4^C - Esercitazione recupero n 8

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1 4^C - Esercitazione recupero n 8 1 La circonferenza g passa per B 0, 4 ed è tangente in O 0,0 alla retta di coefficiente angolare m= 4 La parabola l passa per A 4,0 ed è tangente in O a g a Determina le equazioni cartesiane di g e l e disegnale b Sia a l'angolo sotto cui è visto il segmento OB da un punto dell'arco di g appartenente al quarto quadrante Fornisci una misura approssimata di a in gradi e primi sessagesimali c Conduci le rette tangenti a l nei suoi punti O ed A Calcola l'area del triangolo mistilineo delimitato dall'arco di parabola appartenente al quarto quadrante ed alle due tangenti 3 x Considera la curva g di equazione f x = ax 2 bx c a Calcola i valori delle costanti reali a, b, c sapendo che g ha per asintoti le rette di equazioni y=3 e x= 2, e passa per il punto 3,12/5 b Studia la funzione ottenuta e disegnane il grafico probabile c Determina le costanti a e b in modo che l'equazione di g possa essere scritta nella forma: y=3 x 2 x 2 3 Data la funzione y=a sen x b cos x, determina i coefficienti a, b in modo che per x=2 /3 sia y=1, e che l'ampiezza dell'oscillazione sia A=2 Disegna il grafico della funzione nell'intervallo [0, 2 ] Ponendo y=s, x=2 t, dove x rappresenta lo spostamento dall'origine di un punto P che si muova su una retta nel tempo t, descrivi il moto di P determinando, in particolare, gli istanti nei quali la velocità e l'accelerazione sono nulle e quelli nei quali esse assumono valore massimo 4 Studia la funzione f x =ln x 1 x 2 2 e tracciane il grafico probabile Studia la funzione g x =e f x e tracciane il grafico probabile 5 Determina le equazioni degli asintoti della funzione f x =arc tg x x 1 x 2 4 x2 Studia la continuità della funzione f x ={3 x per x 0 x 2 per x=0 nel punto x=0 e tracciane il grafico 7 Considera la seguente proposizione: Due piani a e b sono perpendicolari se e solo se ogni retta di a è perpendicolare ad ogni retta di b Spiega se essa è vera o falsa, motivando la risposta 8 Determina il campo di esistenza della funzione y=ln x 2 2 x x 4

2 4^C Correzione recupero n 8 1 Poiché la circonferenza g passa per O e per B, il suo centro si deve trovare sull'asse del segmento OB, di equazione y= 2 Inoltre, il centro si deve trovare sulla retta di equazione y= 1 4 x, passante per O e perpendicolare alla tangente data Mettendo a sistema tali equazioni, ricavo il centro C 8, 2 ed il raggio r=co= 4 4=2 17 L'equazione di g è quindi: x 8 2 y 2 2 =8 x 2 y 2 1 x 4 y=0 (In alternativa, puoi imporre le consuete condizioni di passaggio e di tangenza) La parabola l ha equazione del tipo y=ax 2 bx c Imponendo il passaggio per O e per A, ricavo c=0 e 1 a 4 b=0 b= 4 a, per cui l'equazione diventa: y=ax 2 4 ax Poiché due curve si dicono tangenti in un punto quando hanno la stessa retta tangente in quel punto, impongo che la parabola abbia con la retta di equazione y= 4 x un punto di contatto nell'origine { y=ax2 4 ax ax 2 4 a 1 x=0 x 1 =0 ; x 2 = 4 a 1 y= 4 x a Si ha una soluzione doppia, e quindi una condizione di tangenza, quando: x 2 =0 a=1 L'equazione di l è quindi: y=x 2 4 x P b g B O A y=-4 x l Considero per semplicità il punto P 1,0 in cui g interseca il semiasse negativo delle ordinate Esso vede il segmento OB sotto un angolo b tale che: tg = OB OP = 4 1 =arc tg ' 4 L'angolo a cercato è il supplementare di b; quindi: 15 57' In alternativa, puoi utilizzare il teorema della corda, per il quale: 2 r sen =OB sen = = 1 17 La retta tangente in O è nota, ed ha equazione y= 4 x Poiché O ed A sono punti simmetrici rispetto all'asse della parabola, la tangente in A avrà coefficiente angolare opposto a quella in O

3 La sua equazione sarà quindi: y=4 x 4 y=4 x 1 Le due tangenti si intersecano nel punto C 2, 8 L'area richiesta è quella del triangolo mistilineo OCA in figura Essa si calcola come differenza tra l'area del triangolo OCA e quella del segmento parabolico di base OA Area OCA = =1 Il vertice della parabola ha coordinate: V 2, 4 O V A y=-4x Quindi, per il teorema di Archimede: Area sp = = 32 3 y=4x+1 L'area richiesta è pertanto: A= =1 3 C 2 Calcolo: lim x ± f x = 3 a Quindi la retta di equazione y=3 è asintoto orizzontale se: La retta di equazione x= 2 è asintoto verticale se: lim x 2 3 =3 a=1 a f x = (con segni da determinare) Questo richiede che x= 2 sia uno zero del denominatore: 4 a 2b c=0 Impongo il passaggio per 3, 12 5 : 12 9 a 3b c = a 3b c=5 Risolvendo il sistema delle tre condizioni, si ottiene: a=1, b=0, c= 4 L'equazione della funzione è quindi: Ricaviamo che: f x è definita x R, x ±2 ; 3 x 1 2 f x = x 2 4 il grafico interseca l'asse delle ascisse in 1,0 ; f x 0 x 2 x 2 ; oltre agli asintoti assegnati dal testo, è presente un ulteriore asintoto verticale di equazione x=2 ; il grafico interseca il suo asintoto orizzontale nel punto di coordinate 5/2,3 Il grafico probabile è rappresentato in figura y=3 x=-2 x=2 P(5/2, 3) Imponiamo che: 3 x 1 2 x 2 4 =3 x 2 x 2 Eliminando i denominatori, si ricava:

4 3 x 2 x 3=3 x 2 4 x 2 x 2 3 x 2 x 3=3 x 2 x Per il principio di identità dei polinomi (vedi programma del primo anno), l'uguaglianza è identicamente vera se e soltanto se i coefficienti sono rispettivamente uguali: { 2 2 = =3 = 3 4 ; = 27 4 Quindi: y=3 3 4 x x 2 3 Impongo il passaggio per il punto 2,1 3 : a 3 2 b =1 a 3 b=2 2 L'ampiezza dell'oscillazione è data da k= a 2 b 2, quindi: a 2 b 2 =4 Il sistema formato dalle due condizioni ammette le soluzioni: { a 1=0 b 1 = 2 e { a 2= 3 b 2 =1 Quindi il problema è verificato dalle due funzioni f 1 = 2 cos x (il cui grafico si traccia in maniera elementare) ed f 2 = 3 sen x cos x che, tramite la formula dell'angolo aggiunto, può essere scritta: f 2 =2 sen x e, quindi, corrisponde ad una sinusoide traslata di / verso sinistra e di ampiezza A=2 Ricordiamo che, se un punto materiale si muove di moto armonico secondo la legge s= A sen t, allora la sua velocità e la sua accelerazione sono date da: v=a cos t ; f 1 f 2 a= A 2 sen t = 2 s Scrivendo le funzioni ottenute come: s 1 =2 sen 2 t 2, s 2=2 sen 2 t, vediamo che si tratta di moti armonici di ampiezza A=2, pulsazione =2, frequenza f = 2 =1, periodo T = 1 f =1 Possiamo quindi ricavare le velocità: v 1 =4 cos 2 t 2, v 2=4 cos 2 t e le accelerazioni: a 1 = 8 2 sen 2 t 2, a 2= 8 2 sen 2 t

5 Pertanto (facendo riferimento ad esempio ad f 2 ) la velocità sarà nulla quando: cos 2 t =0 2 t = 2 k t= 1 3 k 2, k Z, mentre la velocità sarà massima (in valore assoluto) quando: cos 2 t =±1 2 t =k t= 1 k 2, k Z In maniera analoga, l'accelerazione sarà nulla quando: sen 2 t =0 2 t =k t= 1 k 2, k Z, mentre sarà massima (in valore assoluto) quando: sen 2 t =±1 2 t = 2 k t=1 3 k 2, k Z 4 Forse conviene studiare prima la funzione g x = x 1 x 2 2 Essa è definita x R ; g x 0 x 1 ; ha come asintoto orizzontale l'asse delle ascisse Invece, la funzione f x è definita quando g x 0, ovvero per x 1 Si avrebbe quindi f x 0 g x 1 x 1 x 2 2 x 2 x 1 0 f x 0 x CE Per x, si ha g x 0, e quindi f x Anche per x 1, si ha g x 0, e quindi f x Pertanto, il grafico di verticale di equazione x= 1 f x ha un asintoto g(x) f(x) 5 Poiché lim x ± di equazioni arc tg x x 1 x =± 2 2, la funzione ha due asintoti orizzontali (destro e sinistro) y=± /2 Per questo motivo, non possono esserci asintoti obliqui Poiché la funzione è definita x R, non possono esserci neanche asintoti verticali { 3 x 2 per x 0 La funzione può essere riscritta come: f x = 2 per x=0 3 x 2 per x 0 Abbiamo quindi: Pertanto, la funzione ha per lim f x = f 0 =2, mentre lim x 0 x 0 f x = 2 x=0 un punto di discontinuità di prima specie

6 7 La proposizione è falsa (ed anche poco comprensibile) Secondo la definizione corretta, due piani si dicono perpendicolari se, con la loro intersezione, dividono lo spazio in quattro diedri uguali, e quindi retti Volendo utilizzare un linguaggio più simile a quello del quesito, potremmo dire che: Due piani a e b sono perpendicolari se e solo se esiste almeno una retta r di a che sia perpendicolare a b ; ovvero se esiste almeno una retta r di a che sia perpendicolare ad ogni retta di b passante per il punto di intersezione tra r e b In realtà, è sufficiente verificare che r sia perpendicolare a due delle rette di b passanti per il punto di intersezione tra r e b 8 Impongo la condizione di esistenza della radice: x 2 2 x 0 x 0 x 2 ; e quella del logaritmo: x 2 2 x x 4 0 x 2 2 x x 4 L'ultima disequazione è sempre verificata quando x 4 0 x 4 Per x 4 posso innalzare al quadrato: x 2 2 x x 2 8 x 1 x 1 x 8 3 ed ho quindi le soluzioni { x 8/3 x 4 x 4 In conclusione, la condizione di esistenza del logaritmo è verificata x R Pertanto, il campo di esistenza della funzione data è: {x R x 0 x 2}