Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI

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1 Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: Classe: 3 H Docente: Paola Zanolo Disciplina: Matematica Ripassare tutto il programma preparando un formulario per i principali argomenti. Per chi ha una valutazione maggiore o uguale a 7: svolgere i primi 3 esercizi di ogni scheda delle schede REALTA E MODELLI. Per chi ha il giudizio sospeso o 6: SCHEDE ESERCIZI: Scheda 1: 1A, A, 3 A, 5 A, 7 A, 8 A, 11 A, 1 A, 13 A, 17 A, 18 A, 1 A, A, 4 A, 8 A, 9 a, 30 A. Scheda : 1 A, A, 4 A, 7 A, 9 A. Scheda 4: dal 1 A al 11 A, 15 A 0 A e 1 A. Scheda 5: dal 1 A al 5 A, 7 A, 9 A, 11 A, 1 A, 16 A, 3 A. Scheda 6: 1 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A, 9 A, 10 A, 13 A, 14 A. Scheda 7: 1 A, 3 A, 4 A, 6 A, 11 A,15 A, 19 A, 0 A. Ivrea, 11 giugno 015 Il Docente Paola Zanolo

2 01 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESERCIZI 1. LE DISEQUAZIONI E LE LORO PROPRIETÀ Rappresenta su una retta orientata l unione dei seguenti insiemi e scrivi il risultato anche con le disuguaglianze e con le parentesi quadre. 1 A { x R x > } { x R 5 x } [ x 5;[ 5; + [] 1 B { x R x < 5 } { x R 5 x < 7} [ x < 7; ] ;7[] Risolvi la seguente disequazione, applicando il primo o il secondo principio di equivalenza. Per ogni passaggio indica quale principio hai applicato. A 7x 7 > x + 8 B 8x > 7x 3 [ x > 3] [ x < 5]. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Risolvi le seguenti disequazioni intere numeriche. x + x 4 3 x 6 x x A ( ) 3 B 4 A 4 B x + 1 x 6 3 x 6x + x x 3 x x < x + x + x x + x 4 x > x + x x [ x ] [ x 3] 6 x < 7 x < 9 3

3 Risolvi le seguenti disequazioni intere letterali. a a ax a x + > a a + + x a > 1, x > ; a < 1, x < ; a = 1, non esiste x R 5 A ( 1 )( 1) ( 1)( 1) a a ax + + a x + > a a + x a > 1, x > ; a < 1, x < ; a = 1, non esiste x R 5 B ( 1 )( 1) ( 1 )( 1) 6 A 6 B x 3ax + 1 a + > ( 4a + 1) 3( 4a + 1) 3 a >, x < ; a <, x > ; a =, non esiste x R 3 3a + 3 3a + 3 x ax a + < a + 1 4a + 1 a > 1, x > ; a < 1, x < ; a = 1, x R a + 1 a + 1 Risolvi la seguente disequazione A x ( x )( x ) x x + x B ( )( ) 1 x 3 x 4 1 x x LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere. 8 A ( 1) x > x x B ( ) x > x + 1 x A 1 ( 4x 1) 1 x 3 9x + > 4 x < x > x < x > 3 1 x

4 9 B 10 A ( x 1) 10 B ( x ) x + x x + 9x (x + 1) + 1< ( x + 4) 5x 3 x + x ( x + 5) 5x + x + 3 x x [ non esiste x R ] [ non esiste x R ] Risolvi la seguente disequazione letterale intera. 11 A 3x 1kx > ( k 1)( 5k 1) + x( x 4k ) 11 B x 4kx > ( k + 1)( 3k + 1) + x( x k ) k >, x < 1 k x > 5k 1; k =, x ; k <, x < 5k 1 x > 1 k k >, x < k 1 x > 3k + 1; k =, x ; k <, x < 3k + 1 x > k 1 4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E LE DISEQUAZIONI FRATTE Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo. 1 A 1 B 13 A 13 B 14 A 14 B x x + 7x 8 > 0 [ x < x > 1] 7x 8 > 0 [ x < 1 x > ] < 0 [ x < 1 3 < x < 4] x x x < 0 [ x < 5 1< x < ] < 0 [ 3 < x < 1 0 < x < ] 3 x x x 4 3 x x x x < 0 [ 4 < x < 1 0 < x < 3] 4 3 x x x x Risolvi le seguenti disequazioni fratte. 15 A x 0x x 1 [ x < 1 1< x 4 x 16]

5 15 B x 16 A 16 B 1x x > x x 1 x > 1 x 1 x 1 x + 1 [ x < < x 4 x 8] [ 7 < x < 1 1< x < ] [ < x < 1 1< x < 7] Risolvi la seguente disequazione fratta letterale. 17 A x + ax + 3a x a < 0 [ a > 0, a < x < a x > 3 a; a = 0, x > 0; a < 0, 3a < x < a x > a] 17 B x + 5ax 4a x + a < 0 [ a > 0, a < x < a x > 4 a; a = 0, x > 0; a < 0, 4a < x < a x > a] 5. I SISTEMI DI DISEQUAZIONI Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. x 3x 5 1< < 1 18 A x ( x ) ( x ) + > 4x + 8 x 3x < 3 4 < B x( x ) ( x ) 19 A 19 B > 0 4x x + 6x + 5 < 0 x 8x + 7 ( x 1) + x < 1+ 3x + + x 5x 4 < 0 x 9x + 14 ( x + 1) + x + x < 1 [ < x < 4] [ 4 < x < 5] 5 1 < x < 3 < x < 1

6 0 A 0 B x + 3x < 0 x + 1 x 3 > x > 3x x x 3 < 0 x + 3 x > x > x 1 0 < x < 3 0 < x < Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni letterali. 1 A 1 B ( ) ( ) ( ) x x + a a + x + ax x + a x 3a x x + a 3a ( ) ( ) ( ) x 6x 5a 6x 5ax a x a x + a x x a a a a a > 0, 3 a x a x a; a = 0, x = 0; a < 0, a x a x 3a a a a a a > 0, a x x a; a = 0, x = 0; a < 0, a x x a LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO Risolvi le seguenti equazioni che contengono valori assoluti. A 3x 4 3 = 4( x + 1) ( x + 4) [ x = 1 x = 3] B 3x 7 3+ ( x + 3) = 4x [ x = x = 4] 3 A x + 5 = 7 x 3 B x + x 3 = 5 Risolvi le seguenti disequazioni con il valore assoluto. [ x = 6 x = 1] [ x = 1 x = 4] 4 A x x 1 4 B 1 x 3 x 1 x 3 x 3

7 5 A 3 < + x B 4 < + x 6 A 6 B 7 A 7 B x 5 < 1 x x 3 < 1 x 1 3 x x x x + 7 > 1 > 1 [ x < 4 x > ] [ x < 0 x > 4] ( ) 7 < x < < x < 3 x 6 x < 1 x > 9 ( ) x 7 x < x > 8 Risolvi il seguente sistema di disequazioni con il valore assoluto. 8 A 8 B x 6 x < + 3 x 1 x < x < x x 9 > x 5 [ 3 < x < 5] [ 10 < x < 1] 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Risolvi la seguente equazione irrazionale. 9 A 9 B 8 x x x = x x x + 1 = 0 x = x =

8 Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali. 30 A 30 B x + 4x + 3 < x + x + 6x + 8 < x A x x > 0 31 B x x > 0 3 A 6 x x B 7 x x [ x 1] [ x ] [ x > ] [ x > 3] 5 x x 3

9 0 LE FUNZIONI ESERCIZI 1. LE FUNZIONI E LE LORO CARATTERISTICHE Nella funzione f : R R successiva completa le uguaglianze, scrivendo il valore mancante (se esiste) al posto dei puntini. 1 A 1 B y y = 3x ;... f ( 3) = 5x ;... f ( ) 1 = ;... = f 3 ; 48 = f (...); 5 = f (...). 1 = ;... = f 5 ; 7 = f (...) ; 5 = f (...) ; ; non esiste; ± ; ; ± ; non esiste 5 5 Traccia il grafico delle seguenti funzioni. A B x+ 3 se x 1 = + 3 se < < 1 y x x x x + x 7 se x + 3 s ex 1 y = x + 1 s e3 < x < 1 x x + 7 s ex 3 3 A y = 3x 5 3 B y = x + 7 Determina il dominio delle seguenti funzioni. 4 A 4 B y = y = + 5x x x x + 3x x x x [ x ± 1 x 3] [ x ± x 1]

10 5 A 5 B 6 A 6 B x + 5+ y = x 3 x y = 3x 3x 4 y = + x x+ 1 x 3 y = 3 + x 3x+ 1 3 x > x > 3 4 x x x x. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LE FUNZIONI COMPOSTE Ciascuno dei seguenti grafici rappresenta una funzione f : R R. Indica per ognuno se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. 7 A 7 B Date le seguenti funzioni f e g, determina f g e g f. f g x = x+ 3; g f x = x + 8 A ( ) f x = x + 1; g( x) = x+ 1. ( )( ) ( )( ) 8 B f ( x) = x+ ; g( x) = x +. ( )( ) ( )( ) f g x = x + 4; g f x = x+ 6

11 Data la funzione f, trova la funzione inversa 1 f e stabilisci la monotonia di f e 1 f. f x = x 1 ; 0 9 A ( ) f x = x + 1 ; 0 9 B ( ) 3. LE SUCCESSIONI NUMERICHE + x >. ( ) = 1 1 x f x ; f, f 1 c r e x >. ( ) 1 1 x 1 f x = ; f, f decrescenti Rappresenta mediante espressione analitica la seguente successione numerica. 10 A ,,,,,, a n n + 1 =, n { 0 } n 10 B ,,,,,, a n n 1 =, n { 0 } n Scrivi in forma analitica la seguente successione definita ricorsivamente. 11 A 11 B a a 0 a a = 1 n+ 1 0 n+ 1 ( ) + a = 3 1 n = 1 n ( ) + a = 4 1 n n n ( ) ( ) an = 1 3n+ 1, n N n ( ) ( ) an = 1 4n+ 1, n N 1 A Dimostra che 8 1 n è multiplo di 7 per ogni n N { } 0. 1 B Dimostra che 5 1 n è multiplo di 4 per ogni n N { } LE PROGRESSIONI ARITMETICHE Calcola il termine indicato della progressione aritmetica di cui sono noti il primo termine a 1 e la ragione

12 d. a = 3 e d = 4, calcola a. 13 A 1 7 a = 1 e d = 5, calcola a. 13 B 1 6 [ 7 ] [ 6 ]

13 0 LE FUNZIONI ESERCIZI Calcola il termine indicato della progressione aritmetica di cui sono noti un termine e la ragione d. a = 3 e d = 7, calcola a. 14 A 6 1 a = 38 e d = 8, calcola a. 14 B 7 1 a = 5 e d = 8, calcola a. 15 A 6 1 a = 39 e d = 7, calcola a. 15 B 7 1 [ 1 ] [ 10 ] [ 100 ] [ 74 ] Calcola la ragione d della progressione aritmetica di cui sono noti il primo termine a 1 e un altro. a = 30 e a = 1, calcola d. 16 A 10 1 a = 44 e a = 14, calcola d. 16 B 11 1 [ ] [ 3 ] 17 A Calcola la somma dei primi dieci multipli di 6 diversi da zero. [ 330 ] 17 B Calcola la somma dei primi dodici multipli di 3 diversi da zero. [ 34 ] 18 A Calcola le lunghezze dei lati di un triangolo di perimetro 36 cm, sapendo che sono in progressione aritmetica di ragione B Calcola le lunghezze dei lati di un triangolo di perimetro 39 cm, sapendo che sono in progressione aritmetica e che il lato minore è di 10 cm. [ 8 cm, 1 cm, 16 cm ] [ 13 cm, 16 cm ] 19 A In una stanza vi sono 6 persone le cui età sono in progressione aritmetica. Sapendo che il più giovane ha 0 anni e che la somma di tutte le età è pari a 165, calcola l età delle altre persone. [ 3, 6, 9, 3, 35 ] 19 B In una stanza vi sono 7 bambini i cui pesi sono in progressione aritmetica. Sapendo che la ragione della progressione è e che la somma di tutti i pesi è pari a 10 kg, calcola il peso dei bambini. [ 4 kg, 6 kg, 8 kg, 30 kg, 3 kg, 34 kg, 36 kg ] Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 5 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

14 0 LE FUNZIONI ESERCIZI 5. LE PROGRESSIONI GEOMETRICHE Calcola il termine indicato della progressione geometrica di cui sono noti il primo termine a 1 e la ragione q. a = 3 e q= 1, calcola a. 0 A 1 5 a = 81 e q = 1, calcola a. 3 0 B 1 5 [ ] [ 1 ] Calcola il numero n dei primi termini della progressione geometrica se sono noti i valori degli estremi e la ragione q. = n = = [ 4 ] = = = [ 5 ] 1 A a1, a 16 e q, calcola n. 1 B a1 6 3, a 54 3 e q 3, calcola n. n Calcola la ragione q della progressione geometrica di cui sono noti il primo termine a 1 e un altro. a 97 e a 4, calcola q. A 6 1 B 4 1 = = [ 3] = 30 e = 5, calcola. [ + 4] a a q a = 1 e q= 1, calcola a. 8 a = 16 e q =, calcola a A B A 4 B Calcola il prodotto dei primi cinque termini della progressione geometrica di ragione 1, 4 avente come primo termine Calcola il prodotto dei primi 5 termini della progressione geometrica di ragione 1, il cui primo 3 termine vale A Calcola la somma dei primi 5 termini di una progressione geometrica di ragione 4, il cui primo termine vale 3. [ 8 ] [ 9 ] [ 103 ] Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 6 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

15 0 LE FUNZIONI ESERCIZI 5 B Calcola la somma dei primi 4 termini di una progressione geometrica di ragione 5, il cui primo termine vale. [ 31] 6 A Calcola la lunghezza dei lati di un triangolo, sapendo che i lati formano una progressione geometrica, che il perimetro è di 111 cm e che la differenza fra il lato medio e il minore è 9 cm. [ 7 cm, 36 cm, 48 cm; 1 cm, 10 cm, 100 cm ] 6 B Calcola la lunghezza dei lati di un triangolo, sapendo che i lati formano una progressione geometrica, che il perimetro è di 38 cm e che la differenza fra il lato medio e il minore è 4 cm cm, 1 cm, 18 cm; cm, cm, cm Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 7 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

16 04 LA CIRCONFERENZA ESERCIZI 1. LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE 1 A Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza dal punto C(1; 3). x + y x 6y+ 6= 0 1 B Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 3 dal punto C(; 1). x + y 4x y 4= 0 Indica se le seguenti equazioni sono le equazioni di una circonferenza e in caso affermativo rappresentale graficamente. A x + y + 4x y 4= 0; x + y 6y 7= 0; x + y 3x+ 5y+ 9= 0. B x + y + 8x 6y = 0; x + y 6y+ 9= 0; x + y + x+ y 7= 0. 3 A Scrivi l equazione della circonferenza di raggio 4, concentrica alla circonferenza di equazione: x + y + 4x 3 = 0. x + y + 4x 1 = 0 3 B Scrivi l equazione della circonferenza di raggio 4, concentrica alla circonferenza di equazione: x + y + 6y 16 = 0. x + y + 6y 7 = 0 Determina il dominio e rappresenta graficamente la seguente funzione. [ ] [ ] y = 1 x + 4x 3 4 A y = + 6x x 4 B [ 1 x 3] [ 0 x 6] Rappresenta graficamente la curva descritta dalla seguente equazione. 5 A 5 B x y x y = 0 x y x y = 0

17 Trova l equazione corrispondente al seguente grafico utilizzando i dati della figura. 6 A x+ 1 se x< 0 f ( x) = 1 4 x x se 0 x 4 1 se x > 4 6 B ( ) 1 se x < f x = 1 x + 6x 8 se x 4 x 5 se x > 4 Rappresenta graficamente la regione del piano corrispondente alla soluzione del seguente sistema di disequazioni. 7 A 7 B x x + y + y x + y x + y 9 4x 6y x + 8y + 4 0

18 . RETTA E CIRCONFERENZA Stabilisci la posizione della retta r, rispetto alla circonferenza γ e, nel caso in cui la retta non sia esterna, determina le coordinate dei punti di intersezione. 8 A 8 B γ + + =, r: y x 1 0 : x y x 4y 3 0 γ : x + y x y+ 1= 0, r: x y =. [ :( 0;1 )] tangente =. s e c: ( 1;0 a ) n, t; e 5 5 Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale. 9 A 9 B + [ 1 x α; α 0,1] + [ α x 3; α 0,5] 4x x 5 3x x x 3 4x 0 Trova l area della regione individuata dal seguente sistema di disequazioni. 10 A 10 B x + y + x> 0 x + y + 4x< 0 x > x + y 6x> y 9 x + y 6x< 6y 9 y < 3 [ π ] 7 π 3. LE RETTE TANGENTI 11 A Determina l equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x + y 4x+ y 15 = 0 condotte dal punto P( ; 4) y = x 15; y = x 5 11 B Determina l equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x + y x y 18 = 0 condotte dal punto P( 3; 4) y = x+ ; y = x+

19 1 A 1 B Data la circonferenza di equazione x + y 4x y 5= 0, verifica che il punto P(3; 4) le appartiene e determina l equazione della retta tangente in P alla circonferenza. x+ 3y 15 = 0 [ ] Data la circonferenza di equazione x + y x+ 4y 7 = 0, verifica che il punto P(5; ) le appartiene e determina l equazione della retta tangente in P alla circonferenza. x+ y 7= 0 [ ] Risolvi graficamente il seguente sistema parametrico, al variare di k. 13 A 13 B x + y k x 0 ( x 5) x + y k x 0 ( x ) 6x + 4y 1 = 0 y 5k = x+ 8y 4 8= 0 y 4k 4 = s p o < k e< l ; sr. p o e kl r. k sol. per < k < ; sol. per k k A Scrivi l equazione della circonferenza di centro C(; 3), passante per A(3; 1) e disegnala. Determina poi l equazione della retta tangente alla circonferenza in A. x + y 4x 6y 4 = 0; x 4y 7 = 0 14 B Scrivi l equazione della circonferenza di centro C(1; 4), passante per A(; 1) e disegnala. Determina poi l equazione della retta tangente alla circonferenza in A. x + y x 8y 9 = 0; x 5y 7 = 0 4. DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA 15 A Determina l equazione della circonferenza di diametro AB, con A( ; 1) e B(; 4), e stabilisci per quali valori di k il punto P( 1 + k;4k) le appartiene. 1 x + y 5y = 0; k = 1 k = 1

20 15 B Determina l equazione della circonferenza di diametro AB, con A( 3; 4) e B(1; 1), e stabilisci per quali valori di k il punto P( k;k 1) le appartiene. x + y + x 5y+ 1 = 0; k = 1 k = A Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 0), B( 1; ), C(; 4). x + y + 9x+ 7 y 10 = 0 16 B Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 1), B( 1; 1), C(0; ). x + y y = 0 17 A Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(3; ) e B(0; 1) e avente centro sulla retta r di equazione x y+ 1= 0. x + y x y 3= 0 17 B Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1) e B(; ) e avente centro sulla retta r di equazione x y = 0. x + y 6x 3y+ 10 = 0 18 A Determina la circonferenza con centro C(; 5) e tangente alla retta di equazione y = x x + y 4x 10y+ = B Determina la circonferenza con centro C( ; 4) e tangente alla retta di equazione y = x x + y + 4x+ 8y+ = A Determina l equazione della circonferenza passante per i punti P(1; 1) e Q(7; 1) e tangente alla retta di equazione y 3x= 0. x + y 8x 4y+ 10 = 0; 9x + 9y 7x+ 44y+ 10 = 0 19 B Determina l equazione della circonferenza passante per i punti P(0; 4) e Q( ; ) e tangente alla retta di equazione y x+ 4= 0. 4x + 4y 7x 9y 8 = 0 5. LA POSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE Determina l asse radicale e i punti di intersezione delle due circonferenze assegnate. 0 A x y x y = 0, = 0. x+ y 3 = 0; P( ;1 ), Q( 4; 1) x y y

21 0 B x y x y = 0, x y x = 0. ( ) ( ) x+ y+ = 0; P 1; 1, Q 1; 3 6. I FASCI DI CIRCONFERENZE 1 A 1 B Sono date le circonferenze di equazione: x + y + 10x 6y+ 16 = 0, x + y + 4y 4= 0. a) Dopo averle rappresentate graficamente scrivi l equazione del fascio da esse generato. b) Determina le coordinate degli eventuali punti base del fascio. c) Scrivi l equazione della circonferenza del fascio che passa per il punto P(0; 4). d) Trova l equazione della circonferenza del fascio che ha centro sulla retta di equazione: x y+ 8= k x + 1+ k y + 1 x + 0 k 3 y k = 0; [( ) ( ) ( ) A( ;0) ; k = ; ( x + 4) + ( y ) = 8 Sono date le circonferenze di equazione: x + y 10x+ 4y+ 1 = 0, x + y 6y 9= 0. a) Dopo averle rappresentate graficamente scrivi l equazione del fascio da esse generato. b) Determina le coordinate degli eventuali punti base del fascio. c) Scrivi l equazione della circonferenza del fascio che passa per il punto P(0; ). d) Trova l equazione della circonferenza del fascio che ha centro sulla retta di equazione: x y+ 3= k x + 1+ k y 1 x + 0 3k y + 9k1= 0; [( ) ( ) ( ) A ( 3;0) ; k = ; ( x 1) + ( y ) = 8 Determina l equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A e B. Calcola inoltre la retta dei centri del fascio. A A( 4; ), B ( 0;1). ( ) ( ) x + y + 3k 4 x+ 4k+ 1 y 4k = 0; 8x 6y 19 = 0 B A ( 3;3), B( ;0). ( ) ( ) x + y + 3k 1 x 5k+ 3 y 6 + 6k = 0; 5x+ 3y 7 = 0 3 A Determina l equazione del fascio di circonferenze tangenti nel punto P di ascissa 3 alla retta r di equazione x y+ 5= 0. x + y + ( k 6) x ( k+ 8) y k = 0 3 B Determina l equazione del fascio di circonferenze tangenti nel punto P di ordinata 5 alla retta r di equazione 4x+ y 1= 0. x + y + ( + 4k) x+ ( k 10) y+ 6 k = 0

22 4 A 4 B 1+ k x + 1+ k y + k 4 x+ 6y+ 3 15k = 0 Dato il fascio di circonferenze di equazione: ( ) ( ) ( ) a) trova le due circonferenze generatrici; b) calcola l asse radicale e i punti base del fascio; c) determina l asse centrale; d) stabilisci per quale valore del parametro k si ha la circonferenza passante per P(; 4). [ x + y x y 3 = 0; A 4x + 6y + 3 = 0, x + y + x 1 = 0; ( 3;0), B( 1; 4) ; y = x 1; k = 1+ k x + 1+ k y + 6x+ 4k y 1 = 0 Dato il fascio di circonferenze di equazione: ( ) ( ) ( ) a) trova le due circonferenze generatrici; b) calcola l asse radicale e i punti base del fascio; c) determina l asse centrale; d) stabilisci per quale valore del parametro k si ha la circonferenza passante per P( 3; 1). [ x + y A + 6x y 1 = 0; x + y 1 ( ; + ), B( ; ) ; y = x ; k = + 4x = 0; x y = 0; 7 ESERCIZI VARI. LA CIRCONFERENZA 5 A Si considerino i punti A(3;), B(1;0) e P(1;4). a) Determina l equazione della circonferenza γ di diametro AB. b) Verifica che la retta PA è tangente a γ c) Indicata con t l altra tangente a γ passante per P, determina il punto D di t di ascissa 0. d) Determina le coordinate del punto E in modo che la circonferenza γ risulti inscritta nel triangolo PDE. a γ : x ) + y 1 = ; c t : y = ) 7x 3, D 0; 3 ; d E 5 B Si considerino i punti A(1;3), B( 7; 1) [ ( ) ( ) ( ) ( 4;1 )] e P ( 3; 1 ). a) Determina l equazione della circonferenza γ di diametro AB. b) Verifica che la retta PA è tangente a γ c) Indicata con t l altra tangente a γ passante per P, determina il punto D di t di ascissa 13. d) Determina le coordinate del punto E in modo che la circonferenza γ risulti inscritta nel triangolo PDE. 1 5 a γ : x + 3) + y 1 = ; c t : y = 0 ) x, D 1 ; 9 ; d E3 3; 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 Risolvi graficamente il seguente sistema parametrico, al variare di k R. 6 A 6 B x + y 1 x0 4y + 9 = 0 x + y + k = 0 y 0 [ d s uop 7 e le1 uk r 9, 0 uz s niop o 9 < a lk e n1 u] x + y + 4x 6y + 5 = 0 x 3y + k = 0 x d s upo e lk u4 r 5, u 1s z npo 1i 6 oa el k 1< 1 u+ 6nr [ ]

24 05 LA PARABOLA ESERCIZI 1. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano. 1 A 1 B y y = 5x ; = 4x ; y y 1 5 = x ; 1 x 4 = ; y y = 3x. = 5x. Applicando la definizione, determina l equazione della parabola di cui sono assegnate le coordinate del fuoco F e l equazione della direttrice d. A F ( 1; ), d : y = 3. B F ( 1;1) ; d: y =. 1 = + + y x x 1 = + 1 y x x Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano. 3 A 3 B 1 = 4 + 6; y x x 1 = 16; y x x y x x = y x x = Scrivi l equazione della parabola avente vertice nell origine degli assi e per fuoco il seguente punto. Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi l equazione della direttrice. 4 A F 1 ;0 1 1 = = x y ; x

25 4 B F 3 ; = = 3 4 x y ; x Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano. 5 A 5 B 6 A 6 B x 3y 6y = ; x y 4y = ; x y y = ; x y y = + ; x x = y 5. = y + 6. x y y = 4 + 6; x y y = 4 + 3; = x y y = x y y Rappresenta graficamente le seguenti funzioni. 7 A 7 B y x x = ; y = x + x 3x+. y x x = ; = x x y. y ; x = y + 1 ; y = 3 x 1. 8 A = 1+ x 1 y ; x 3 = y ; y = x. 8 B = + x 3. LA POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO A UNA PARABOLA Sono date le seguenti equazioni di una parabola e di due rette. Determina l intersezione di ciascuna retta con la parabola e disegnane il grafico. 9 A 9 B 10 A = 4 + ; y = x 5 ; y 4x 6 y x x = ; y = 4x+ 11; y x 1 y x x = +. nessuna intersezione; ( ;14 ), ( ; ) = +. ( ) ( 5; ) nessuna inters Inscrivi nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione un rettangolo che ha il perimetro uguale a 10. 1; 7, 1;1 ezione x 7 y = x+ 3 e dall asse x [ y = ]

26 10 B Inscrivi nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione x un rettangolo che ha il perimetro uguale a = + 6 e dall asse 8 4 y x x [ y = 3] Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale. 11 A 5x 1 3x B 9 3x + x 5 1 x α; α 1, 5 5 [ x α; α 1,4] 3. LE RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA 1 A 1 B 13 A 13 B 1 È data la parabola di equazione y = x 3x+. Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola nel punto in cui questa interseca l asse y. y = 3x+ [ ] 1 È data la parabola di equazione y = x 5x+ 1. Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola nel punto in cui questa interseca l asse y. y = 5x+ 1 [ ] È data la parabola di equazione y = x x. Determina l equazione delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto P(1; ). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro del triangolo ABP. y = x 4; y = x; A( ;0 ); B(0;0); + 5 È data la parabola di equazione y = x 4x. Determina l equazione delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto P(; 5). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro del triangolo ABP. y = x 9; y = x 1; A( 3; 3 ); B(1; 3); A Utilizzando la formula di sdoppiamento, determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x 4x+ 1 nel suo punto P di ascissa 1 e verifica che tale tangente passa per l origine. y = x [ ]

27 14 B Utilizzando la formula di sdoppiamento, determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x x+ 3 nel suo punto P di ascissa e verifica che tale tangente passa per il punto Q(0; 7). y = 6x A 15 B [ ] 1 19 È data la parabola di equazione y = x 4x+. Calcola l area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dalla retta di equazione x y 1= È data la parabola di equazione y = x 3x+. Calcola l area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dalla retta di equazione x y+ 3= COME DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLA Determina l equazione della parabola con asse parallelo all asse x, della quale sono indicate di seguito le coordinate del vertice V e del fuoco F e rappresentala nel piano cartesiano. 16 A ( 0; ) 16 B ( 0; 3) 17 A 17 B 1 V, F ; 4. x= y + 4y+ 4 1 V, F ; 3 4. x= y + 6y+ 9 3 Scrivi l equazione della parabola di vertice V ;0 4 e direttrice 1 d : y =, poi rappresentala 4 graficamente. 3 9 y = x + x 16 3 Scrivi l equazione della parabola di vertice V ;0 4 e direttrice 1 d : y =, poi rappresentala 4 graficamente. 3 9 y = x x 16

28 18 A 18 B Determina l equazione della parabola che passa per i punti A ( 3; 1) e ( 7; 1) di simmetria la retta 5 y =. 4 Determina l equazione della parabola che passa per i punti A( 0; 1) e ( ; 9) di simmetria la retta 1 x =. 6 B e che ha per asse x= y 5y B e che ha per asse y = 3x x 1 Determina l equazione della parabola che passa per i punti A, B e C assegnati e rappresentala graficamente. 19 A A( 1; 1), B ( 0; 4), ( 3; 5) 19 B A ( 0; ), B( 1; 1), ( ; ) C. y = x + 6x+ 4 C. y = x + 4x+ 0 A Scrivi l equazione della parabola di vertice V(; 5), asse parallelo all asse y e passante per il punto A(1; 4). Rappresentala graficamente. y = x + 4x+ 1 0 B Scrivi l equazione della parabola di vertice V( 1; 5), asse parallelo all asse y e passante per il punto A(1; 3). Rappresentala graficamente. y = x + 4x 3 1 A 1 B Determina l equazione della parabola y = ax + bx + c di vertice V(1; 5) e tangente alla retta r di equazione y 4x+ 1= 0. y = x 4x Determina l equazione della parabola y = ax + bx + c di vertice V ; e tangente alla retta 4 r di equazione y 3x+ 5= 0. y = x x 1

29 Trova l equazione del grafico utilizzando i dati della figura. A f ( x) 6 8 se x+ 4 se x> x x x = B f ( x) = 4 4 x se x 1 x x 3 se x> 1 5. I FASCI DI PARABOLE 3 A Dopo aver studiato il seguente fascio di parabole: y = ( 1+ k) x + 1 ( + k) x+ determina i valori di k corrispondenti alle parabole: a) passanti per P(1; 5); b) con vertice di ordinata 1. parabola degenere per k = 1, A( ; ), B( 0; ) punti base; k = 0; k =

30 3 B Dopo aver studiato il seguente fascio di parabole: y = + k x + k x+ ( ) ( ) determina i valori di k corrispondenti alle parabole: a) passanti per P( 1; 5); b) con vertice di ordinata 1. parabola degenere pe r k =, A( ; ), B( 0; ) punti base; k = 1; k = 1 Determina l equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all asse y, passanti per i punti A e B. 4 A A ( 3;1), B ( ;5). ( ) y = kx 5k + 4 x k 4 B A ( 1; 4), B ( ;3). ( ) y = kx 3k + 1 x + 5+ k 5 A Scrivi l equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione y = 3x nel punto di ascissa e determina quella tangente alla retta di equazione y = x y = x + x B Scrivi l equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione y = x+ nel punto di ascissa 1 e determina quella tangente alla retta di equazione y = 4x y = x x+ 4 4 ESERCIZI VARI. LA PARABOLA Risolvi il seguente sistema parametrico con metodo grafico. 6 A 6 B 3+ x k = kx + 3k 3 x 6 x 4+ 5k = kx + 3k 4 x k, soluzioni; 0 k <, 1 soluzione k, soluzioni; 0 k <, 1 soluzione 3 4 3

31 06 L ELLISSE ESERCIZI 1. L ELLISSE E LA SUA EQUAZIONE 1 A Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti A ( 8;0) e B ( 8;0) sia 0. x y + = B Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti A( 6;0) e B ( 6;0) sia 0. x y + = A Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti A( 0; 3) e B ( 0;3) sia 10. x y + = B Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti A( 0; ) e B ( 0; ) sia 8. x y + = Riconosci se ognuna delle seguenti equazioni rappresenta un ellisse; in caso affermativo scrivile in forma canonica, determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l eccentricità e rappresenta la curva graficamente. 3 A 3 B y 5 x + = 1; x y + = 1; x 5y = ; 4x 9y 36 + = ; x y + = x y + =

32 Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano ellissi, scrivile in forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all asse x oppure all asse y. 4 A a) 4 B a) x + y = 4; b) 3x + y = 1 ; c) 5y = 5 x ; d) + = ; b) 3x + y = 9; c) y = 16 x ; d) 4x 5y 0 x x = 6y = 18 y. Determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l eccentricità delle seguenti ellissi e rappresentale graficamente. 5 A x y + = 1; 4 5 x 4y + = 1; x y 1 + =. 5 B x y + = 1; x y + = 1; 5 4 3x y 1 + =.. LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UN ELLISSE Stabilisci la posizione tra la seguente retta e l ellisse e, nel caso in cui la retta non sia esterna, determina i loro punti di intersezione. 6 A 3x y+ 6= 0; 6 B x+ y 6= 0; 7 A 7 B 8 A x y 3 + = 1. P1 3; ; P( 0;3) =. P( 1;4 ); P ( ;) 4x y 0 1 x y Data l ellisse di equazione + = 1, trova la misura della corda individuata sulla retta di equazione x+ 3y 1 = x y Data l ellisse di equazione + = 1, trova la misura della corda individuata sulla retta di 5 9 equazione 3x 5y+ 15 = Determina l equazione della tangente all ellisse di equazione 4x + y = 8 nel punto P( 1; ). y = x+ 4 [ ]

33 8 B Determina l equazione della tangente all ellisse di equazione x + 9y = 45 nel punto P ( 6;1). y = x COME DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN ELLISSE 9 A 9 B Determina l equazione dell ellisse che ha un vertice in ( ) 0; 5 e un fuoco in ( ;0). x y + = Determina l equazione dell ellisse che ha un vertice in ( 0; 7 ) e un fuoco in ( 3; 0 ). x y + = Scrivi l equazione dell ellisse x a y + =, passante per i punti indicati. b 1 10 A 6 ; 3 ; ( 3;1). 10 B ( ; ) ; ( 6;1 ). x y + = x y + = A Scrivi l equazione dell ellisse con centro di simmetria nell origine che ha un fuoco nel punto F ( 3, ) ed eccentricità e = ; rappresentala nel piano cartesiano. 34 x y + = B Scrivi l equazione dell ellisse con centro di simmetria nell origine che ha un fuoco nel punto F ( 4;0) ed eccentricità e = ; rappresentala nel piano cartesiano. x y + =

34 1 A 1 B x y È data l equazione + = 1. Determina per quali valori di k essa rappresenta una ellisse e 5 1 k per quali rappresenta una circonferenza. k < 1; k = 13 [ ] x y È data l equazione + = 1. Determina per quali valori di k essa rappresenta una ellisse e 16 8 k per quali rappresenta una circonferenza. k < 8; k = 8 [ ] 4. L ELLISSE E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Determina l ellisse corrispondente all ellisse seguente mediante la traslazione di vettore v e rappresenta le due ellissi nel piano cartesiano. 13 A 13 B x y + = 1; v ( ;1) x y + = 1; v ( 1; 3) = 0 9x + y 36x 3y 9 1x + 5y 4x 30y 3 = 0 Determina le caratteristiche e rappresenta la seguente ellisse. 14 A 14 B 9x + y + 36x 4y+ 4 = 0 4x + 5y 8x 50y 71 = 0 Date le equazioni delle seguenti due ellissi, determina le componenti del vettore di traslazione v che trasforma la prima ellisse nella seconda. 15 A x y + = 1; 4x y x 4y B x y + = 1; x 4y x 3y A Scrivi l equazione della dilatazione che trasforma la circonferenza di equazione x y x + y = 4 nell ellisse di equazione + = =. ( 6; ) =. ( ; 4) x' = x 7 y' = y

35 16 B Scrivi l equazione della dilatazione che trasforma la circonferenza di equazione x y x + y = 3 nell ellisse di equazione + = x' = 3x y' = y Determina il dominio e rappresenta graficamente la seguente funzione. 17 A 17 B 1 = y x x 1 = y x x Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale. 18 A 18 B [ 3 x α; α 0,33] 36 4x 3 9x 5 4 x x 5 < [ α < x < ; α 1, 45]

36 07 L IPERBOLE ESERCIZI 1. L IPERBOLE E LA SUA EQUAZIONE 1 A Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti B 11;0 sia 6. A( 11;0) e ( ) x y = B Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti B 19;0 sia 8. A( 19;0) e ( ) x y = A Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti B 0; 11 sia 6. A( 0; 11) e ( ) x y = 1 9 B Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti B 0;5 sia 4. A( 0; 5) e ( ) x y = Date le seguenti equazioni, determina per ciascuna iperbole la misura del semiasse trasverso, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l equazione degli asintoti, l eccentricità e rappresenta ogni curva graficamente. 3 A 3 B y 5 x = 1; x 36 y = 1; 4x 9y 36 = ; 4x 5y 100 = ; x y = 1. 6 x y =

37 07 L IPERBOLE ESERCIZI Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano iperboli, scrivile in forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all asse x oppure all asse y. 4 A a) 4 B a) 3x y x = ; b) x y + 10 = 0 ; c) 5y = 0 + x ; d) 9x = 18 16y. 5y + 4= 0; b) x 6y = 1 ; c) 7y = 3x 1; d) 4x 8y 3 = +. Determina le coordinate dei vertici e dei fuochi, l equazione degli asintoti, l eccentricità delle seguenti iperboli e rappresentale graficamente. 5 A x y = 1; 9 7 x y = 1; x y =. 5 B x y = 1; 6 4 x y = 1; 0 5 x 3y + 1 = 0.. LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UN IPERBOLE Stabilisci la posizione tra la seguente retta e l iperbole e, nel caso in cui la retta sia secante, determina i loro punti di intersezione. 6 A 3x y+ 6= 0, 6 B x+ y 6= 0, 7 A =. P1 1; ; P 7; 9x 8y 9 0 y x =. P1 ;5 ; P ; Calcola la lunghezza della corda staccata dall iperbole di equazione equazione x+ 5y 14 = 0. 7 B Calcola la lunghezza della corda staccata dall iperbole di equazione retta di equazione 3x y+ 1= 0. 8 A Determina le equazioni delle tangenti all iperbole di equazione P( 1; 3). x 3x 5y 7 8 = 1 sulla retta di 1x 8y 11 0 y 9 + = sulla 9 13 = 1 condotte dal punto [ y 3x= 0; x= 1] Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi CORSO BLU.0 Zanichelli 011

38 07 L IPERBOLE ESERCIZI 8 B 9 A 9 B Determina le equazioni delle tangenti all iperbole di equazione P( 5;1). Determina il valore di k affinché l iperbole di equazione equazione x y 1= 0. Determina il valore di k affinché l iperbole di equazione equazione x y+ = 0. x y 5 = 1 condotte dal punto [ 5y+ x= 0; y 1 = 0] x y = 1 sia tangente alla retta di k 1 3 [ k = ] x y = 1 sia tangente alla retta di 9 k + [ k = 3] 10 A Utilizzando la formula di sdoppiamento, determina l equazione della retta tangente all iperbole di equazione 7x 16y 3 = nel suo punto di ordinata 1 che si trova nel I quadrante. [ 7x 8y 3= 0] 10 B Utilizzando la formula di sdoppiamento, determina l equazione della retta tangente all iperbole di equazione 3x 5y = nel suo punto di ascissa 1 che si trova nel III quadrante. [ 3x 5y+ = 0] 3. COME DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN IPERBOLE 11 A Scrivi l equazione dell iperbole che ha un asintoto di equazione y = 4x e un fuoco nel punto ( 17;0 ) ; rappresentala graficamente. x y = B Scrivi l equazione dell iperbole che ha un asintoto di equazione y = 5x e un fuoco nel punto 1 A ( 6;0 ) ; rappresentala graficamente. Determina l equazione dell iperbole con vertice reale A ( 3; 0) ed eccentricità x y = e =. 3 x y = Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 3 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

39 07 L IPERBOLE ESERCIZI 1 B 13 A 13 B Determina l equazione dell iperbole con vertice reale A ( ;0) ed eccentricità Determina l equazione dell iperbole passante per il punto Determina l equazione dell iperbole passante per il punto 14 A Scrivi l equazione dell iperbole che ha un vertice in ( ) 14 B Scrivi l equazione dell iperbole che ha un vertice in ( 1; 0) P 5 1; 6 P ; e =. x y = e avente fuoco F ( 0;3 ). x y = e avente fuoco F ( 0; 5 ). x y = ; 0 e asintoto di equazione y = 5x. x y = 1 5 e asintoto di equazione y = 4x. x y = L IPERBOLE TRASLATA Determina l iperbole corrispondente all iperbole seguente mediante la traslazione di vettore v. 15 A 15 B x y = 1; v ( 1;1 ). 3 5 x y = 1; v ( ;3). 6 5x 3y + 10x+ 6y 13 = 0 3x y 1x+ 6y+ 9 = 0 Determina le caratteristiche e rappresenta la seguente iperbole. 16 A 16 B 4x y 4x y+ 31 = 0 x y x y = 0 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 4 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

40 07 L IPERBOLE ESERCIZI Determina il dominio e rappresenta graficamente la seguente funzione. 17 A 17 B 4 = y x x 5 = y x x Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale. 18 A 3 x 8 x< 6 α < x x ; α,83 18 B x 6 1 x 0 > [ x< β x> α; β 1, 4; α 1, 7] 5. L IPERBOLE EQUILATERA Determina l equazione dell iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria con un fuoco in F e rappresentala graficamente. 19 A F ( 5;0) 19 B F ( 4 ;0) x x y = 10 y = 16 Data l equazione dell iperbole determina, in ciascuno dei seguenti casi, le coordinate dei vertici e rappresenta la curva graficamente. 0 A xy = 3 ; xy = 8 ; 0 B xy = 5 ; xy = 9 ; 3 xy =. 4 1 xy =. 4 1 A Scrivi l equazione dell iperbole equilatera riferita agli asintoti avente un vertice nel punto V ( 4; 4) ; rappresentala graficamente. 1 B Scrivi l equazione dell iperbole equilatera riferita agli asintoti avente un vertice nel punto V ( 3; 3) ; rappresentala graficamente. [ xy = 16] [ xy = 9] Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 5 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

41 07 L IPERBOLE ESERCIZI Scrivi l equazione dell iperbole equilatera, riferita agli asintoti, calcola le coordinate dei vertici e rappresentala graficamente, sapendo che passa per il punto P. A P ( 4;9) B P( 1; 9) ( ) ( ) xy = 36; 6;6, 6; 6 ( ) ( ) xy = 9; 3;3, 3; 3 Disegna il grafico dell iperbole equilatera avente la seguente equazione. 3 A 3 B 4 A 4 B 5 x y = x 4 6x 3 y = x + 1 Studia il fascio di funzioni omografiche y = Studia il fascio di funzioni omografiche y = kx al variare di k. + 3 x+ 5 ( k ) per k = 3, y = x ; per k =, y = con x ; k per k 3,, iperboli di centro ; 7 k+ 3 k+ 3 kx + 3 al variare di k. 1 x 4 ( k ) x per k = 1, y = ; per k =, y = con x 7; k per k 1,, iperboli di centro ; 7 k 1 k 1 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi 6 CORSO BLU.0 Zanichelli 011

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