FUNZIONI GONIOMETRICHE Prof. E. Modica

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1 FUNZIONI GONIOMETRICHE Prof. E. Modica DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Consideriamo un triangolo A rettangolo in B e sia α l angolo acuto di vertice A. Successivamente, consideriamo una retta parallela al cateto e siano D ed E, rispettivamente, i punti in cui tale retta interseca il prolungamento del cateto oltre B e il prolungamento dell ipotenusa oltre C. Il triangolo ADE che si viene a formare è anch esso rettangolo e l angolo acuto in A misura, ovviamente, anch esso α. Di conseguenza, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 80, i due angoli C e E sono anch essi congruenti, perché differenza di angoli congruenti. I due triangoli A e ADE sono quindi simili tra loro e di conseguenza hanno i lati opposti agli angoli congruenti, detti lati omologhi, in proporzione, cioè: DE AE Da ciò è possibile dedurre che: in un triangolo rettangolo, il rapporto tra il cateto opposto all angolo α e l ipotenusa e il rapporto tra il cateto adiacente all angolo α e l ipotenusa, dipendono dalla misura dei lati del triangolo, ma dipendono esclusivamente dal valore di α, ovvero i due rapporti!" e!"!"!" dipendono solo dalla misura dell angolo α. Definizione. Si dice seno dell angolo α, indicato con la scrittura sin α, il rapporto tra il cateto opposto all angolo α e l ipotenusa. In formule: sin α cateto opposto all! angolo α ipotenusa Definizione. Si dice coseno dell angolo α, indicato con la scrittura cos α, il rapporto tra il cateto adiacente all angolo α e l ipotenusa. In formule: cos α cateto adiacente all! angolo α ipotenusa Definizione. Si dice tangente dell angolo α, indicato con la scrittura tan α, il rapporto tra il cateto opposto all angolo α e il cateto adiacente. In formule: tan α cateto opposto all! angolo α cateto adiacente all! angolo α

2 Definizione. Si dice cotangente dell angolo α, indicata con la scrittura cot α, il rapporto tra il cateto adiacente all angolo α e il cateto opposto. In formule: cot α cateto adiacente all! angolo α cateto opposto all! angolo α Proposizione. La tangente dell angolo α è uguale al rapporto fra il seno e il coseno dell angolo α, in formule: sin α tan α cos α Dimostrazione. Utilizzando le precedenti definizioni si ha: sin α cos α tan α Osservazione. Dalle precedenti definizioni di tangente e cotangente emerge subito che vale la seguente relazione: cot α tan α Esempio. Determinare le funzioni goniometriche dell angolo A del triangolo A, sapendo che 5, e. Dalle definizioni precedenti segue che: sin A cos A 5 tan A cot A FUNZIONI GONIOMETRICHE DELL ANGOLO DI 5 Consideriamo un triangolo A, rettangolo in B, avente l angolo α 5. Di conseguenza anche l angolo C sarà di 5. Il triangolo è quindi isoscele, pertanto si ha: l Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che l ipotenusa misura:! +! l! + l! l! l

3 Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che: sin 5 𝐵𝐶 0,7 cos 5 𝐴𝐵 0,7 tan 5 𝐵𝐶 𝐴𝐵 cot 5 tan 5 FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI DI 0 E DI 60 Consideriamo un triangolo rettangolo A, rettangolo in B, avente l angolo 𝐵 0. Di conseguenza l angolo 𝐵 sarà di 60. Questo triangolo è la metà del triangolo equilatero A e, di conseguenza, se il suo lato, il! lato 𝐴𝐵!. Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che il cateto 𝐶𝐵 misura: 𝐶𝐵! 𝐴𝐵!!!!!! Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che: 𝐴𝐵 sin 0 0,5 𝐶𝐵 cos 0 0,86 𝐴𝐵 tan 0 0,58 𝐵𝐶 cot 0,7 tan 0 𝐶𝐵 sin 60 0,86

4 cos 60 l l 0,5 tan 60 CB cot 60 l l,7 tan 60 0,58 TAVOLA RIASSUNTIVA Angolo α sin α cos α tan α cot α ,86 0,58,7 5 0,7 0,7 60 0, , o 0,58 0

5 PRIMO E SECONDO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Utilizzando le definizioni date nel primo paragrafo, è possibile pervenire ai due seguenti importanti teoremi dei triangoli rettangoli. Primo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il coseno dell angolo a esso adiacente; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo a esso opposto. a c sin α a c cos β b c cos α b c sin β Secondo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell altro cateto per la tangente dell angolo ad esso opposto; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell altro cateto per la cotangente dell angolo ad esso adiacente. a b tan α a b cot β b a tan β b a cot α PROBLEMI PROPOSTI P. La scala mobile che porta dal piano terra al primo piano di un centro commerciale è lunga 6.5 m e inclinata di 0 rispetto al pavimento. Calcolare l altezza del primo piano. [R.,5 m] P. Un ruscello scende in linea retta lungo il pendio di una montagna per 05 m formando con il terreno un angolo di 50. Calcolare l altezza della montagna. [R. 57,0 m] P. Un antenna emittente ha un profilo lungo 0 m che risulta inclinato rispetto al piano di 70. Determinare l altezza dell antenna. [R. 8,8 m] P. La discesa dalla chiesa di un paese alla piazza è lunga 5 m e inclinata, rispetto all orizzonte della chiesa, di 0. Determinare di quanto la chiesa è più alta rispetto alla piazza. [R. 9, m] P5. L ingresso in un castello medievale avviene mediante un ponte levatoio lungo 6 m. Sapendo che il ponte viene sollevato e abbassato mediante dei tiranti azionati da argani a ruota che formano, quando sono totalmente spiegati, un angolo di con il ponte, determinare l altezza della porta d ingresso. [R.,75 m] P6. Una scala a pioli lunga.5 m permette di accedere al primo piano di uno stabile. Determinare l altezza di tale piano rispetto al piano terra, sapendo che la scala forma con il muro un angolo di 8. [R.,0 m] P7. Un bambino scende da uno scivolo di un parco giochi lungo m. Determinare l altezza del punto più alto dello scivolo sapendo che la sua inclinazione rispetto al terreno è pari a 5. [R., m] 5