Iperbole. ricerca dell equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle xx

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1 1 ricerca dell equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle xx Scrivere l equazione dell iperbole avente i fuochi FF 1 (,0) ed FF (,0) e passante per A(, ) xx yy = 1 Scrivere l equazione dell iperbole avente i fuochi FF 1 (, 0) ed FF (, 0) ed il cui asse trasverso aa = Determinare l equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi PP 7, 0 e QQ 7, 0 è uguale a 5 xx yy 5 = 1 5 xx yy = 1 5 Scrivere l equazione dell iperbole passante per i punti PP 11, e QQ(, 1) Scrivere l equazione dell iperbole che ha un fuoco nel punto FF 107, 0 e come asintoto la retta di equazione yy = 18 xx 5 5 xx 5 yy = 1 xx 50 yy 78 = 1 6 Scrivere l equazione dell iperbole con gli assi aa = 5 e bb = xx yy = 1 7 Scrivere l equazione dell iperbole sapendo che aa = 6 e bb = 1 8 Scrivere l equazione dell iperbole con distanza focale uguale a e passante per il punto PP(1,1) Scrivere l equazione dell iperbole con asse trasverso uguale a 6 ed eccentricità ee = xx 6 yy = 1 xx 5 yy = 1 xx 5 yy = Scrivere l equazione dell iperbole avente i vertici nei punti VV 1 (, 0) ee VV (, 0) ed eccentricità ee = Scrivere l equazione dell iperbole avente un vertice nel punto VV(1,0) e un fuoco nel punto FF(,0). Scrivere l equazione dell iperbole sapendo che ha per asintoti le rette di equazione yy = xx e yy = xx ed aa = Scrivere l equazione dell iperbole avente un fuoco nel punto FF 5 xx, 0 e per asintoto la retta di equazione xx + yy = 0 xx yy 7 = 1 xx yy = 1 xx yy 16 = 1 16 yy = 1 Scrivere l equazione dell iperbole avente asse non trasverso pari a 8 ed eccentricità pari a 5 xx. 0 yy 16 = 1 5 Determinare le equazioni dell iperbole con i fuochi sull asse delle ascisse, conoscendo i seguenti parametri: ( a) aa = 5 ; bb = b) aa = 6 ; cc = 10 c) bb = ; cc = d) cc = ; ee = dove si è indicato con: a e b i semiassi; c la semidistanza focale, e l eccentricità. Data l iperbole di equazione xx yy = 1, tracciarne il grafico ed 5 16 individuarne i fuochi, i vertici, l eccentricità, gli asintoti aa) xx 5 yy = 1 bb) xx 6 yy 6 = 1 cc) xx yy = 1 dd) xx yy 5 = 1 FF ± 1, 0, VV(±5,0) ee = 1 5, yy = ± 5 xx v di 10

2 17 18 Determinare per quali valori di kk le seguenti equazioni rappresentano un iperbole: a) b) xx yy kk = 1 16 xx + yy = 1 kk 1 16 c) xx + yy kk+ = 1 kk < ; mmmmmm ; kk < Determinare le coordinate dei fuochi e dei vertici dell iperbole di VV 1(, 0), VV (, 0) equazione xx yy = 1 FF 1 (5, 0), FF ( 5, 0) 16 1 ricerca dell equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle yy Scrivere l equazione dell iperbole FF 0, 5 e passante per A, avente i fuochi FF 1 0, 5 ed xx yy = 1 0 Determinare il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi PP(0,7) e QQ(0, 7) è uguale a 1 xx yy 1 = 1 1 Scrivere l equazione dell iperbole passante per i punti PP 7, e QQ 5, xx 51 yy = 1 5 Determinare l equazione dell iperbole che ha un fuoco di ordinata yy = e un vertice di ordinata negativa appartenente alla retta yy = 1xx 6 Determinare le equazioni dell iperbole con i fuochi sull asse delle ordinate, conoscendo i seguenti parametri: (indicati con a e b i semiassi, c il semiasse focale, e l eccentricità) a) aa = ; bb = 7 b) aa = 5 ; cc = 1 c) bb = 6 ; cc = 15 d) bb = 7 ; ee = 8 7 Determinare le coordinate dei fuochi, dei vertici e l eccentricità dell iperbole di equazione xx yy = Rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Riconoscere quali delle seguenti equazioni rappresentano delle iperboli e scriverle in forma canonica: a) yy = 1xx 6 b) xx yy = 1 c) xx yy = 0 d) xx + yy 1xx + 1 = 0 xx 1 yy 6 = 1 aa) xx yy = 1 bb) xx cc) 5 yy 1 = 1 xx yy 6 = 1 dd) xx 15 yy = 1 FF 0, ±5, VV 0, ± 1 ee = 5 1 aa) nnnn bb) xx yy = 1 cc) nnnn dd) nnnn 6 equazione dell iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria Determina l equazione dell iperbole equilatera passante per il punto PP(0,) xx yy = 1 v di 10

3 Determina l equazione dell iperbole equilatera avente un fuoco nel punto FF 0, Valutare se questa curva passa per il punto QQ 1, 1 e calcolare l eventuale tangente all iperbole in questo punto Calcolare l equazione dell iperbole equilatera che determina sulla circonferenza xx + yy xx = 0 due punti la cui distanza è Data l iperbole equilatera di equazione xx yy = 1, tracciarne il 1 grafico ed individuarne le coordinate dei fuochi e dei vertici, l eccentricità e le equazioni degli asintoti Riconoscere quali tra le seguenti equazioni rappresentano una iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria: a) xx yy = b) xx yy = 6 c) xx + yy = 18 d) xx yy = 1 Determinare l equazione dell iperbole equilatera riferita ai propri assi avente fuoco nel punto FF 1, 0 xx yy = 15 xx yy = xx yy = 1 FF ±, 0, VV(±,0) ee =, yy = ±xx aa) ssì bb) ssì cc) nnnn dd) nnnn xx yy = 6 Determinare l equazione dell iperbole equilatera riferita ai propri 1 assi passante per il punto PP, 1 xx yy = equazione dell iperbole equilatera riferita agli asintoti Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che passa per il punto ( 1, ) xxxx = Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che passa per il punto di intersezione delle rette xx + yy 5 = 0 e xx yy 1 = 0 xxxx = 5 Determina l equazione dell iperbole equilatera xxxx = kk (con kk > 0) il cui vertice dista 10 dalla retta di equazione rr yy = xx + 1. Determinare poi la tangente tt all iperbole in questo vertice e calcolare i punti di intersezione tra la retta rr e la tangente tt xxxx = 81 tt: yy = xx ± PP 1 (,7) PP 5, equazione dell iperbole omografica Data l iperbole equilatera di equazione yy = 5xx 1 xx+ ed individuarne le principali caratteristiche tracciarne il grafico aaaa +bb Determinare l equazione della funzione omografica yy = sapendo cccc + che il centro ha coordinate CC, e che passa per il punto PP(0,0). Determinare l equazione delle tangenti questa curva nel punto di intersezione con la bisettrice del primo e terzo quadrante xx = yy = 5 VV , 5 11 VV 11, yy = xx (xx + ) tt 1 : yy = xx tt : yy = 5 xx + 18 v di 10

4 8 Determinare gli asintoti e le intersezioni con gli assi dell iperbole di equazione yy = xx yy =, xx = 1. xx+1 AA(0, ), BB(,0) Determinare i valori di kk per i quali l iperbole yy = xx 10kk 8 8xx+0kk 1 a) ha come asintoto verticale la retta di equazione xx = 1 ; b) passa per l origine degli assi coordinati ; c) degenera in una retta (se ne calcoli anche l equazione). 1 kk = 7 0 kk = 5 kk = 6, yy = Si trovi la lunghezza del segmento i cui vertici sono le due intersezioni della retta yy = xx + 1 1xx+5 con l iperbole yy =. 7 7xx+7 Determinare i valori di kk per i quali l iperbole yy = 1kkkk +kk 8xx+ 0kkkk 1 10xx a) ha come asintoto orizzontale la retta di equazione yy = 1 5 ; b) è tangente alla retta di equazione yy = 5xx ; c) il suo centro giace sulla retta di equazione yy = xx + 5/5. Data l iperbole di equazione yy = xx +8kkkk +kk 7xx++7kkkk +kk, a) si trovi il luogo geometrico descritto dal centro dell iperbole al variare di kk ; b) si dimostri che non esiste alcun valore di kk tale che l iperbole risulti riferita ai propri asintoti ; c) si trovino i valori di kk tali che l iperbole risultante intersechi l asse yy in un punto di ordinata non negativa. Si trovi il luogo geometrico descritto dai punti medi dei segmenti i cui vertici sono i punti d intersezione dell iperbole yy = 8xx 7 con 8xx+ ciascuna delle rette di coefficiente angolare mm = 8. Si calcoli poi la lunghezza del segmento di vertici le intersezioni dell iperbole con detto luogo geometrico. 7kkkk +5xx 5 Determinare i valori di kk per i quali l iperbole yy = kkkk +0xx+6kk a) non interseca la retta di equazione 5yy 1 = 0 ; b) ammette la retta di equazione yy = xx + 1 come secante; c) ammette la retta di equazione yy = xx + come tangente. ll = 7 kk = kk = 1 11, kk = kk = xx + 1yy = kk < kk 8xx + yy + = 0 ll = 5 6 kk = 5 16 kk < kk > kk = 0 ± Si trovino tutti i valori di kk tali che il quadrilatero formato dagli asintoti delle iperboli yy = 7xx+ 8kk(5xx+56) + 0(1xx+8) e yy = ab-bia xx 6 5xx(1kk+) + 8(10kk ) area pari a 7 18 kk = 66, kk = Si trovi l area del quadrilatero formato dagli assi di simmetria delle iperboli di equazioni yy = 5xx 1 e yy = xx 5. Di che qua-drilatero 1xx 7 5xx+1 si tratta? AA = , RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR v di 10

5 7 Si trovino i fuochi dell iperbole yy = 7xx+ 5 xx FF 1, 5± 6, 7± 6 8 equazione dell iperbole traslata Ricondurre alla forma canonica l iperbole di equazione: xx yy + 6xx yy = 5 e descriverne le principali caratteristiche 1(xx + 1) (yy + /) = 1 CC( 1, /) 50 Determinare l equazione dell iperbole che si ottiene dalla curva (xx xx yy ) = 1 traslandola di vettore vv (, ) Scrivere l equazione dell iperbole che ha il fuoco traslato nel punto FF(, ) corrispondente all iperbole di equazione xx yy xx + 1 = (yy + ) = 1 5 (yy + ) = Determinare l equazione delle iperboli con i fuochi sulla retta xx = con un vertice nel punto PP(, ) e semiasse non trasverso di lunghezza (xx + ) (xx + ) (yy + ) = 1 yy = 1 5 trovare l equazione dell iperbole ottenuta traslando quella data tramite il vettore vv 5 16 xx 1 yy = 1 vv =, 5 16 xx 1 yy xx + yy + = xx yy = 1 vv = 1, 6 5 xx yy xx yy 8 5 = 0 5 xx 1 yy = 1 vv =, 7 xx 1 yy + 6xx 1 7 yy + 1 = xx 11 6 yy = 1 vv = 5 10, 16 5 xx 11 6 yy xx + yy = xx 81 yy = 1 vv = 5, xx 81 yy xx yy = 1 vv =, xx yy xx yy 7 = 0 xx + 15 yy = 0 5 xx yy = 1 vv = 5 5, 5 xx yy 8 5 xx yy + 5 = 0 5 xx yy = 1 vv = 8, yy xx + 6 xx + 67 yy + 81 = xx yy = 1 vv = 8, 1 5 xx yy xx yy + 80 = 0 15 xx yy = 1 vv = 8, 5 15 xx yy 0xx 0yy + 8 = xx yy = 1 vv = 6 10, xx yy xx yy = 0 v di 10

6 6 xx 5yy = 1 vv =, 5 xx 5yy + 16xx + 0yy + 11 = xx 6 yy = 1 vv = (5,) 7 xx 5 16 yy = 1 vv = 7, xx 6 yy 5 xx + yy 5 6 = 0 7 xx 5 16 yy xx 5 8 yy 1 8 = xx yy 16 = 1 vv = 5, 8 75 xx yy xx yy = trovare il vettore vv e l equazione dell iperbole ottenuta traslando quella data in modo che il suo centro coincida con l origine 16 xx yy 8 5 xx 11 6 yy xx + 5 yy 1 18 = 0 vv = 1, 5 16 xx yy = xx + yy + = 0 vv = , 16 5 xx 11 6 yy = xx 17 yy xx + 68 yy = 0 vv = 11 5, xx 17 yy = xx 7 8 yy 5 xx 7yy 1 1 = 0 vv = 5, 15 xx 7 8 yy = xx yy xx 56 yy 5 = 0 vv = 10, xx yy = 1 7 xx yy + xx 71 yy = 0 vv =, xx 8 yy 1 = 1 7 xx yy xx 7 67 yy = vv = 1, 7 xx yy 11 = 1 7 8xx 7 yy + 7 xx 1 yy 6 = 0 vv = 7 7, 1 8xx 7 yy = 1 75 xx 8 5 yy + 6 xx 8 yy + 7 = 0 vv = , 1 xx 8 5 yy = xx 5 yy xx yy = 0 vv = 7 15, xx 5 yy = xx yy 5 xx yy xx yy xx + yy = 0 vv = 11, xx yy 5 = 1 xx yy = 0 vv = 10 15, xx 10 yy = 1 xx + yy 5 5 = 0 vv = (, ) 18 5 xx yy = xx yy 78 7 xx 7 yy + 6 = 0 vv = 6, xx yy = 1 v di 10

7 81 5 xx 5 7 yy 5 xx + yy + 5 = 0 vv = 5 5, xx 5 7 yy = ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una iperbole Calcola la tangente all iperbole di equazione xx yy = 1 dal 0 5 punto PP( 6,) Trovare le tangenti all iperbole di equazione xxxx = nel suo punto di ordinata yy = 5 yy = xx 5 yy = 5 18 xx Data l iperbole di equazione 5 1 xx yy = determinare la tangente ad essa nel vertice negativo dell asse xx Determinare se la retta di equazione xx yy + 8 = 0 è tangente, esterna o secante all ellisse xx yy = 8 e determinare gli eventuali punti di contatto Determinare l equazione dell iperbole equilatera tangente alla retta yy = xx con un vertice nel punto QQ(0,1) Considerata l iperbole di equazione + yy = 1, determinare la tangente in un suo punto PP del primo quadrante che incontra gli assi cartesiani in A e B e in modo tale che il triangolo PAB abbia area minima xx xx = 8 5 tttttttttttttttt PP 1, xx yy = 1 AAAAAAAA = iiii PP(, 1 ) 88 Calcola per quali valori del parametro kk l iperbole di equazione xx yy = 1 è tangente alla retta di equazione xx yy + = 0 kk = 1, 7 1 kk data l iperbole x + 0x y + = 0 stabilire le seguenti rette sono esterne, secanti o tangenti e trovare gli eventuali punti di intersezione 8 xx + 6 = 0 SSSSSSSSSSSSSS, PP 6, ±6 0 yy = xx + 5 EEEEEEEEEEEEEE (cchee rrrrrrrrrr è? ) 1 7xx + 10yy = 0 SSSSSSSSSSSSSS, PP 80, 5 1, QQ 80 1, 7 7 yy = xx + 18 SSSSSSSSSSSSSS, PP 50, 5xx + yy + = 0 TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 0, 11 yy 5 11xx = 0 TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 11 5, yy = xx EEEEEEEEEEEEEE v di 10

8 6 yy + 7 = 10(xx + 5) 7 6yy = 57(xx + 5) xx yy = 0 SSSSSSSSSSSSSS, PP 5 7± , 77±0111 TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 1 5 5, 7 7 EEEEEEEEEEEEEE data l iperbole 6 xx + = yy + yy stabilire le seguenti rette sono esterne, secanti o tangenti e trovare gli eventuali punti di intersezione yy xx + 5 = 0 EEEEEEEEEEEEEE 100 6yy + 16xx + = 0 EEEEEEEEEEEEEE (cchee rrrrrrrrrr è? ) 101 yy = 8xx + 1 SSSSSSSSSSSSSS, PP 0, 1 (cchee pppppppppp è? ) 10 yy = 1 7 xx TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 7 8, yy = 10xx 7 10 yy 1xx + = 0 SSSSSSSSSSSSSS, PP 0,, QQ 15 55, SSSSSSSSSSSSSS, PP 0,, QQ 7 65, yy = xx 1 TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 8, yy = xx 5 SSSSSSSSSSSSSS, PP ± 1 7, ± xx 8yy 5 = 0 TTTTTTTTTTTTTTTT, TT 7 8, xx 1yy 1 = 0 EEEEEEEEEEEEEE 10 fasci di iperboli Considerato il fascio di iperboli descritto dall equazione yy = kkkk 7 determinare il parametro kk tale che : a) l equazione rappresenta effettivamente delle iperboli b) le iperboli hanno un vertice nel punto PP(,) c) il punto QQ, intersezione dell iperbole con l asse yy, dista dall origine 1 d) le iperboli passano per il punto PP(0,75/) kkkk aa) kk 0 bb) kk = 7 cc) kk = 1 dd) mmmmmm v di 10

9 Determinare il valore di kk affinché il fascio di iperboli xx kk yy kk+1 = 1 rappresenti: a) una ellisse b) una circonferenza c) una iperbole d) una iperbole con i fuochi sull asse xx e) una iperbole con i fuochi sull asse yy Studia le principali caratteristiche del fascio xxxx = 1 qq al variare di qq iin R aa) kk > bb) mmmmmm cc) 1 < kk < dd) mmmmmm ee) 1 < kk < qq < 1 xxxx = kk cccccc kk > 0 qq = 1 dddddddddddddddd iiii xx = 0 yy = 0 qq > 1 xxxx = kk cccccc kk < 0 11 Determina il luogo dei centri di simmetria e gli eventuali punti base del fascio di iperboli di equazione yy = xx kk 1kkkk +1. yy = xx nnnnnn cccc ssssssss pppppppppp bbbbbbbb date le iperboli trovare la loro equazione quando sono ruotate di α in senso orario 11 xx yy =, αα = 5 xxxx = 11 xxxx =, αα = 0 xxxx = 115 xx yy + 5 = 0, αα = 15 xxxx = xxxx =, αα = 5 xx yy = 117 (xx )(xx + ) = yy, αα = 15 xxxx = 118 Data l iperbole di equazione xx esercizi di riepilogo yy = 1 determinare a e b aa = ; bb = 11 Scrivere in forma canonica l iperbole di equazione xx yy + 16 = 0 xx 16 yy = 1 10 Determinare la distanza dei punti di intersezione dell iperbole yy = 6 xx con la retta di equazione yy = xx Calcolare la lunghezza della corda che viene staccata sull iperbole di equazione xx yy = dalla retta di equazione xx yy + = 0 1 Determinare la lunghezza della corda staccata dall iperbole xxxx = 1 sulla retta yy = xx v di 10

10 1 Determinare la funzione omografica passante per il punto PP(, 5) ed avente asintoti di equazione xx = e yy = yy = 1 xx xx 1 Trovare la funzione xxxx = kk che sia tangente alla retta di equazione yy = xx + 1 e determinare il punto di tangenza. Calcolare inoltre la nuova funzione che si ottiene dalla funzione assegnata traslando i vertici di un vettore vv =(1,) kk = 1 1 PP 1 6, 1 6xx 5 yy = 1xx 1 15 Scrivere l equazione del fascio di iperboli con i fuochi su parallele della retta yy = 0 i cui vertici hanno coordinate CC(±, yy) e caratterizzare il fascio nel caso in cui: a) gli asintoti sono rette del tipo yy = ± 1 xx + qq 6 b) un vertice appartiene alla retta xx yy + = 0 c) rappresenta delle iperboli equilatere (xx ) (yy yy 0 ) bb = 1 (xx ) aa) (yy yy 0 ) = 1 (xx ) (yy 1) bb) bb = 1 (xx ) cc) (yy yy 0 ) = 1 16 Considerata la retta rr passante per i punti AA( 1, ) ee BB(0, kk) e la retta ss passante per i punti CC(, 1) e DD(0, kk) determinare il luogo dei punti del piano comuni alle due rette al variare di kk kk 1 PP 6 kk, kk kk 1 17 Determina per quali valori di k l equazione xx + yy = 1 rappresenta kk 6kk una: a) iperbole; b) iperbole con i fuochi sull asse x; c) iperbole con i fuochi sull asse y; d) iperbole con gli asintoti di equazione yy = ± 6xx a) 0<k<; b) impossibile; c) 0<k<; d) k=1 18 Trova le rette tangenti all iperbole di equazione xx yy = e parallele alla retta di equazione xx yy + 5 = 0. Calcola poi l area del rettangolo individuato da queste tangenti e dalle perpendicolari condotte ad esse per i punti di tangenza. y= (xx±1) 5 1 Considerata l iperbole di equazione + yy = 1, determinare la tangente in un suo punto P del primo quadrante che incontra gli assi cartesiani in A e B e in modo tale che il triangolo PAB abbia area minima. xx AAAAAAAA = iiii PP(, 1 ) v di 10