4^C - Esercitazione recupero n 1

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1 4^C - Esercitazione recupero n 1 1. Il triangolo O è rettangolo in O ed ha l'altezza relativa all'ipotenusa di lunghezza h. a. Ponendo O=x, esprimi per mezzo di h e di x il perimetro del triangolo. Prescindendo dalle itazioni geometriche, studia la funzione ottenuta. b. Utilizzando le funzioni razionali che esprimono sen x, cos x e tg x in funzione di t=tg x/, esprimi il perimetro del triangolo per mezzo di h e di t e studia la funzione ottenuta.. Il triangolo C è isoscele sulla base C ed è inscritto in una circonferenza di raggio r. a. Poni l'altezza H =x e studia la funzione f x =H C, senza tenere conto delle itazioni geometriche. b. Poni l'angolo C= e studia la funzione f =H C. 3. Studia la funzione y= sen x sen x. 4. Determina l'equazione della parabola avente asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse e passante per i punti 6,0, 0,, C 0,6. Utilizzando il teorema di rchimede, calcola l'area della regione piana R deitata dalla parabola e dalle rette tangenti ad essa nei suoi punti di ascissa nulla. 5. Dato il triangolo C, rettangolo in, siano r la retta perpendicolare in al piano del triangolo e P un punto di r distinto da. Dimostra che i triangoli P, PC, PC sono rettangoli. 6. Sia G il grafico di una funzione x f x con x R. Spiega come puoi stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta di equazione x=k. 7. Determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P 3 cos t, sen t con 0 t e disegna la curva corrispondente. 8. Per la festa della mamma, la signora Luisa organizza una cena a casa sua con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La signora nna è una delle invitate ed ha esattamente due figli. Qual è la probabilità che anche l'altro figlio della signora nna sia femmina? Perché? 9. Determina il valore di n sapendo che n 3 e che i numeri n 1 n n, n n 3, n sono in progressione aritmetica. 10.Dimostra che non esiste un triangolo C con =3, C=, C =45. Dimostra che esistono due triangoli C (non congruenti) che verificano le condizioni =3, C=, C=30.

2 4^C - Correzione esercitazione n 1 1. Dai teoremi sui triangoli rettangoli ricaviamo: O= h sen x, H = h tg x, O= h cos x, H =h tg x. Quindi: p O =h 1 sen x 1 cos x sen x cos x cos x sen x cos x 1 =h sen x sen x cos x La funzione è definita per T =, quindi possiamo studiarla nell'intervallo [0, ]. Segno di f x : f x =± f x = x 0 ; ± x /. ± sintoti verticali di eq. x=0 e x= /. Poniamo t=x e applichiamo il pr. di sostituzione degli infinitesimi: x ± h sen x cos x 1 = sen x cos x t 0 ± nche ponendo t=x 3/, ricaviamo: sen t cos t 1 h = h t t / = h. sen t cos t t 0 t ± x 3/ ± f x = h. Si hanno quindi due punti di discontinuità di terza specie per x= e x=3/. Il grafico probabile è riferito al caso h=1. x k, k Z ed ha periodo 0 p/ p 3p/ p o - o + + num o + o - o + o - o den f (x). x O H Le formule richieste sono: sen x= t 1 t e cos x= 1 t 1 t, con t=tg x. Sostituendo e semplificando, otteniamo: f t = 1 t t 1 t h. C.E.:t 0 t 1. f t 0 0 t 1, f t =0, f t 0 t 0 t 1. sintoti verticali di eq. t=0 e t=1. t ± f t =± ; f t =. t 0 ± t 1 ± f t = h. sintoto orizzontale di equazione y= h. Il grafico è riferito al caso h=1.

3 . Dal secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo D, ricavo: H = x r x. La funzione è quindi: a D H x f x =x 4 x r x. C.E.:0 x r. f x 0 x C.E. ; C f 0 =0 ; f r = r. Il grafico è riferito al caso r=1. In questo caso, il grafico probabile non ci informa che la funzione ammette un punto di massimo. Dai teoremi sui triangoli rettangoli, otteniamo: = r cos, H = r cos, H = r sen cos. La funzione è quindi: f = r cos 4 sen cos che, utilizzando le formule di duplicazione, può essere scritta: f =r 1 cos 4 sen e, mediante la formula di normalizzazione (o dell'angolo aggiunto): f =r 5 sen 1, dove =arc tg 1 4. Si tratta quindi di una funzione sinusoidale, di periodo T = e ampiezza =r 5, sottoposta ad una traslazione di vettore /,r. Come sempre, il grafico è riferito al caso r=1. 3. y= sen x sen x= sen x sen xcos x= sen x 1 cos x. C.E.: x R. Periodo T =. f x 0 0 x ; f x =0 x=0 x= x= ; f x 0 x. Ovviamente, il grafico probabile non potrà essere particolarmente preciso. 4. L'equazione della parabola è del tipo x=ay by c. Imponendo il passaggio per i punti,, C, ottengo il sistema: { c= 6 4 a b c=0 36 a 6b c=0, che ammette la soluzione: H V D a= 1, b=4, c= 6. Quindi, la parabola cercata ha equazione: x= 1 y 4 y 6.

4 Sulle rette del fascio proprio di centro, di equazione tangenza alla parabola, ovvero che il discriminante del sistema: { x= 1 y 4 y 6 y=mx y=mx, impongo la condizione di sia uguale a zero. Ho due soluzioni coincidenti per m=1/, quindi l'equazione della retta tangente alla parabola e passante per è y= 1 x. Poiché l'asse della parabola ha equazione y=4, la simmetria rispetto all'asse è definita dalle equazioni: { x '=x y '=8 y. pplicando tale simmetria alla tangente in, ottengo: y= 1 x 6, che è l'equazione della tangente in. Le due tangenti si incontrano in 4, 4, quindi l'area richiesta è quella del triangolo D sottratta di quella del segmento parabolico di base. Per il teorema di rchimede, quest'ultima è uguale ai /3 dell'area del rettangolo di base ed altezza VH. Quindi: rea R =rea D 3 rea rett=8 3 8= I triangoli P e PC sono rettangoli in in quanto la retta r è perpendicolare al piano C, e quindi è perpendicolare a tutte le rette di r P questo piano passanti per. Il triangolo PC, invece, è rettangolo in per il teorema delle tre perpendicolari, in quanto r è perpendicolare al piano C, è perpendicolare ad C, e quindi C è perpendicolare al piano P, ed in particolare alla retta P. C 6. Poiché le equazioni della simmetria rispetto alla retta di equazione x=k sono: x '= k x {, dobbiamo avere f x = f k x. y '= y 7. Il luogo ha equazioni parametriche: x=3 cos t { y= sen t { x/3=cos t. y/=sen t Elevando al quadrato e sommando membro a membro, si ottiene: x 9 y =1, che è l'equazione di un'ellisse avente centro 4 nell'origine degli assi, assi di simmetria coincidenti con gli assi

5 cartesiani, semiassi a=3 e b=. 8. nna ha due figli, che indichiamo x e y. Poiché nna è stata invitata alla festa, ha almeno una figlia femmina, quindi i casi possibili (ed equiprobabili) sono: x e y sono entrambe femmine; x è femmina ed y è maschio; x è maschio ed y è femmina. Poiché solo il primo caso è favorevole, la probabilità cercata è p=1/3. 9. Per definizione di progressione aritmetica: n 3 n n n = n n n 1 n con n N n 3, ovvero: n n 1 n 6 n n 1 = n n 1 n. Svolgendo i calcoli, otteniamo: n 3 9 n 14 n=0 n n n 7 =0. L'unica soluzione accettabile è n=7. 10.Posso, ad esempio applicare il teorema dei seni: Nel primo caso ottengo: Nel secondo caso: 3 3 = 1/ = / = sen C. = 3 1 impossibile. 4 = 3 4 che ammette le due soluzioni C 1 49 e C 131, che danno luogo a due triangoli non congruenti. Per calcolare il lato C, è possibile utilizzare sia il teorema dei seni che quello del coseno. Per una soluzione più sintetica (nel senso della geometria) vedi il sito della Zanichelli: e cerca il quesito n 9 del compito PNI del 010.