Geometria analitica del piano

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1 Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche

2 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano,

3 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a

4 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a

5 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a mentre l equazione della retta orizzontale passante per il punto b dell asse delle y è y = b

6 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a mentre l equazione della retta orizzontale passante per il punto b dell asse delle y è y = b

7 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto

8 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto

9 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto L equazione della retta passante per il punto P (x 1, y 1 ) e avente coefficiente angolare m è data da y = m(x x 1 ) + y 1

10 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto L equazione della retta passante per il punto P (x 1, y 1 ) e avente coefficiente angolare m è data da y = m(x x 1 ) + y 1 m R, m 1 (per m = 1 si ottiene una retta orizzontale)

11 Coniche Le coniche sono particolari curve del piano che si ottengono tutte come intersezione tra un cono e un piano. Si possono avere: circonferenza ellisse parabola iperbole

12 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C.

13 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C. L equazione della circonferenza di centro C e raggio r è data da (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2

14 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C. L equazione della circonferenza di centro C e raggio r è data da (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2

15 La circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene dove x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2 = r 2 = x y 2 0 c

16 La circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene dove x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2 = r 2 = x y 2 0 c Per x 0 = y 0 = 0 si ottiene la circonferenza di centro l origine degli assi e raggio r di equazione x 2 + y 2 = r 2

17 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse.

18 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

19 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l ellisse interseca gli assi coordinati (e si dicono vertici dell ellisse)

20 La parabola Dati una retta d e un punto F / d, si chiama parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.

21 La parabola Dati una retta d e un punto F / d, si chiama parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d. Parabola ad asse parallelo all asse delle x: y = ax 2 + bx + c

22 La parabola Parabola ad asse parallelo all asse delle y: x = ay 2 + by + c

23 La parabola Data l equazione della parabola, ecco come ricavare le coordinate del vertice V e del fuoco F e le equazioni della direttrice e dell asse di simmetria: Coordinate V Coordinate F Equazione d Equazione asse y = ax 2 + bx + c x = ay 2 + by + c ( b 2a, ) ( 4a 4a, b ) ( 2a b 2a, 1 ) ( 4a 1 4a, b ) 2a y = 1 4a x = 1 4a y = b 2a x = b 2a = b 2 4ac

24 L iperbole È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell iperbole).

25 L iperbole È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell iperbole). Fuochi sull asse delle x: x 2 a 2 y2 b 2 = 1

26 L iperbole Fuochi sull asse delle y: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Se a = b l iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni degli asintoti diventano y = ±x.

27 L iperbole L equazione dell iperbole aventi come asintoti gli assi coordinati è la seguente xy = k