GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche

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1 GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell algebra

2 GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA Equazione esplicita Equazione implicita y = mx + q m = a/b ; q = c/b ax + by + c = 0 ab a b = 0 r s m 1 = m q 1 = q a/a = b/b = c/c ac a c = 0 bc b c = 0 ab a b = 0 r // s m 1 = m q 1 q a/a = b/b c/c ac a c 0 bc b c 0 r s m 1 = 1/m ( m 1 m = 1 ) aa + bb = 0 fascio per P (x 0,y 0 ) : y y 0 = m( x x 0 ) ( esclude x = x 0 ) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 a,b R retta per punti P 0 (x 0,y 0 ) P 1 (x 1,y 1 ) y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 distanza punto P 0 (x 0,y 0) dalla retta : d(p 0, r) = y 0 (mx 0 + q) ax 0 + by 0 + c d(p 0, r) =

3 CONICHE Sono rappresentate da equazioni di grado : ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 che verificano alcune condizioni. La quantità Δ = b 4ac,detta discriminante della conica, le può classificare: Δ < 0 la conica è una circonferenza od un ellisse Δ = 0 la conica è una parabola Δ > 0 la conica è una iperbole CIRCONFERENZA Equazione canonica: ( x α) + (y β) = r essendo C(α,β) il centro ed r il raggio Equazione generale : x + y + ax + by + c = 0 con le condizioni : x e y hanno lo stesso coefficiente unitario ( o trasformabile in unitario) manca il termine xy a + b - 4c >0 LEGAMI FRA I COEFFICIENTI DELLE EQUAZIONI: a = α; α = a/ b = β β = b/ se α + β c < 0 la circonferenza è degenere c = α + β r r = r = se α + β c = 0 la circonferenza si riduce al centro C. PARABOLA Parabola con asse di simmetria // asse y: Parabola con asse di simmetria // asse x: y = ax + bx + c x = ay + by + c SIGNIFICATO DEI PARAMETRI a = concavità della curva a > 0 concavità verso l alto a > 0 concavità verso destra a < 0 concavità verso il basso a < 0 concavità verso sinistra b = traslazione asse di simmetria b = 0 asse asse y ab>0 asse traslato a sinistra dell asse y ab<0 asse traslato a destra dell asse y b = 0 asse asse x ab>0 asse traslato sotto l asse x ab<0 asse traslato sopra l asse x c = traslazione verticale della curva= intersezione curva con asse // asse di simmetria c = 0 curva passa per origine c >0 curva interseca asse y sopra origine c < 0 curva interseca asse y sotto origine c = 0 curva passa per origine c >0 curva interseca asse x a destra origine c < 0 curva interseca asse x a sinistra origine Elementi importanti asse simmetria x = b/a asse simmetria y = b/a vertice V( b/a, Δ/4a) vertice V( Δ/4a, b/a) fuoco F( b/a, (1 Δ)/4a) fuoco F((1 Δ)/4a, b/a) direttrice y = (1+ Δ)/4a direttrice x = (1+ Δ)/4a

4 ELLISSE Ellisse con i fuochi sull asse x a > b Ellisse con i fuochi sull asse y b > a fuochi F(±, 0) fuochi F(0, ± ) Asse x = asse maggiore Asse y = asse maggiore eccentricità e = c/a essendo c = eccentricità e = c/b essendo c = quindi quindi se a = b l ellisse si riduce alla circonferenza di centro l origine e raggio a IPERBOLE Iperbole con i fuochi sull asse x: Iperbole con i fuochi sull asse y: fuochi F(±, 0) fuochi F(0, ± ) Asse x = asse trasverso Asse y = asse trasverso eccentricità e = c/a essendo c = eccentricità e = c/b essendo c = quindi e > 1 quindi e > 1 asintoti y = ± b/a x asintoti y = ± b/a x Iperbole equilatera asintoti y = ± x asintoti y = ± x Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti: k > 0 iperbole nel 1 e 3 quadrante xy = k k < 0 iperbole nel e 4 quadrante Funzione omografica c 0 y = con altrimenti y = a/d x + b/d retta ad bc 0 altrimenti y = a/c e x - d/c retta // asse x privata di un punto coincide con iperbole equilatera di centro C ( d/c, a/c) e asintoti paralleli agli assi cartesiani.

5 GEOMETRIA EUCLIDEA PIANA TRIANGOLO CLASSIFICAZIONE LATI Equilatero Isoscele Scaleno ANGOLI Acutangolo Rettangolo Ottusangolo ESISTENZA Un triangolo esiste se ogni lato è minore della somma degli altri due Un triangolo esiste se ogni lato è maggiore della differenza degli altri due PROPRIETA Unendo i punti medi di due lati si ottiene un segmento parallelo alterzo lato e congruente alla sua metà A lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa A lato minore sta opposto lato minore e viceversa E l'unico poligono a cui è sempre possibile circoscrivere e in cui è sempre possibile inscrivere una circonferenza La somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto, ossia 180 Ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti PUNTI NOTEVOLI assi = circocentro mediane = baricentro bisettrici = incentro altezze = ortocentro TEOREMI Dato un triangolo rettangolo valgono: TEOREMA di PITAGORA i = c 1 + c TEOREMA1 di EUCLIDE c 1 = i p 1 TEOREMA di EUCLIDE h = p 1 p dove i = ipotenusa c 1 /c = cateti p 1 / p = proiezioni h = altezza relativa all ipotenusa

6 QUADRILATERI E' possibile rappresentare graficamente la famiglia dei quadrilateri mediante la relazione di inclusione ricordando che un parallelogramma e' anche un trapezio Osserva che: PARALLELOGRAMMI Lati opposti paralleli C.N TRAPEZI Due lati paralleli = basi C.S Lati opposti congruenti Angoli opposti congruenti Diagonali si intersecano punti medi (Angoli adiacenti ogni lato supplementari) RETTANGOLO ha gli angoli tutti congruenti ROMBO ha i lati tutti congruenti Da cui QUADRATO ha lati e angoli tutti congruenti

7 CIRCONFERENZA e CERCHIO Circonferenza è il luogo dei punti del piano che si trovano ad una distanza data, detta raggio della circonferenza, da un punto fisso, detto centro della circonferenza. PARTI DI UNA CIRCONFERENZA Diametro è la massima distanza esistente fra due punti appartenenti alla stessa circonferenza e misura il doppio del raggio Corda (in arancio) proprietà: due corde hanno la stessa lunghezza se e solo se sono equidistanti dal centro della circonferenza, una retta perpendicolare ad una corda e passante per il suo punto medio, passa anche per il centro della circonferenza, una corda passante per il centro della circonferenza è un diametro. Arco (in verde) Angoli al centro e angoli alla circonferenza Ogni angolo al centro e' doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco (insistere sullo stesso arco significa che il loro arco e' lo stesso ) Esistono infiniti angoli alla circonferenza sottesi dallo stesso arco Per questo ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo

8 Cerchio E la porzione di piano delimitata da una circonferenza, PARTI UN CERCHIO Settore circolare è la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza Segmento circolare ad una base e' la parte di cerchio compresa fra una sua corda e la circonferenza Segmento circolare a due basi e' la parte di cerchio compresa fra la circonferenza e due sue corde parallele Corona circolare è un insieme di punti del piano compresi tra due cerchi concentrici.

9 FORMULARIO Rettangolo Area = A = b h d = b + h Quadrato Area = A = l l = A d = l l = d Parallelogramma Area = A = b h Triangolo scaleno Area = A = b h A = p p a ( )( p b) ( p c) formula di Erone, p=semiperimetro Triangolo rettangolo Area = A = b c = a h h = a b c

10 Triangoli particolari Rombo Perimetro = p = 4l Area = A = d d 1 l = d 1 + d 4 Trapezio ( Area = A = b 1 + b ) h Circonferenza e cerchio Circonferenza = C = πr r = C π Area = A = πr r = A π Settore circolare Arco = l = π r α 180 Area = A = π r α 180

11 Poligono circoscritto a una circonferenza Area = A = p r perimetro = p = A r, Triangolo inscritto in una circonferenza Area = A = a b c 4r Relazioni tra i lati dei poligoni regolari e i raggi delle circonferenze inscritte e/o circoscritte Triangolo equilatero raggioinscritto = r = 1 3 mediana = 1 3 h = 1 3 l 3 = l 6 3 raggiocircoscritto = R = 3 mediana = 3 h = 3 l 3 = l 3 3 Quadrato raggioinscritto = r = 1 Esagono raggiocircoscritto = R = d = l raggioinscritto = r = htriangolo = l 3 raggiocircoscritto = R = l

12 GEOMETRIA EUCLIDEA SOLIDA I poliedri regolari sono cinque solidi formati da poligoni regolari uguali tra loro: poliedro facce TETRAEDRO 4 facce = triangoli equilateri OTTAEDRO 8 facce = triangoli equilateri ICOSAEDRO 0 facce = triangoli equilateri ESAEDRO (CUBO) 6 facce = quadrati DODECAEDRO 1 facce = pentagoni

13 FORMULARIO Cubo S l = 4l S t = 6l V = l 3 Diagonalecubo = D = l 3 Prisma S l = p h S t = S l + S base V = S base h diagonale = d = a + b + c Piramide Cilindro S l = p a = p a S t = S l + S base V = S base h 3 S l = πr h S t = πr h + πr = πr h + r ( ) V = πr h Cono S l = πr h S t = πr a + πr = πr a + r ( ) V = πr h 3 Sfera S = 4πr V = 4 3 πr3