Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).

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1 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati: Si = (n ) 180 Se = 360 In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. E o EF // EF = ½ F o Luoghi geometrici Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà. sse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio) Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento. P o o P = P isettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l angolo in due parti congruenti). Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell angolo. O o P o OP ˆ POˆ P = P

2 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Punti notevoli dei triangoli ircocentro Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico) È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Può essere interno o esterno al triangolo Incentro Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico) È il centro della circonferenza inscritta al triangolo È sempre interno al triangolo. Ortocentro Punto di incontro delle tre altezze del triangolo Può essere interno o esterno al triangolo aricentro Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della altra. irconferenza Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l arco, sia l angolo al centro in due parti congruenti. O o o

3 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai orde congruenti equidistano dal centro e viceversa. Retta tangente ad una circonferenza È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. O ngoli al centro ngoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza O ngoli alla circonferenza ngoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l altro tangente. V V In una circonferenza l angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza. V O O ˆ V ˆ ngoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti

4 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai ngoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono congruenti. O P Inoltre PO è bisettrice degli angoli O ˆ e P ˆ. Quadrilateri Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. O D + D = + D Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari. O D ˆ ˆ ˆ Dˆ 180 0

5 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Teoremi di Euclide H 1 Euclide: = H Euclide: H = H H = H I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente: Un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull ipotenusa e l ipotenusa stessa: H : = : oppure H : = : L altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa: H : H = H : H Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei segmenti corrispondenti sull altra trasversale. t t d esempio : : D = : D D D Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli : Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali. Hp: EF // E F Th: E : E = F : F oppure E : = F :

6 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai TEOREM DELL ISETTRIE DELL NGOLO INTERNO In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati. D D : D = : FIGURE PRTIOLRI Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza Si prolunga l altezza H fino ad incontrare la circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo D al quale si possono applicare i teoremi di Euclide. Trapezio circoscritto ad una circonferenza Si hanno le seguenti proprietà: I segmenti di tangenza sono congruenti +D = D+ (proprietà dei quadrilateri circoscritti ad una circonferenza) O e OD sono triangoli rettangoli, ai quali si possono applicare i teoremi di Euclide Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza I triangoli DK e HO sono congruenti D = O I triangoli M e LO sono congruenti = O

7 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza semicirconferenza oppure un punto preso sulla Si congiunge un punto che si trova sulla semicirconferenza con gli estremi del diametro, ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale applicare i teoremi di Euclide. Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza l triangolo O si possono applicare i teoremi di Euclide Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza I triangoli H e OD sono simili, pertanto si possono applicare le proprietà della similitudine. TRINGOLI RETTNGOLI ON GLI NGOLI PRTIOLRI DI 30, 60, 45 F G 60 o o 45 0 D E = cateto opposto all angolo di 30 è : = cateto opposto all angolo di 60 è : DE = cateto opposto all angolo di 45 è : quindi : EF lato 1 3 EF oppure EF diagonale del quadrato DEGF e

8 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai RELZIONI TR I LTI E I RGGI DEI POLIGONI REGOLRI INSRITTI IN UN IRONFERENZ Quadrato inscritto è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45, pertanto: l r l4 r 4 r Triangolo equilatero inscritto Si prolunga l altezza H, ottenendo il triangolo rettangolo D con gli angoli particolari di 30 e 60 : l 3 3 D r 3 l3 r 3 3 r Esagono inscritto r 60 l O r Il triangolo O è equilatero, pertanto ha i lati congruenti: l r 6 OSSERVZIONI Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma: In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del triangolo equilatero inscritto. 30 Si hanno due informazioni: = r 3 La corda forma con il diametro un angolo di 30

9 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato dell esagono inscritto. 60 Si hanno due informazioni: = r La corda forma con il diametro un angolo di 60 In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del quadrato inscritto. 45 O Si hanno due informazioni: = r La corda forma con il diametro un angolo di 45 SEZIONE URE DI UN SEGMENTO E la parte di segmento che è media proporzionale tra l intero segmento e la sua parte restante. a x a-x = x è la sezione aurea di : = : Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x) x =a(a-x) x + ax a = 0 Risolvendo l equazione si trova che la sezione aurea è: x = 5 1 a 0, a RPPORTO UREO E il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera ): 5 1 1, Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro. LTO DEL DEGONO REGOLRE INSRITTO D UN IRONFERENZ Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta l r

10 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai RGGIO DELL IRONFERENZ INSRITT IN UN TRINGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: = c = a = b Dove Verificare che r p p = semiperimetro = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone RGGIO DELL IRONFERENZ IROSRITT D UN TRINGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: = c = a = b Dove Verificare che a b c r 4 = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone SIMILITUDINE DEI TRINGOLI Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati, opposti agli angoli congruenti, in proporzione. ˆ ˆ ', ˆ ˆ ', ˆ ˆ ' : ' ' : ' ' : ' '

11 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli congruenti Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi. riteri di similitudine Permettono di stabilire se due triangoli sono simili. 1 criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti. criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra lati proporzionali (ad esempio: ˆ ˆ ' e : ' ' : ' ' ). 3 criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali : ' ' : ' ' : ' '. Proprietà dei triangoli simili 1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze Hp: H H Th: : = H : H ) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi. Hp: Th: p : p = : 3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. Hp: Th: : = :

12 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai 4) Teorema delle corde Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse sono i medi di una proporzione e i segmenti sull altra sono gli estremi della stessa proporzione. D Hp : e D corde Th: E : DE = E : E E 5) Teorema delle secanti Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e l intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l intera secante dell altra secante sono gli estremi della stessa proporzione. Hp: P e P secanti P Th: P : PD = P : P D 6) Teorema della secante e della tangente Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna. T Hp: P secante e PT tangente P Th: P : PT = PT : P