RELAZIONI e CORRISPONDENZE

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1 RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codominio). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza. 1

2 FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y R, cioè funzioni reali di una variabile reale. 2

3 RELAZIONE TRA 2 INSIEMI X Y

4 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI X Y

5 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI Si scrive y=f(x) Si legge y è funzione di x Quindi x è definita variabile indipendente, y è definita variabile dipendente 5

6 SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Un punto O detto Origine 3) Un segmento u detto unità di misura O u r - r + r 6

7 ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sull asse delle ascisse, a P si può sempre associare x P R, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). x P è chiamata ascissa di P Viceversa, x P R! P r : x= x P. Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta. 7

8 DISTANZA TRA DUE PUNTI Consideriamo due punti A e B posti sull asse delle ascisse. O Si definisce distanza geometrica tra due punti A e B di ascissa rispettivamente x A e x B il valore A B r d(x A,x B )=d(x b,x a )= x B x A 8

9 DISTANZA TRA DUE PUNTI Si definisce distanza relativa tra due punti A e B di ascissa rispettivamente x A e x B il valore d(x A,x B )=x B x A Attenzione: in questo caso d(x A,x B ) = - d(x B,x A ) 9

10 PUNTO MEDIO Consideriamo due punti A e B posti sull asse delle ascisse. O Si definisce punto medio tra due punti A e B di ascissa rispettivamente x A e x B il punto M di ascissa A x M = x A + x B 2 M B r 10

11 SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r 1 e r 2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico 11

12 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) II (-, +) I (+, +) III (-, -) IV (+, -) 12

13 ESEMPIO P 1 =(-2,4) -2 1 P 4 =(-2,-1) P 2 =(2,1) 2 P 3 =(2,-2) 13

14 DISTANZA TRA DUE PUNTI Come calcolo la distanza se il segmento non è su una retta ma nel piano? Se conosco le coordinate dei punti P 1 e P 2 sufficiente utilizzare il teorema di Pitagora y y 2 y 1 P 1 P 2 H P1 = ( x1, y1) P = ( x, y ) PH = x x PH= y y PP = 1 2? O x 1 x 2 x = ( 2 1) + ( 2 1) PP x x y y 14

15 DISTANZA NEL PIANO d P 1, P 2 = x 2 x (y 2 y 1 ) 2 P 1 =(-2,4) y 1 =4 y 2 =1 x 2 x 1 = 2 ( 2) = 4 y 2 y 1 = 4 1 = 3 P 2 =(2,1) d P 1, P 2 = = 5 x 1 =-2 x 2 =2 15

16 DISTANZA TRA DUE PUNTI Caso particolare: distanza tra un punto P e l origine O y y 1 P O x 1 x OO = (x 1 0) 2 +(y 1 0) 2 = x y

17 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Si consideri il seguente grafico: y B 2 P 2 A 2 A P R B C O A1 P 1 B1 I punti sulla retta hanno coordinate: A ( x, y ) B( x, y ) P( x, y) A A B B x 17

18 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente): RP = AR CB AC Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha: y y x x A A = y x B B y x A A 18

19 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Ponendo: a = y B y A b = ( x B x A ) c = y A x B y B x A Si ottiene l equazione della retta in forma implicita (o generale): ax + by + c = 0 19

20 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA L equazione di una retta passante per due punti è quindi: y x y x A A = La distanza d di un punto S(x s,y s ) da una retta è invece dato da: d = ax s + by s + c a 2 + b 2 20 y x B B y x A A

21 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA La retta che poggia sull asse delle ordinate ha equazione x = 0 La retta che poggia sull asse delle ascisse ha equazione y = 0 21

22 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Una retta parallela all asse delle ordinate, passante per il punto P 1 (k,0) ha equazione x = k Una retta parallela all asse delle ascisse, passante per il punto P 2 (0,h) ha equazione y = h 22

23 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA x=k O P 1 =(k,0) P 2 =(0,h) y=h 23

24 LE CONICHE 24

25 25

26 LA CIRCONFERENZA L equazione della circonferenza di centro C(x c, y c ) e raggio r è data da: x 2 + y 2 + αx + ββ + γ = 0 Dove i coefficienti sono dati da: α = 2x c β = 2y c γ = x 2 c + y 2 c r 2 Se C=O l equazione assume la forma di : x 2 + y 2 = r 2 26

27 LA CIRCONFERENZA Se una circonferenza ha raggio r ed è centrata in C(x c,y c ), si può verificare che la sua equazione può essere sempre scritta come: (x x c ) 2 +(y y c ) 2 = r 2 Viceversa dall equazione della circonferenza in questa forma si può facilmente desumere la lunghezza del raggio e le coordinate cartesiane del centro 27

28 GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA y x -2.5 C

29 L ELLISSE Definizione: assegnati nel piano due punti F 1 ed F 2, detti fuochi, si chiama ellisse la curva piana, luogo geometrico dei punti P tali che sia costante la somma delle distanze di P da F 1 ed F 2 : PF 1 + PF 2 = 2a a è la lunghezza del semiasse maggiore dell ellisse 29

30 L ELLISSE Definiti F 1 ed F 2 come: F 1 ( c, 0) F 2 +c, 0 La relazione precedente può essere scritta come: (x + c) 2 +y 2 + (x c) 2 +y 2 = 2a 30

31 GRAFICO DELL ELLISSE y B P C O F 1 F 2 A x D 31

32 L ELLISSE In un ellisse i fuochi sono sempre contenuti all interno della figura. È necessario quindi che la seguente relazione sia sempre rispettata: a > c Sostituendo b 2 = (a 2 c 2 ) posso verificare che b è il semiasse minore e che l equazione può essere scritta come: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 32

33 L IPERBOLE Definizione: si considerino 2 punti (denominati fuochi) F 1 e F 2 nel piano, la cui distanza si a pari a d = 2c; sia a un numero reale positivo tale che c > a > 0. Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P per i quali risulta: PF 1 PF 2 = 2a 33

34 L IPERBOLE Definito a il semiasse maggiore e posti F 1 ed F 2 sull asse delle ascisse, equidistanti da O F 1 ( c, 0) F 2 (+c, 0) L equazione precedente può essere scritta come: (x + c) 2 +y 2 (x c) 2 +y 2 = 2a dove a < c 34

35 L IPERBOLE Definito b 2 = (c 2 a 2 ) svolgendo i calcoli, dall equazione precedente si giunge a definire l equazione dell iperbole centrata nell origine e avente l asse principale coincidente con l asse delle ascisse come: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 35

36 GRAFICO DELL IPERBOLE y P F1 C O A F 2 x 36

37 IPERBOLE EQUILATERA Se a=b l equazione l iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è: x 2 y 2 = a 2 Se si ruota il grafico di 45 in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha: xx = a2 2 ovvero xx = k 37

38 GRAFICO DELL IPERBOLE EQUILATERA y 5 4 F x -2 F

39 LA PARABOLA Si consideri una retta r (direttrice) e un punto F (fuoco), non appartenente alla retta, la cui distanza dalla retta sia pari a d=2c (c>0). Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti P equidistanti dalla direttrice e dal fuoco; indicando con R la proiezione ortogonale di P sulla direttrice si ha: PF = PR 39

40 GRAFICO DELLA PARABOLA P F d O R 40

41 LA PARABOLA L equazione della parabola con il vertice nell origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c > 0 e la direttrice di equazione y = c è espressa da: y = 1 4c x2 Se il vertice non coincide con l origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all asse x l equazione assume la forma: y = a 0 x 2 + a 1 x + a 2 41

42 LA PARABOLA Data l equazione della parabola y = aa 2 + bb + c Asse: Vertice: Fuoco: Indichiamo x = b 2a V( b 2a ; Δ 4a ) F( b 2a ; 1 Δ 4a ) Direttrice: y = 1+Δ 4a Δ = b 2 4aa 42