QUANTI METRI IN PIÙ DEVE PERCORRERE ROBERTO? A. 50 B. 70 C. 0 D. 30 b. SCRIVI IL PROCEDIMENTO CHE HAI SEGUITO IL SIGNOR GIOVANNI SCENDE DAL TRAM ALL INCROCIO DI VIA PIETRO MICCA CON VIA ANTONIO GIUSEPPE BERTOLA (NELLA MAPPA CHE VEDI UQI SOTTO IL PUNTO È CONTRASSEGNATO DA UN ASTERISCO) PERCORRE 00 METRI DI VIA BERTOLA E ALL INCROCIO CON VIA 0 SETTEMBRE SVOLTA A SINISTRA; DOPO AVER CAMMINATO PER 150 METRI, RAGGIUNGE L INCROCIO CON VIA PIETRO MICCA. DA LÌ DECIDE DI TORNARE AL PUNTO DI PARTENZA LUNGO LA VIA PIETRO MICCA. QUANTI METRI ALL INCIRCA PERCORRE AL RITORNO? A. 00 M B. 50 M C. 350 M D. 600 M