4^C - Esercitazione recupero n 4

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1 4^C - Esercitazione recupero n 4 1 Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per deitare il perimetro di un'aiuola rettangolare a Qual è l'aiuola di area massima che è possibile deitare? b Lo stesso filo viene tagliato in due parti e utilizzato per deitare un'aiuola quadrata ed una circolare Come va tagliato il filo perché la somma delle due aree sia minima? e perché la somma delle aree sia massima? c E' stata realizzata una aiuola piena di terreno a forma di parallelepipedo rettangolo Decidiamo di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione Di quanto terreno in più, in termini percentuali, abbiamo bisogno? Due numeri e y hanno somma e quoziente uguali ad un numero reale a non nullo Riferito il piano ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche, y : a interpreta e discuti graficamente il problema al variare di a; b trova l'equazione cartesiana del luogo g dei punti P, y che soddisfano il problema; c rappresenta le curve g e g', simmetrica di g rispetto alla bisettrice del 1 e del 3 quadrante; d determina le intersezioni di g e g'; e calcola y nel caso in cui =1 e cogli la particolarità del risultato 3 Data la funzione y=sen a cos b, determina i valori di a e di b in modo che la curva ammetta un massimo relativo di coordinate /6,0 e tracciane il grafico 4 Studia la funzione y= Calcola 1 ± 6 Dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta, si sceglie a caso un punto all'interno del cono Calcola la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera 7 Dimostra che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la sezione aurea del raggio, ed utilizza tale risultato per dimostrare che sen 10 = Determina l'insieme dei punti del piano cartesiano per i quali risulta: y I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 1 cm Calcola, in gradi e primi sessagesimali, le ampiezze degli angoli che la diagonale condotta da un vertice descrive con ciascuno dei tre spigoli concorrenti nel vertice

2 4^C - Correzione esercitazione n 4 1 Indicando con la misura della base dell'aiuola, l'altezza misurerà l /, e l'area dell'aiuola sarà: = l / =l/ con 0 l / La funzione ha come grafico un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso, quindi assume il valore massimo in corrispondenza del vertice: V =l /4 Quindi: ma = l 4 = l 16 Se indichiamo con la parte del filo che si usa per l'aiuola quadrata, il lato del quadrato misura 4 e l'area del quadrato q = 16 La lunghezza della circonferenza è l, il raggio l e l'area del cerchio c= l 4 La somma delle due aree misura: S = 4 16 l l 4 con 0 l La funzione ha come grafico un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso l'alto, quindi assume il valore minimo in corrispondenza del vertice: V = 4 l 4, da cui: S min = l 4 = l 16 4 Il valore massimo verrà assunto in corrispondenza di uno degli estremi del campo di esistenza Poiché S 0 = l ottenuta per 16 4 e S l = l, si ottiene che, come era prevedibile, l'area massima viene =l, ovvero quando il filo viene utilizzato tutto per deitare l'aiuola circolare Se a, b, c erano le dimensioni iniziali del parallelepipedo e V 0 =abc il suo volume iniziale, le dimensioni finali saranno: a, b e c, ed il volume finale V f = V 0 L'aumento percentuale è V f V 0 V 0 = = =33,1% y=a Impongo: { / y=a { y= a y=/a con a 0, 0, y 0 La prima equazione rappresenta il fascio improprio delle rette parallele alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante, esclusa la bisettrice stessa, mentre la seconda equazione rappresenta il

3 fascio proprio delle rette passanti per l'origine, esclusa l'origine stessa e gli assi cartesiani Per un determinato valore di a, le rette corrispondenti dei due fasci hanno uno ed un solo punto di intersezione, tranne quando a= 1 lgebricamente, la soluzione del sistema è: = a a 1, y= a a 1 con a 0 a 1 Einando il parametro a dal sistema assegnato, ricavo: y= y y y =0 = 1 y y con 0, y 0 E' l'equazione di una conica, ed esattamente di un'iperbole avente un punto di discontinuità di terza specie nell'origine degli assi, un asintoto orizzontale di equazione =1 ed un asintoto obliquo di equazione = y 1 y= 1 E' comunque più semplice studiare il grafico della trasformata g' e ricavare quello di g per simmetria pplicando la trasformazione { '= y y '=, g g ' =1 ottengo l'equazione di g': y y=0 y= 1 Si tratta ancora di una iperbole definita per 0 1, avente un punto di discontinuità di terza specie nell'origine degli assi, un asintoto verticale di equazione obliquo di equazione =1 ed un asintoto y= 1 (coincidente con quello di g) y=--1 y=1 Poiché g e g' sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, le loro eventuali intersezioni si devono trovare sulla bisettrice stessa Impongo: { y= y= 1 1, 1 ; 0,0 non accettabile Per =1, otteniamo: y 1 y =1 y y 1=0 y= 1± 5 La soluzione negativa non è accettabile, mentre quella positiva è la sezione aurea dell'unità 3 Per la formula dell'angolo "aggiunto", posso scrivere:

4 y=sen a cos b=k sen b con k= 1 a e =arc tg a Per avere un punto di massimo di ascissa 6 = = 3 = /6, deve essere: a=tg = 3 k= 1 3= Inoltre, poiché l'ordinata del punto di massimo deve essere y=0, dobbiamo imporre: sen b=0 b= Quindi la funzione può essere scritta: y= sen 3 Si tratta pertanto di una sinusoide di ampiezza =, traslata di un vettore v 3, 4 y= 3 1 CE: ± f 0 0 ± f =± ; ± f =± =- / y=/ sintoti verticali di equazione ± =± f =± Poiché il grado del numeratore supera quello del denominatore di una unità, la funzione possiede un asintoto obliquo la cui equazione, ricavata tramite l'algoritmo della divisione tra polinomi, è y=/ = / 5 ± 1 = ± 1 1/ = ± 1 1/ =±1 C 6 In un cono equilatero, l'apotema è uguale al diametro di base Quindi: h=r 3 e V cono = 1 3 r h= 3 3 r3 Per la condizione di tangenza, i triangoli CH e OH sono O simili, da cui: OH H = H CH OH = r 3 H Il volume della sfera è quindi: V sfera = 4 3 OH 3 = r3

5 La probabilità richiesta è: P=1 V sfera V cono = 5 9 O 7 Se è il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O e raggio O, allora: O= =36 e O= O=7 Conduco la bisettrice D, che forma il triangolo D avente anch'esso angoli di , e quindi simile ad O Inoltre, il triangolo OD, avendo gli angoli in e in O uguali, è isoscele, e quindi: D=OD Ne segue che: O = D r l 10 = l 10 r l 10, ovvero il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza è uguale alla sezione aurea del raggio, in quanto è medio proporzionale tra il raggio stesso e la parte rimanente Considerando l 10 come incognita, ricavo: H D r rl 10 =l 10 l 10 rl 10 r =0 l 10 = 5 1 r in cui abbiamo scartato la soluzione negativa Possiamo quindi calcolare: sen H =sen18 = 10 O = cvd 8 La disequazione può essere scritta: y 3 Per 0, ovvero nel e 3 quadrante, essa è sempre verificata, mentre per 0 ha per soluzioni: y 3/ y 3/ Disegnando le curve di equazioni y=± 3/, si conclude quindi che la disequazione è verificata nell'insieme dei punti evidenziato in figura D' y= 3/ y=- 3/ C ' 9 Se ' =8 cm, D=9 cm e =1 cm, conduco la diagonale D', che misura: D '= =17 cm bbiamo quindi: ' D '=arc cos 8 17, D '=arc cos 1 17, C D '=arc cos 9 17 I valori possono essere ottenuti dalla calcolatrice, con l'avvertenza di scriverli in gradi e primi, e non gradi, decimi e centesimi di grado ' D ' C